1193507387 (Конспект лекций), страница 29

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Статистическая гипотеза. Статистический критерий Под статистической гипотезой (или просто гипотезой) понимают всякое высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемое по выборке. Глава 7. Элементы теории оценок и проверки гипотез ° 211 Статистические гипотезы делятся на гипотезы о параметрах распределения известного вида (это так называемые параметрические гипотезы) и гипотезы о виде неизвестного распределения (непараметрические гипотезы). Одну из гипотез выделяют в качестве основной (или нулевоа) и обозначают Нд, а другую, являющуюся логическим отрицанием Нд, т.е.

противоположную Нд — в качестве конкурирующей (или альтернативноа) гипотезы и обозначают Н1. Гипотезу, однозначно фиксирующую распределение наблюдений, называют простой (в ней идет речь об одном значении параметра), в противном случае — влажной. Например, гипотеза Нд, состоящая в том что математическое ожидание с.в. Х равно ад, т.е.

МХ = ад, является простой. В качестве альтернативной гипотезы можно рассматривать одну из следующих гипотез: Н,: МХ ) ад (сложная гипотеза), Н1. МХ ( ад (сложная), Н1. МХ ~ ад (сложная) или Н1'. МХ = а1 (простая гипотеза). Имея две гипотезы Нд и Нм надо ва основе выборки Хы...,Х„ принять либо основную гипотезу Нд, либо конкурирующую Нр Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Нд (соответственно, отклонить или принять Н1), называется статистическим критерием (или просто критерием) проверки гипотезы Нд.

Проверку гипотез осуществляют на основании результатов выборки ХИХг,..., Х„, из которых формируют функцию выборки Т„ = Т(ХП Хг,..., Х ), называемой статистикой критерия. Основной принцип проверки гипотез состоит в следующем. Множество возможных значений статистики критерия Т„разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область Я, т.е. область отклонения гипотезы Нд и область Я принятия этой гипотезы. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия (т. е.

значение критерия, вычисленное по выборке: Т„,дл = Т(хы хз,..., х„)) попадает в критическую область Я, то основная гипотеза Нд отклоняется и принимается альтернативная гипотеза Н1, если же Т„гд попадает в Я, то принимается Нд, а Н1 отклоняется. При проверке гипотезы может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов: О~иибка первого рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза Нд, когда на самом деле она верна. О~иибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза Ны когда она на самом деле верна. 21г ° Раздел второй. Основы математической статистики Рассматриваемые случаи наглядно иллюстрирует следующая таблица. Вероятность ошибки 1-го рода (обозначается через ег) называется уровнем значимости критерил.

Очевидно, ег = р1Н1 ~Но). Чем меньше ег, тем меньше вероятность отклонить верную гипотезу. Допустимую ошибку 1-го рода обычно задают заранее. В одних случаях считается возможным пренебречь событиями, вероятность которых меньше 0,05 (ег = 0,05 означает, что в среднем в 5 случаях из 100 испытаний верная гипотеза будет отвергнута), в других случаях, когда речь идет, например, о разрушении сооружений, гибели судна и т. п., нельзя пренебречь обстоятельствами, которые могут появиться с вероятностью, равной 0,001. Обычно для а используются стандартные значения: ег = 0,05; а = 0,01; 0,005; 0,001.

Вероятность ошибки 2-го рода обозначается через ф, т.е. = р(н,~н,). Величину 1 — ф, т.е. вероятность недопущения ошибки 2-го рода (отвергнуть неверную гипотезу Но, принять верную Н1), называется мощностью критерил. Очевидно, 1 — ф = р(Н1~Н1) = рох1,хг,...,х„) Е Я~Н1). Чем больше мощность критерия, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше, что, конечно, желательно (как и уменьшение ег). Последствия ошибок 1-го, 2-го рода могут быть совершенно различными: в одних случаях надо минимизировать ег, в другом — р.

Так, применительно к радиолокации говорят, что а — вероятность пропуска сигнала, ф — вероятность ложной тревоги; применительно к производству, к торговле можно сказать, что а — риск поставщика 1т.е. забраковка по выборке всей партии изделий, удовлетворяющих стандарту), ф — риск потребителя (т. е. прием по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющей стандарту); применительно к судебной системе, ошибка 1-го рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-го рода — осуждению невиновного.

