учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 33

DJVU-файл учебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с), страница 33 Вычислительная математика (1172): Книга - 3 семестручебное пособие для ВУЗов (учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с) - DJVU, страница 33 (1172) - С2015-11-15СтудИзба

Описание файла

Файл "учебное пособие для ВУЗов" внутри архива находится в папке "учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с". DJVU-файл из архива "учебное пособие для ВУЗов. - 2-е изд.,испр. - М.- Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит.,1987. - 248 с", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вычислительная математика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "вычислительная математика (численные методы)" в общих файлах.

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 33 - страница

Разностная схема (12), (13), гдв )лу — разностный оператор (9), !лу — р зностный опвратор (4), устойчива. 208 ГЛ. К РЕШЕНИЕ КРАЕВОИ ЗАдхчи для лии о д х Д о к а з а т е л ь с т в о. Выше было установлено, что указанная в теореме разностная схема (12), (13), в более подробной записи имеющая вид (14), (!5), при условии (!6) однозначно разрешима. Следовательно, разностная краевая задача (20), (21), отвечающая рассматриваемой разностной схеме (! 2), (13), тоже при условии (16) однозначно разрешима. Действвтельно, разностпая схема (12), (13) и соответствуюшая краевая задача (20), (21) являются системами линейных алгебраических уравнений, отличающимися только свободнымн членами.

Поэтому они однозначно разрешимы одновременно. Остается доказать существование постоянных с', с*. при которых решение задачи (20), (21) удовлетворяет неравенству (22). В силу линейности задачи (20), (21) ее решение г может быть представлено в виде (23) где Л, р — решения разностных задач гаЛ $ !лл О й =о, !"р= ). (24) (25) Поскольку д,)0, 1=1, 2, ..., Ж вЂ” 1, НЬ=!, то на основании леммы 22.2 для решения задачи (24) спра- ведчивы оценки !)Л((„= шах (Л!!(А" гпах )й~ )= е<!<и ~<!<и-~ = Жайа гпах !$!)= гпах ($, ! =))~ц.

~ <!<э-1 1<! <м — ! (26) Аналогично, задача (25) записывается в виде р, — (2 + й-'д!) р! + рг,, =- О, / = 1, 2, ..., У вЂ” 1, Р". = — Чо рн = Чм. Для простоты докажем неравенство (22) только в случае, когда функция р всюду равна нулю. Тогда -разностная задача (24) с учетом (14), (!5) может быть записана в следуюшем виде: , — (2+ Уг) )Л -1- Л „=Аз»э '=1, 2, ..., У вЂ” 1 л,=о, л,=о.

Ч ТВ. РАЗНОСТНЫП МЕТОД. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ гав Согласно лемме 22.3 норма решения задачи (25) выражается через [[т![[а: [[!а[[ = шах [!»![=шах([т1а[, [т! [)=[[а![[:. (27) о<!<н Поскольку согласно (23) Ы» ( [[),[[а + [[р[!а, то на основании (25), (27) решение задачи (20), (21) при р(х) =— 0 удовлетворяет неравенству (22) с постоянными с' = с' = 1. Можно доказать, что это неравенство справедливо при и, удовлетворяющем неравенству (16), и в случае произвольной функции р вд ~С[0, 1[, но с некоторыми другими постоянными с', с'.

Дадим еще одно важное определение. О п р е д е л е н и е. Говорят, что решение у разностной схемы (12), (13) сходится при измельчении сетки к решению и дифференциальной краевой задачи (7), (8) с й-м порядком относительно й, если й ) 0 и [[и — у[[а = 0(6»). (28) В этом случае говорят также, что разностная схема имеет й-й порядок точности. 3 а меч а н и я. 2. Данное определение тоже носит общий характер, т.

е., как и выше, под разностной схемой (12), (13) подразумевается не только разностная схема (14), (15), а в качестве дифференциальной задачи (7), (8) может фигурировать не только задача (1), (2). Кроме того, сеточная норма !!»а, используемая в формуле (28), может быть определена и другим способом, нежели в соответствии с (3). Однако следует иметь в виду, что наличие сходимости в смысле (28) при измельчении сетки зависит от свойств решения и исходной задачи (7), (8), от ревностной схемы (!2), (13), а также и от выбора норм и уа уа уа.

3. Говоря о сходимостн решения разностной схемы, слова «при измельчении сетки» для краткости будем опускать. Теперь можно сформулировать основную теорему теории разностных схем. Теорема 3. Пусть разностная схема (12), (13) аппраксимирует дифференциальную краевую задачу (7), (8) на ее решении и с й-м порядков относительно Ь и пусть она устойчива.

Тогда решение ризностной и!О ГЛ. б. РЕШЕНИЕ КРАЕВОП ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИН. О. Д Х схемьг сходится к решению дифференциальной задачи с тем зке порядком относительно 6. До к а з а тел ь ство. Поскольку по условию теоремы разиостиая схема аппрокснмирует дифференциальную задачу с 6-м порядком, то согласно (19) существуют такие числа й1 > О, с1 > О, что при й ( й~ выполняются неравенства 11ф11'„(с,)г". 11 р11»<с,й', где»р, гр — невязки решения дифференциальной задачи (см.

