учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 36

(5) ), 223 ГЛ К СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТН. ПРОИЗВОДНЫМИ Пусть сс(х, 1) — решение задачи (1) — (3). Поскольку его частные производные д»и/д12, д»и/дх4 по предположению непрерывны и, следовательно, ограничены на замкнутом прямоугольнике В, то согласно (5), (10.3), (10.1) Аи'-' = — и,", (х», 1, 1) + г', (12) 2-! = и', (х, 1,,) + р,',, (! 3) где>4=1,2, ..., А> — 1, У=1,2, ...,>И, (г»У(~(с,52, !р"'! < с т, (14) с>, с» — некоторые постоянные, не зависящие от й, т, /б, т. В силу непрерывности частных производных и,', и,"„иа»> решение задачи (1) — (3) удовлетворяет уравнению (1) на замкнутом прямоугольнике 1У. Следовательно, выполняется равенство и,(х„, 1,,) — и„„(х», 1, 1) =1» (15) Ото>ода с учетом (14) получаем ! >)11)'=жопах!4)>1»(= >пах >пах ~г'+р )= 1 < 2 < »1 1 ~ » < и-1 4'» = О (52+ т).

(16) Аналогично находим !! »р2 !!„= О (52 + т), (17) где 4)>2 — невязка решения и задачи (1) — (3) для разностного уравнения (10). для>2=1,2, ..., А> — 1,у=1,2, ..., Л4,т.е., в частности, и для 1 1 = О. Согласно (!2), (13), (15) невязка 4)>1 решения и задачи (1) — (3) для разностного уравнения (8) имеет следующее выра>кение> У-! »ь1» — — 1, и — 1» = + Ли'-' — ~'„-1 = у 4-1 и» и» 1» 1»» т » = — и',(х,, 1,,)+ р» — и„",(х, 1,,)+» — /' '=г'+р". А 3!. ОА1еп1линАя зАдлчА теплопгозодиости зев Таким образом, оба разностных уравнения (8) и '(10) аппроксимируют дифференциальное уравнение (1) на решении и задачи (1) — (3) со вторым порядком по Ь и с первым порядком по т.

Дополнительные условия, т. е. начальное условие (2) и краевые условия (3), аппроксимируются на сетке о'„с помощью тождественного оператора 1А условиями (9) или соответственно условиями (11) точно, т. е. невязка решения и задачи (1) — (3) длл условий (9), а также для (11) равна нулю на сетке е1'Р Итак, обе разностные схемы (8), (9) и (10), (11) с точки зрения аппроксимации задачи (1) — (3) обладают по порядку относительно й и т одинаковой гарантируемой точностью.

В ы ч и сл и тел ь н ы е а л г о р и т м ы. Разрешив разностное уравнение (8) относительно и', получим Поскольку у" у» у» й=1, 2, ..., У вЂ” 1, т=0, 1, ..., Л1, известны (они задаются на е1'„условием (9)), решение разпостной схемы (8), (9) находится по формуле (18) явно, слой за слоем. Разностная схема (8), (9) называется поэтому явной. Разностное уравнение (1О) с учетом (5) может быть записано в виде Согласно (б), (7), (11) имеем также В» Д» ВА1 = Г1» Таким образом, если у'-1, /г= 1, 2, ..., Л' — 1, известны (в частности, у"„, й=1, 2, ..., Л! — 1, заданы условием (11)), то для нахождения решения разностной схемы (10), (1!) на следующем т-м слое нужно решить трехточечное разностное уравнение (19) с краевыми условиями первого рода (20), т. е.

разностную краевую задачу вида (22.1), (22.2). Поэтому разностная схема (10), (11) называется нелевой. 2зо Гл б. Охгби1 для РРАВненип с чхстн. пРОизВОдными Для нахождения разностного решения на т-м слое может быть применен метод прогонки, поскольку для задачи (19), (20) условия (22.3) выполнены (проверьте, положив у=1, уч=гн уч,=г„и — у — тс=г'). При этом число выполняемых арифметичесю1х действий для нахождения разностного решения на одном слое согласно (22.11) есть 0(111), т. е. по порядку относительно )ч' не больше, чем при применении явной формулы (18) для схемы (8), (9).