Отметим, что одновременное уменьшение ошибок 1-го и в-го рода возможно лишь при увеличении объема выборок. Поэтому обычно прв заданном уровне значимости ег отыскивается критерий с наибольшей мощностью. Глава 7. Элементытеорииоценоки проверки гипотез ' 213 Методика проверки гипотез сводится к следующему: 1. Располагая выборкой Хы Хз,..., Х„, формируют нулевую гипотезу Не и альтернативную Н,. 2. В каждом конкретном случае подбирают статистику критерия Т„= = Т(Хы Хг,..., Х„), обычно из перечисленных ниже: У вЂ” нормальное распределение, Хз — распределение хи-квадрат (Пирсона), 1 распределение Стьюдента, Р— распределение Фишера — Снедекора.

3. По статистике критерия Т„и уровню значимости гк определяют критическую область Я (и Я). Для ее отыскания достаточно найти критическую точку 1кр, т.е. границу (или квантиль), отделяющую область Я от Я. Границы областей определяются, соответственно, из соотношений: Р(Тн ) 8 р) = гт, для правосторонней критической области Я (рис. бЗ); Р(Тп < бакр) = гк, для левосторонней критической области Я (рис. б4); Р(Тн < И ) = Р(Тн ) Ф"„~) = ~, для двусторонней критической области Я (рис.

б5). Риа 63 Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую приведенным выше соотношениям. 4. Для полученной реализации выборки х = (хыхз,...,х„) подсчи- тывают значение критерия, т. е. Т,к = Т(хы хз,..., х„) = 1. 5. Если 8 е Я (например, 1 ) бакр для правосторонней области Я), то нулевую гипотезу Нв отвергают, если же Ф Е Я (1 < 8„р), то нет оснований, чтобы отвергнуть гипотезу Нв. 214 ' Раздел второй. Основы математической статистики Рис. б.( Рис.

бб 7.6. Проверка гипотез о законе распределения Во многих случаях закон распределения изучаемой случайно величины неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет вполне определенный вид: нормальный, биномиальный или какой-либо другой. Пусть необходимо проверить гипотезу Ню о том, что с.в.

Х подчиняется определенному закону распределения, заданному функцией распределения Гю(х), т. е. Но: Гх(х) = Рю(х). Под альтернативной гипотезой Н1 будем понимать в данном случае то, что просто не выполнена основная (т. е. Нг' Гх(х) И Рю(х)). Глава 7.

Элементы теории оценок и проверки гипотез ° 215 Для проверки гипотезы о распределении случайной величины Х проведем выборку, которую оформим в виде статистического ряда: (7.11) где ~ и, = и — объем выборки. 1=1 Требуется сделать заключение: согласуются ли результаты наблюдений с высказанным предположением. Для этого используем специально подобранную величину — критерий согласия. Критерием согласил называют статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. (Он используется для проверки согласия предполагаемого вида распределения с опытными данными на основании выборки.) Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера, Смирнова и др. Критерий согласия Пирсона — наиболее часто употребляемый кри- терий для проверки простой гипотезы о законе распределения.

Критерий Хз Пирсона Для проверки гипотезы Но поступают следующим образом. Разбивают всю область значений с.в. Х на тп интервалов Ь1, Ьз,..., Ь~ и подсчитывают вероятности р; (1 = 1,2,...,т) попадания с.в. Х (т.е. наблюдения) в интервал Ь;, используя формулу Р(а < Х < 1т1 = го(1?) — Рв(ск). Тогда теоретическое число значений с.в. Х, попавших в интервал Ь;, можно рассчитать по формуле и.

р,. Таким образом, имеем статистический ряд распределения с. в. Х (7.11) и теоретический ряд распределения: (7.12) Если эмпирические частоты (и,) сильно отличаются от теоретических (пр, = и';), то проверяемую гипотезу Нв следует отвергнуть; в противном случае принять. Каким критерием, характеризующим степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, следует воспользоваться? В качестве меры расхождения между и, и пр, для т' = 1, 2,...,т 216 ' Раздел второй. Основы математической статистики К. Пирсон (1857-193б; англ. математик, статик, биолог, философ) предложил величину («критерий Пирсона»): т 2 т 2 2 (п1 пр1) (7.13) Согласно теореме Пирсона, при и — + оо статистика [7.13) имеет Х~- распределение с Й = т — т. — 1 степенями свободы, где т — число групп (интервалов) выборки, г — число параметров предполагаемого распределения.