(17), (18)). Вычитая из (17), (18) соответственно (12), (13), в силу линейности операторов Ь», !» получаем ь" (и — у) =ф, 1 (и — у) =~р. (3 3) Поскольку по предположению разностная схема устойчива, то существуют такие числа Ьь, О < йь ( < йь с', с*, что при й < 6ь разиостная задача (30) однозначно разрешима. При этом на основании (22), (29) выполняются неравенства 11и — у11 (с'11ф11', + с'1)~р)1»(сей»+ сей»= ей», где и — решение дифференциальной краевой задачи (?), (8), у — решение разносгной схемы (12), (13), с = с~(с'+ с') не зависит от Ь, Ь ( йь. Основная теорема доказана. 3 а и е ч а н и я. 4. Определения аппроксимации, устой ивости и сходимости решения разностной схемы и доказанная основная теорема, кратко формулируемая так: «аппроксимация плюс устойчивость есть сходимость», носят общий характер и в дальнейшем будут служить рабочим инструментом при рассмотрении разиостиых схем для других задач.

Намеченный путь исследования трудного вопроса сходимости разделением иа две самостоятельные части (проверка аппроксимаиии и исследование устойчивости) является общепринятым. На практике обычно строят различные варианты разиостных схем, обладающих свойством аппроксимации, и стремятся выбрать устойчивую ргзностную схему. 5. Что касается конкретной разностной схемы (14), (15), то, поскольку она аппраксимирует краевую задачу (!), (2) со вторым порядком относительно Ь (это $22.

Р»ЗНОСТНЫИ МЕТОД. ОСНОВНЫЕ ПОПЯТИЯ 21! было установлено выше) и согласно теореме 2 устойчива, имеет место сходнмость решения у разностной краевой задачи (14), (15) при измельчении сетки к решению и задачи (1), (2) со вторым порядком относительно 6, т. е. []и — р]], =О (62). (31) Другимн словами, разностная схема (14), (15) имеет второй порядок точности. Заметим, что согласно определению в (3) нормы ][ ]~» левая часть равенства (31) является максимумом модуля уклонения на сетке ы» решения у разностной схемы (14), (15) от решения и дифференциальной краевой задачи (1), (2). Аппроксимация краевых условий второго и третьего рода. Зададим более общие,.

чем (2), краевые условия (,и — = и (0) — й»и'(0) = у„ (,и =— а,и (1) + [1,и'(1) = ун (2*) где аь !гь у; — заданные числа, причем аг > О, (12 > О, ! = О, 1, аг+ ()г > О. Краевое условие иа левом конце отрезка [О, 1] может быть условием первого рода (р, = 0) и условием третьего рода (р»г> 0), а краевое условие в точке х = 1 может быть также и условием второго рода (аг = О, Рг = 1) Краевая задача (1), (2*) прп тех же требованиях к функциям р, г1, !', что и в задаче (1), (2), тоже имеет единственное решение и(х) е:— С»[О, 1]. Краевая за- дача (1), (2) является частным случаем задачи (1), (2*) (аг = 1, [!» = рг = 0).

Для аппроксимации краевых условий (2*) посту- паем следующим образом. Пусть и(х) — решение крае- вой задачи (!), (2*). Поскольку аг и, = и, + йи„' + — и„" + О (Ь'), где и<~'=и'»!(0), то (32) или, более грубо, и'= ' ' + О(й). (33) О1О ГЛ. О РЕШЕНИЕ КРАЕВОИ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИХ. О. Д. У. Принимая во внимание, что и удовлетворяет уравненшо (1), можем написать следующее равенство: и„" = 1 — р„и„'+ д,и . Следов а тел ь но, с огл асио (33) и м е ем о'=)о — Ро ' „'+доно+0(Ь) или, что то же самое, аоио — Ьои, =- по + 0 (Ь'), .где а.=1+Ь.+() Чот Ь =Р.Ь+ —,), (34) (35) ь".о = уо — " — ' Р(а 2 (38) Аналогично, используя уравнение (1) и второе краевое условие (2"), находим следующую связь между значениями иу и иу ~ решения задачи (1), (2) в крайнем правом и предпоследнем узлах сетки аоо: а,и„— Ь,ии, = Ьа + О (Ьо), (37) где А /! а,=а~+ 5~+ рс7иу Ь,=(о|(А — е ), (38) йЪ= у~ — Ь вЂ”, 51(У (39) Введем разностный оператор (од: аод, — Ь,ди 1= О, (1"д); = а,д„— Ь,д,, 1= Л', где коэффициенты ао, Ьо, аь Ь~ определены формула- ми (35), (38).

Будем теперь подразумевать под краевой задачей (7), (8) краеву1о задачу (1), (2*), считая при этом, что дифференциальный оператор ьи по-прежнему определен формулой (5), а граничный оператор 1и (40) Подставив найденное выражение и," в (32), а за. тем полученное ио — в первое краевое условие (2*), получим следующее соотношение: ('о~ ь + р, Ро ь Чоио)~=Ко Ь ~ +О (Ь ), 9 29 РАЗНОСТНЫП МЕТОД.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее