учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 32

Рассмотрим дифференциальный оператор ~и = и" + р(х) и' — д(х) и, Ч 29 РАЗИОС'П>ЫИ МЕТОД. ОСИОВИЫГ ПОНЯТИЯ Воз виде: йи = 7, йс = у, (7) (8) уи, х= О, У= уи к=!. = 1, 2, ..., У вЂ” 1. Пусть и ~ С2 [О, ! [ — произвольная функция, в частности решение краевой задачи (1), (2). Тогда на Нам предстоит аппроксимировать заданную на отрезке [О, 1) дифференциальную краевую задачу (!), (2) (или, что одно и то же, задачу (7), (8)) некоторой разиостной красной задачей, в которой искомой является сеточная функция иа сетке и>и. Обычно при этом действуют по следующему плану. Сначала строят некоторые разностные операторы, аппроксимирующие дифференциальный оператор (.и н граничный оператор !и, и составляют иа сетке ыи разностную краевую задачу, которую принято называть ризностной скалой для дифференциальной зада >и (1), (2). Затем уосждаются, что полученная разиостная схема аппроксимирует исходную краевую задачу (1), (2), После этого исследуют устойчивость разности >й схемы и сходимость ее решения к решению дифференциальной задачи при стремлении шага сетки к нулю.

К разностпой схеме также предъявляется важное требование, чтобы для нахождения ес рец>ения мог бьмь применен достаточно эффектиьный на практике численный метод. Понятия аппроксимации, устойчивости и сходимости уточняются ниже. Аппроксимируем дифференциальный оператор ! и на сетке и>А' разностным оператором йии, получаемым из (5) путем замены в узлах сетки и>2 пронзводныт и', ии соответствующими разностными производнымн по формулам (!06), (!0.7). Оператор (.ии, построенный по указанному правилу, имеет следующий впд: и., — 2и + и>+> и>+> — и, ЭО4 ГЛ 5 РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИН.

О. Д. У. основании (10.2), (10.3), (3) выполняется неравенство [[йи — Л"и [[' ~(с„йи, (10) где с, — некоторая ис зависящая от Ь постоянная. Действительно, в силу (10.2), (10.3) имеем Р (х/) и (хг) Рг зл ) ~ ~г [[РПс [[и [[с. !и и., — 2и;+и > ! Л5 и (х ) ' ~ - [[и~4)[[ где Р! — — Р(х,), !'=1, 2, ..., Ж вЂ” 1, [[Р[[с — — гпах[ р(х)[. !о, и Отсюда и из (5), (9), согласно определению (3) нормы [[ °,'[„', легко следует (!0). О и р е д е л е н и е. Говорят, что разностный оператор ! Аи аппроксизгирует дифференциальный оператор !.и с Л-м порядком относительно шага 6 в сеточной норме [.[['„, если Л ) 0 и для любой достаточно гладкой функции и выполняется неравенство [! Ул — ь"и [['„( ~„й", (11) где с,— некоторая не зависящая от Ь постоянная. Рассмотренный выше разностный оператор ь"и (9) аппроксимирует согласно (10) дифференциальный оператор (5) со вторым порядком относительно Л. Граничный оператор (б), с помощью которого задаются краевые условия первого рода (2), т.

е. условия (8), устроен очень просто, а именно, на концах отрезка [О, ![ он принимает значения, совпадающие со значениями функции у. Поэтому его естественно аппроксимировать разностным оператором (4), который тоже в узлах хи, хА, расположенных на концах отрезка [О, 1], принимает значения, совпадающие со значениями сеточной функции в этих узлах. Р а з и о с т н ы е с х е м ы. Теперь можно составить следующую разностную краевую задачу (точнее говоря, семейство разностных краевых задач, зависящее от параметра й): ).Ау = [, (12) !А (13) где 1.5у — разностный оператор, определенный по формуле (9), !Ар — разностный оператор (4),) ~ У;,— $2о.

РАзностныи метОд. Основныа пОнятия 205 (15) йо = Уо йи = У1. Легко видеть, что разностная краевая задача (14), (15) является краевой задачей вида (22.1), (22.2), в которой 1 Рг 1 Р1 2 Л,= —,— — ', В1= —,+ —, С1= —,+дп ао 26 ' ! 6' 26 ' ! Ао р1 =)т "о = "и = б то = Уо ти = УР Очевидно, если й < йо = ш!п (1, — ~, 2 (д)с (16) то выполнены и условия (22.3). Таким образом, если шаг 6 сетки во удовлетворяет неравенству (!8), то согласно лемме 22.1 разностная схема (12), (13) имеет единственное решение у ~ Ув для нахождения которого может быть применен весьма эффективный на практике метод прогонки, изложенный в й 22.