Устойчивость и сходим ость. Поскольку дополнительные условия (2), (3) аппроксимируются в разностных схемах (8), (9) и (10), (11) на сетке бб„' точно, то нам будет достаточно исследовать устойчивость только по правой части. Остановимся сначала на разностной схеме (8), (9). Для исследования ее устойчивости по правой части нужно рассмотреть решение г вспомогательной разностной задачи ч ч-1 1аг = О, где $ — произвольная заданная на бб'„сеточная функция. Разрешив разностное уравнение (21) относительно г,'„ аналогично (18) получим й = 1, 2, ..., У вЂ” 1, ч = 1, 2, ..., М.

Крох1е того, в соответствии с (22) имеем г' = О, й = 1, 2, ..., Лб — 1; (24) Предположим, что т и Л удовлетворяют следуюшему условию: т/йз < 1/2 (25) Тогда, очевидно, т+~ 2т~+ т $31. смешАннАя зАдАНА теплОПРОВОлности ез! Отсюда и из (23), (24) вытекает неравенство гпах ~з,',~» (шах ~е' '(+т п1ах ~$'~, (26) О<А<А1 О<А<а 1<А<А1 — 1 и поскольку гпах (г0А) = О, то О<Л<А1 гпах ~ г'„~ ~ (тт 1~ 5 ~~1А. О<А~А1 Следовательно, 1(еЦ= гпах гпах (е'<(Ит~~51~; =ТЦ$~~;, О< <А1 О<А<А1 или, окончательно, 1)г~!А <Т((ВЦ.

(27) Полученное неравенство для решения задачи (2!), (22), в котором постоянная Т ие зависит от Л, т, а также от функции $, и означает устойчивость разностной схемы (8), (9) по правой части при условии (25). Можно доказать, что нарушение условия (25) может привести к нарушени1о устойчивости разностной схемы (8), (9). В частности, если )1- О, т- О, т/ЙА =- ) сопя! ) 1/2, то разностная схема (8), (9) неустойчива.

Для исследования устойчивости разностной схемы '(10), (11) зададим на вь' произвольную сеточную функцию К и рассмотрим разностную задачу т у-1 (28) !"я=О, (291 причем не накладывая никаких ограничений на соотношение шагов т и г1. Задачу (28), (29) можно аналогично (19), (20) записать в следующем виде: 20=0, г)г=о.

(31) Если я' ', й=1, 2, ..., У вЂ” 1, известны (в частности, по условию (29) ЕАА=О, й=О, 1, ..., У), то, как отмечалось выше, для разностной задачи (30), (31), где т фиксировано, выполнены условия (22.3). ЭЗЯ ГЛ. К СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТИ. ПРОНЗВОДНЬ1МИ (32) Следовательно, по лемме 22.1 эта задача однозначно разрешима на м-м слое. Очевидно, имеется такое й', 0 < й' < У, что шах )г'~. Поскольку )зм 1(()г',(, (г',+1~()г',), то ~'~ ~<!'~ (1+ ° ) й'~- +'~+)! и, следовательно, согласно (30) ~:„,) <)г,',-'(+.(В;,~. Из полученного неравенства с учетом (32) вытекает неравенство (26) и, в конечном счете, оценка (27), что и означает устойчивость го правой части разностной схемы (10), (11) при любом соотношении шагов т и 11.

Итак, поскольку дополнительные условия (2), (3) аппроксимируются на сов' точно, то из аппроксимации (см. (16), (17)) и установленной устойчивости по правой части в силу основной теоремы теории разностных схем (см. $ 29) вытекает сходимость решений разностных схем (8), (9) и (10), (11) к решению задачи (1) — (3) со вторым порядком по й и с первым порядком по т, т.

