учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 31

1б 64 Отсюда накопим а~ = 0,957, ат = — 0,022. Приближенное реше.ние задачи (9) имеет вид у, !х) = 0,957 (1 — х") — 0,022 !х' — х"). ь ьь методы миним!1ЗАыни невязки, гллггльпь 197 Интегральный метод наименьших к в а д р а т о в. На невязку накладывается требование, чтобы интеграл ь ! = ~ фе(х; а„..., а„) ь(х Ф (1! ) принимал минимальное значение. Для минимума интеграла необходимо выполнение следующих условий; ь 1 д! Г д~> — — =~ф — ь(х=0, 1=1,2, ..., и, 2 да л да а а~(йлро тлр„)+ ...

+а,(глр„, Глр„) =(! — !лр„1лр„), ь где (), д) = ~ ~(х)й (х) ь(х — скалярное произведение. а Если система функций А~ь ..., Глр„линейно независима на отрезке (а, Ь), то на основании леммы 13.! система (12) имеет единственное решение.

Приближенное решение краевой задачи (9), найденное в виде (!0) интегральным методом наименьшнх квадратов, следующее: у, (х) = 0,985 (1 — х') — 0,078 (х' — х'). Дискретный метод наименьших квадр а т о в. Вместо минимума интеграла (11) ищется минимум конечной суммы ьр'(х,; ап ..., а„), где х; еп (а, Ь) — некоторые точки, 1т' ~ и. Получаемая система уравнений для коэффициентов приближенного решения (5) имеет тот же вид (12), Эти условия с учетом выражения (7) для певязки ф приводят к следующей системе линейных уравнений относительно аь ..., а„: а,(рлро 1лр,)+ ... +и„((лр„, (лр~)=(1 — йлрь. (лр~), а (Г-а, 7-9ь)+ " +а„(791., Глрь)=(~ — (.фь, (.рь), (12) 193 Гл. а Решение кРАевоя зАдхчи для лип.

о. д у. с той лишь разницей, гго используется скалярное произведение и (7, а')= 2 1(х,)п.(х,). Если Й = и, то данный метод приводит к методу коллокации. Приближенное решение краевой задачи (9), полученное в виде (10) дискретным методом наименшпих квадратов при й( = 7, х, = — 1+ 1/4, имеет вид 1(е(х) = О 932(1 — х') — 0,047(х' — х"). Метод подобл а отей. Пусть а = х, < х~ <... ... < к, ~ < х, = Ь. !4омрфпциептгя приближенного решения (5) находятся пз системы уравнений к ° тР(х; аь ..., а„)с(х= — О, 1=1, 2, ..., н.

(13) Метод Галеркин а. В основе метода, предложенного Б. Г. Галеркиным, лежит требование ортогональпостп базисных функций срь грм ..., сгк к не- вязке (7), т. е. ~ ф(х; ао ..., ао)<р,(х)дх=О, 1=1, 2, ..., п. а Это требование приводит к следу~опгей системе линейных алгебраических уравнений для коэффициентов приближенного решения (5) краевой задачи (1), (2): (й ро р ) + " + о. (7- р., р ) = У вЂ” й ро, 0 ), ЫВ 'Ра)+ ° ° ° + а (7-йз сгт)= — (7 тхгс т ) (14) а, (1лро (рч)+ ...

+ а,(Еср„, <р„) =(1 — 7арс, (р„), Ь где (), х,)= ~ 1(х)д(х)с(х. а П р с и е р. Рассмотрим краензю аааачу Ен= — и" +а= — х, 0<х<1, и(01=0, и(1)=0, (15) точным решением которой ннаяетсн и(х) = Мо х/а(п! — х. 4 га к!вгоды минимизлцин нпвязки. гллн киил 099 Р с ш си и с. Выбираем базисные функции фо (х) = О, гр! (х) = х' (1 — х), г' == 1, 2, ..., (16) удовлетворяющие заданным одноргдиым краеяым условиям. Пусть и =- 1.

Тогда система (14) обрашается н одно уравнение а, (гр, + грн грг/ = ( — х„гр!), т. е. ! а, ~ ( — 2 + х (1 — х)) х (1 — к) г/х = — ~ хг (1 — к) ах. После вычисления интегралов получим — (3/10)а~ = — 1/!2 Следовательно, а, = 5/18 и приближенное решение имеет выражение 5 р, (х) = — х (1 — х).

18 Возьмем теперь а =-. 2. Искомые коэффициенты аь аг удовлетворяют системс уравнений а~ (йгрг гр~) + аг (~.грг оч) = (/ фг) а, (ьгри гтг) + аг (Ефг, грг) = (/, грг), которая в рассматриваемом иримсрс приобретает вид а, ~ ( — 2+ х (1 — х)) х (1 — х) г/х+ о ! + аг ~ (2 — бх + хг (1 — х)) х (1 — х) г/х = — ~ хг (1 — х) г(х, о о ! а, ~ ( — 2 + к (1 — х)) хг (1 — х) г/х + о 1 +а ~(2 — Ох+ха(! — к))х (1 — х)г/к=в о Вычислян интегралы, находим 3 3 1 3 13 — а, + — аг= —, — а,+ — а, 1О ' 20 12 ' 20 105 х' (! — т) г/х. о ! 20 ' 71 7 р, (х) = х (1 — х) !ь „+ — х).

