учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 33

Разностная схема (12), (13), гдв )лу — разностный оператор (9), !лу — р зностный опвратор (4), устойчива. 208 ГЛ. К РЕШЕНИЕ КРАЕВОИ ЗАдхчи для лии о д х Д о к а з а т е л ь с т в о. Выше было установлено, что указанная в теореме разностная схема (12), (13), в более подробной записи имеющая вид (14), (!5), при условии (!6) однозначно разрешима. Следовательно, разностная краевая задача (20), (21), отвечающая рассматриваемой разностной схеме (! 2), (13), тоже при условии (16) однозначно разрешима. Действвтельно, разностпая схема (12), (13) и соответствуюшая краевая задача (20), (21) являются системами линейных алгебраических уравнений, отличающимися только свободнымн членами.

Поэтому они однозначно разрешимы одновременно. Остается доказать существование постоянных с', с*. при которых решение задачи (20), (21) удовлетворяет неравенству (22). В силу линейности задачи (20), (21) ее решение г может быть представлено в виде (23) где Л, р — решения разностных задач гаЛ $ !лл О й =о, !"р= ). (24) (25) Поскольку д,)0, 1=1, 2, ..., Ж вЂ” 1, НЬ=!, то на основании леммы 22.2 для решения задачи (24) спра- ведчивы оценки !)Л((„= шах (Л!!(А" гпах )й~ )= е<!<и ~<!<и-~ = Жайа гпах !$!)= гпах ($, ! =))~ц.

~ <!<э-1 1<! <м — ! (26) Аналогично, задача (25) записывается в виде р, — (2 + й-'д!) р! + рг,, =- О, / = 1, 2, ..., У вЂ” 1, Р". = — Чо рн = Чм. Для простоты докажем неравенство (22) только в случае, когда функция р всюду равна нулю. Тогда -разностная задача (24) с учетом (14), (!5) может быть записана в следуюшем виде: , — (2+ Уг) )Л -1- Л „=Аз»э '=1, 2, ..., У вЂ” 1 л,=о, л,=о.

Ч ТВ. РАЗНОСТНЫП МЕТОД. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ гав Согласно лемме 22.3 норма решения задачи (25) выражается через [[т![[а: [[!а[[ = шах [!»![=шах([т1а[, [т! [)=[[а![[:. (27) о<!<н Поскольку согласно (23) Ы» ( [[),[[а + [[р[!а, то на основании (25), (27) решение задачи (20), (21) при р(х) =— 0 удовлетворяет неравенству (22) с постоянными с' = с' = 1. Можно доказать, что это неравенство справедливо при и, удовлетворяющем неравенству (16), и в случае произвольной функции р вд ~С[0, 1[, но с некоторыми другими постоянными с', с'.

Дадим еще одно важное определение. О п р е д е л е н и е. Говорят, что решение у разностной схемы (12), (13) сходится при измельчении сетки к решению и дифференциальной краевой задачи (7), (8) с й-м порядком относительно й, если й ) 0 и [[и — у[[а = 0(6»). (28) В этом случае говорят также, что разностная схема имеет й-й порядок точности. 3 а меч а н и я. 2. Данное определение тоже носит общий характер, т.

е., как и выше, под разностной схемой (12), (13) подразумевается не только разностная схема (14), (15), а в качестве дифференциальной задачи (7), (8) может фигурировать не только задача (1), (2). Кроме того, сеточная норма !!»а, используемая в формуле (28), может быть определена и другим способом, нежели в соответствии с (3). Однако следует иметь в виду, что наличие сходимости в смысле (28) при измельчении сетки зависит от свойств решения и исходной задачи (7), (8), от ревностной схемы (!2), (13), а также и от выбора норм и уа уа уа.

3. Говоря о сходимостн решения разностной схемы, слова «при измельчении сетки» для краткости будем опускать. Теперь можно сформулировать основную теорему теории разностных схем. Теорема 3. Пусть разностная схема (12), (13) аппраксимирует дифференциальную краевую задачу (7), (8) на ее решении и с й-м порядков относительно Ь и пусть она устойчива.

Тогда решение ризностной и!О ГЛ. б. РЕШЕНИЕ КРАЕВОП ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИН. О. Д Х схемьг сходится к решению дифференциальной задачи с тем зке порядком относительно 6. До к а з а тел ь ство. Поскольку по условию теоремы разиостиая схема аппрокснмирует дифференциальную задачу с 6-м порядком, то согласно (19) существуют такие числа й1 > О, с1 > О, что при й ( й~ выполняются неравенства 11ф11'„(с,)г". 11 р11»<с,й', где»р, гр — невязки решения дифференциальной задачи (см.

(17), (18)). Вычитая из (17), (18) соответственно (12), (13), в силу линейности операторов Ь», !» получаем ь" (и — у) =ф, 1 (и — у) =~р. (3 3) Поскольку по предположению разностная схема устойчива, то существуют такие числа Ьь, О < йь ( < йь с', с*, что при й < 6ь разиостная задача (30) однозначно разрешима. При этом на основании (22), (29) выполняются неравенства 11и — у11 (с'11ф11', + с'1)~р)1»(сей»+ сей»= ей», где и — решение дифференциальной краевой задачи (?), (8), у — решение разносгной схемы (12), (13), с = с~(с'+ с') не зависит от Ь, Ь ( йь. Основная теорема доказана. 3 а и е ч а н и я. 4. Определения аппроксимации, устой ивости и сходимости решения разностной схемы и доказанная основная теорема, кратко формулируемая так: «аппроксимация плюс устойчивость есть сходимость», носят общий характер и в дальнейшем будут служить рабочим инструментом при рассмотрении разиостиых схем для других задач.

Намеченный путь исследования трудного вопроса сходимости разделением иа две самостоятельные части (проверка аппроксимаиии и исследование устойчивости) является общепринятым. На практике обычно строят различные варианты разиостных схем, обладающих свойством аппроксимации, и стремятся выбрать устойчивую ргзностную схему. 5. Что касается конкретной разностной схемы (14), (15), то, поскольку она аппраксимирует краевую задачу (!), (2) со вторым порядком относительно Ь (это $22.

Р»ЗНОСТНЫИ МЕТОД. ОСНОВНЫЕ ПОПЯТИЯ 21! было установлено выше) и согласно теореме 2 устойчива, имеет место сходнмость решения у разностной краевой задачи (14), (15) при измельчении сетки к решению и задачи (1), (2) со вторым порядком относительно 6, т. е. []и — р]], =О (62). (31) Другимн словами, разностная схема (14), (15) имеет второй порядок точности. Заметим, что согласно определению в (3) нормы ][ ]~» левая часть равенства (31) является максимумом модуля уклонения на сетке ы» решения у разностной схемы (14), (15) от решения и дифференциальной краевой задачи (1), (2). Аппроксимация краевых условий второго и третьего рода. Зададим более общие,.

чем (2), краевые условия (,и — = и (0) — й»и'(0) = у„ (,и =— а,и (1) + [1,и'(1) = ун (2*) где аь !гь у; — заданные числа, причем аг > О, (12 > О, ! = О, 1, аг+ ()г > О. Краевое условие иа левом конце отрезка [О, 1] может быть условием первого рода (р, = 0) и условием третьего рода (р»г> 0), а краевое условие в точке х = 1 может быть также и условием второго рода (аг = О, Рг = 1) Краевая задача (1), (2*) прп тех же требованиях к функциям р, г1, !', что и в задаче (1), (2), тоже имеет единственное решение и(х) е:— С»[О, 1]. Краевая за- дача (1), (2) является частным случаем задачи (1), (2*) (аг = 1, [!» = рг = 0).

Для аппроксимации краевых условий (2*) посту- паем следующим образом. Пусть и(х) — решение крае- вой задачи (!), (2*). Поскольку аг и, = и, + йи„' + — и„" + О (Ь'), где и<~'=и'»!(0), то (32) или, более грубо, и'= ' ' + О(й). (33) О1О ГЛ. О РЕШЕНИЕ КРАЕВОИ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИХ. О. Д. У. Принимая во внимание, что и удовлетворяет уравненшо (1), можем написать следующее равенство: и„" = 1 — р„и„'+ д,и . Следов а тел ь но, с огл асио (33) и м е ем о'=)о — Ро ' „'+доно+0(Ь) или, что то же самое, аоио — Ьои, =- по + 0 (Ь'), .где а.=1+Ь.+() Чот Ь =Р.Ь+ —,), (34) (35) ь".о = уо — " — ' Р(а 2 (38) Аналогично, используя уравнение (1) и второе краевое условие (2"), находим следующую связь между значениями иу и иу ~ решения задачи (1), (2) в крайнем правом и предпоследнем узлах сетки аоо: а,и„— Ь,ии, = Ьа + О (Ьо), (37) где А /! а,=а~+ 5~+ рс7иу Ь,=(о|(А — е ), (38) йЪ= у~ — Ь вЂ”, 51(У (39) Введем разностный оператор (од: аод, — Ь,ди 1= О, (1"д); = а,д„— Ь,д,, 1= Л', где коэффициенты ао, Ьо, аь Ь~ определены формула- ми (35), (38).

Будем теперь подразумевать под краевой задачей (7), (8) краеву1о задачу (1), (2*), считая при этом, что дифференциальный оператор ьи по-прежнему определен формулой (5), а граничный оператор 1и (40) Подставив найденное выражение и," в (32), а за. тем полученное ио — в первое краевое условие (2*), получим следующее соотношение: ('о~ ь + р, Ро ь Чоио)~=Ко Ь ~ +О (Ь ), 9 29 РАЗНОСТНЫП МЕТОД.