Аппроксимация, устойчивость, сходим о с т ь. Решение и дифференциальной задачи (7), (8), вообще говоря, не удовлетворяет на сетке во разностным уравнениям (12), (13). Однако всегда можно написать равенства 7. и=!+ф на в'„, (17) !"и = д+ ~р на в"„, (18) где ф = й"и — 1, ~р = !Аи — и — сеточные функции, называемые невяэками решения дифференциальной задачи для разностной задачи (ф ~ У'„ — невязка для сеточная функция, порождаемая правой частью уравнения (7), т. е, уравнения (1), д еи Уо' — заданная сеточная функция со значениями до — — уо, до = уь Разностная краевая задача (12), (13) называется раэностной схемой для дифференциальной краевой задачи (7), (8). С учетом выражений (9), (4) операторов ьойч !ор эта разностная схема может быть более подробно записана в следующем виде: '+' + пы ' ' — =- !', (14) ао рг 26 1=1, 2,..., Лl — 1, ЯОЕ ГЛ.

Е РЕШЕНИЕ К!'ЛЕВОВ ЗАДЛ~!И ДЛЯ ЛИН. О. Н У. разностного уравнения (12), ф ее Ул* — невязка для краевь!х условий (13) ). О и р е д ел е н и е. Говорят, что разностпая схема (12), (13) апироксилиррет днфференцнальную задачу (7), (8) на ее решенки и с А-м порядком относительно и, если А ) 0 и нормы невязок решения дифференциальной задачи ил!еют следуюгцие величины: 11ф11:,=О(!!'), 11ф!1,=(7!!!!"). (19) Данное определение носит общий характер, т. е. п! л дифференциальной краевой залачей (7), (8) можно подразумевать пе только конкретную краевую задачу (1), (2), а в качестве разностной схемы (12). (13) может фигурировать не только разностная схема (14), (15) Олнако всюду будем предполагать, что дифференциальные операторы ).и, !и в залаче (7), (8) и разностпыс операторы (.лу, !лр в зада !с (12), (13) являются линейными.

В конце параграфа рассматривается краевая задача с более общимп краевыми условиями, чем выше, к которой ланное определение подходит. Убедимся, что разностная схема (14), (15) аппроксемируст краеву!о залачу (1), (2) на ее решении и со вторым порядком отиосител но lг. Действительно, тек как йи = 1, то !У=7.ли — 1=-7!'и — 7и па г»,', и, следовательно, согласно неравенству (10), где (.!Еи — оператор (9), имеем !! ф !1л = 1! 7, и — 7 и 11'„.= 11 7.и — ! ~и 11;, = 0 (Ь'). Кроме того, в соответствии с (18), (4), (13), (2) получаем 11ф!!а =шах(!и!! — да1, 1ия — д„1) = = !пах (1 и(0) — уа 1, 1и(1) — у, 1) = 0 ч!Ь, а постоянная, равная нулю, является величиной 0(йх).

3 а м е ч а и и е 1. В случае, если невязка ф равна нулю на в при любом й, то говорят, что разпостные краевые условия (13) аппроксилируюг точно заданпыс краевые условия (8) в исходной задаче. лес ехзностныи метод. основныв понятия Следующее важное определение тоже носит оощий характер. О п р е д е л е н и е. Скажем, что разностная схема (12), (13) устойчива, если существует такое пс ) О, что при любом й = 1/У( Ьа и произвольных сеточных функциях й е У'„, т) еп У„' разностная задача (20) 1'г=Ч (21) имеет единственное решение ге= У,, причем выполняется неравенство !1з!!л(с !!ь!!л+ с*!! ч)!л где с', с* — некоторые постоянные, не зависящие ни от й, ни от функций $, т!.

Свойство устойчивости (или же неустойчивости) разностной схемы является внутренним свойством разностной схемы как таковой, т. е. оно никак ие связывается с той исходной дифференциальной задачей, для которой построена разностная схема. Очень важно, ~тобы разностная схема была устойчива. Такая разностная схема, в частности, устойчива к погрешностям округлений, которые часто можно трактовать как аддитивные добавки в правые части уравнений (!2), (13) в виде некоторых сеточных функций $ я У;, Ч еп У".

При этом погрешность решения разностной схемы (12), (!3) в силу линейности схемы совпадает с рец!ениелл разностной задачи (20), (2!), которое согласно неравенству (22) будет мало, если малы погрешности 5, т! или, точнее говоря, их нормы !!Ил, !. Ч'!л Примечательно также, что постоянные с', с* в неравенстве (22) не зависят от й, т. е., выражаясь языком физики, можно сказать, что чувствительность устойчивой разностной схемы (12), (13) к возмущениям правых частей при измельчении сетки не увеличивается. Примеры неустойчивых разностных схем даны в 9 30. Следующая теорема свидетельствует об устойчивости построенной выше разностной схемы (14), (15). Т е о р е м а 2.