'ч 369 41 Для сравнения приведем некоторые значения точного решения и(х) нраевой задачи (15), а также у,(к), уг(х): Отсюда получаелг а~ =- 71/369, аг = 7/41. Искомое приближен- ное решение имеет внд 209 ГЛ. З РЕШНГИЕ КРАЕВОИ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИН. О. Д У. 0,052 0,069 0,'052 0,25 0,50 0,75 0,044 0,069 О,О6О 0,044 о,ото 0060 Таким образом, у периого приближения у,(х) погрешность порядка 0,01, а у второго — порядка О,ООК Можно доказать, что если краевая задача и" + р(х)и'+г)(х)и=1(х), 0(х(1, и(0) = О, и(1) = 0„ где р, г), [ен С[0, Ц, имеет единственное решение и(х) (такова, например, задача (!б)), то при использовании базисных функций (!6) приближенное решение у„(х) может быть найдено методом Галерьчпга для всех достаточно больших п. Это приближенное решение сходится равномерно на [О, Ц к и(х) при л- оо.

Более того, имеет место равномерная сходимость у,',(х) к и'(х) на [О, Ц. 9 29. Разностный метод. Основные понятия теории разностных схем Рассмотрим краевую задач) йгг= — и" + р(х)и' — 0(х)и=[(х), О(х( 1, (1) !и=в и(0)=у,, 1и= — и(1)=уь (2) где р, а, [ ~ Се [О„Ц вЂ” заданные функции, в(х) ) 0 на [О, Ц, уо, у~ — заданные числа. Эта задача является частным случаем краевой задачи (28.1), (28.2). Теорем а 1. Краевая вагоача (1), (2) имеет единственное решение и (х) ~ Сз [О, Ц, Полное доказательство теоремы 1 выходит за рамки данной книги. Отметим лишь, что указанная гладкость решения вытекает из заданной гладкости функций р, г), [. В курсе дифференциальных уравнений устанавливается, что любое решение уравнения (!) принадлежит классу С,[0, Ц, а значит, этому классу принадлежит и решение краевой задачи (1), (2).

Приступим к изложению разностного метода. Сетки и сеточные функции. Зададим на отрезке [О, Ц конечное множество точек (узлов) шь= о оо охзностпыя метод основныг понятия 801 = (х )и „где х = 1а, Ь= 1/Л', )т', ь2 — натуральное. Множество во называется сеткой, й — шагом сетки. Через в'„обозначим подмножество множества вы полученное из во отбрасыванием крайних (граничных) узлов хо, хн.

Множество узлов в„' тоже называется сеткой. Говорят, что сетка в'„ состоит из внутренник узлов сетки ооы Пусть также в„'=(хо, хн) — сетка, состоящая из двух граничных узлов. Таким образом, во = — о1'„() в"„(сетка в„является объединением сеток в„' и вл) Йа рис. !8 изображены сетки: в кружки помещены узлы, принадлежащие сетке в„', а в квадратиках расположены граничные узлы, образующие сетку в,',. Функция у, областью определения которой является какая-либо сетка вы или в'„, или в„', называется сеточной. Значения сеточной функции в узлах будем для краткости обозначать следующим образом: у, = = у(х;). Функция [, определенная на всем отрезке [О, 1[, порождает сеточную функцию, принимающую в узле х, значение, равное )(х;), 1' = О, 1, ..., Ж.

Для полученной сеточной функции сохраним символ а ее значение в узле хь согласно договоренности, будем обозначать через [;, 1' = О, 1, ..., М Обозначим через У„, У„', У" множества всех сеточных функций, определенных соответственно на в„, в„.', в*„. Множество Уо (а также У„' и У„) является линейным пространством, в котором операции умножения функции на число и сложения функций выполняются по обычныол правилам. В линейных пространствах У„, У„, У„сеточных функций зададим соответственно нормы ЦуЦ„= гпах [у~[, ЦуЦ= гпах [у1[, о < 1' ~, ~ К у< н-1 Ц у Ц„' = п1 ах ([ уо [, [ ун [).

8 е. А волнов яоа гл. 5. Решение кРАеВОЙ ЗАдхчи для лин. О. д. у. Раз постные операторы. Оператор (ау называется разностным, если он каждой сеточной функции у е= уа ставит в соотвегствие некоторую сеточную функцию, принадлежащую у'„(или у„). Примеры разностных операторов: 1) (1."у)г —— уг+и 1=1, 2, ..., )У вЂ” 1; 2) (1ау)~ у ) О Л/ 3) (Ь"у)! — — ',, 1=1, 2, ..., Ф вЂ” 1; Уг, — 2У~+ Уг (4) У~ Уа 4) (1"у)! —— ( ! Уи "и-1 Ь 1=0, задаюгций левую часть уравнения (1), и введем еди- ный граничный оператор 1и, х=О, !и= 1и, х=!, Рб) где в соответствии с задаииымп краевыми условиями (2) пока будем считать, что (аи = и(О), 1|и = и(1), а в дальнейшем рассмотрим более общий граничный оператор, С помощью операторов (5), (6) краевую задачу (1), (2) можно записать компактно в следующем Индекс / в левой части равенств указывает номер узла, в котором оператор принимает данное справа значение.

Какова бы ни была сеточная функция ус= е= Уа, в примерах 1), 3) имеем йауе:— У'„, а в примерах 2), 4) имеем 1"уев У,*. Для удобства мы дали определение разностного оператора в широком смысле, ие требуя явной его аавпсимости от разностей первого или более высоких порядков, а только от значений сеточной функции, имея также в виду, что сами значения сеточной функции можно формально считать разностями нулевого порядка.