е. ~~и — у||А = 0(111+ 1). (33) При этом в случае явной схемы (8), (9) предполагается выполнение ограничения (25). О п р с д е л е н и е. Разности ая схема, устойчивая при любом соотношении шагов т и й, называется абсолютно устойчивой, а устойчивая при ограничениях на т и Ь вЂ” условно устойчивой. Недостатком разностной схемы (8), (9) является ее условная устойчивость (ограничение (25) является жестким для шага т по времени). Преимущество— простота счета по явной формуле (18) и возможность распространения на задачу Коши (когда условие (2) задано на всей оси х, а краевые условия (3) отсутствуют). В случае смешанной задачи (1) — (3) предпочтение отдают неявной абсолютно устойчивой разностной схеме (10), (1П.

Разностная краевая задача (19), (20) при переходе на каждыи следующий слои решается методом прогонки весьма эффективно. $ ЗВ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 2ЗЗ 5 32. Волновое уравнение Рассмотрим смешанную задачу для волнового уравнения дли дса —,, — — „,=л(~, 1), 0< <1, 0<1~Т, (1) и(х, 0)=р(х), и,'(х, 0)=д(х), 0(х(1, (2) и(0, 1)=0, и(1, 1)=0, 0(1(Т, (3) где 1(х,1), р(х), !)(х) — заданные достаточно гладкие функции, причем р(0) = р(1) = д(0) = д(1) =О. Будем предполагать, что задача (1) — (3) имеет решение и (х, 1) е= С4(5), О = ((х, 1): 0 < х < 1, 0- < 1( Т) — замкнутый прямоугольник. Это решение единственно. 1у о о о Разностная схема. Будем использовать сетки, построенные на замкнутом пря- хь1 ~" хм1 моугольнике Тл в $ 31, и соот- РВЕ.

25 ветствующие обозначения сеточных функций. Заменяем в уравнении (1) частную производную и,", приближенно второй разностной производной в направлении 1, частную производную — и„", аппрокснмируем с помощью разпостиого оператора (31.5) и, переобозначив и на у, приходим к разностному уравнению ЕУ+! 2у!м + о-1 (4) А = 1, 2, ..., Л! — 1, У = 1, 2, ..., Л4 — 1. Шаблон разностного уравнения (4) показан на рис.

25. Это уравнение можно разрешить явно относительно у'+'. Но для того чтобы находить значения разностного решения на у+ 1-м слое, требуется иметь уже вычисленные значения искомого решения на двух предыдущих слоях. Поэтому нужно получить разностное решение сначала отдельно на слоях, отвечающих значениям у = 0 и у = 1. В этом нам помогут начальные условия (2). 234 Гл.

а схемъ| для уРАВненнп с чАстн. пРОизВОдными Прежде всего, используя первое начальное условие (2), задаем у'=р Ь=!, 2, ..., У вЂ” 1. А А' Кроме того, полагаем при Ь = 1, 2, ..., Ь1 — 1 У', = Р, + 4, + —, (1', — ЛР,) . (6) (5) Правая часть формулы (6) аппрокснмирует многочлси Тейлора и (х, 0) + ти, (хА, 0) + — и„(х„, 0), поскольку согласно (2) и(ха. 0) =р„и',(х, 0) =цА. а из уравнения (1) для частных производных решения задачи (1) — (3) вытекает связь и,",(х, 0) =1(хА, 0)+ и„"„(х„, 0). Для аппроксимации — и„",(х, 0) = — р" (хл) используется оператор (31.5).

Наконец, согласно краевым условиям (3) имеем у~=О, у~= — О, ч=О, 1, ..., 1И. (7) ((и — у!!А=О(Ь'+"), (8) где |2-1 '11/2 (!и — у(!1,= шах ~Ь ~„(и",— у',)2) |- ~Л1 Схема (4) — (7) имеет второй порядок точности и по Ь,ипот. Понятие о методе прямых. Если в задаче (1) — (3) ввести дискретность только по х, то мы придем к системе линейных обыкновенных дифференци- Теперь разностная схема (4) — (7) полностью определена. Эта схема явная трехслойная (см. шаблон на рис. 25), условно устойчивая в некоторых естественных нормах.