1193507387 (Конспект лекций), страница 33

Здесь х03 = 1,..., х1зо» = 4, х»зО = 4,..., х»оо1 = 6. 5. а) Вторая реализация и представляет собой вариационный ряд. б) Статистический ряд таков: (",»'и, =60, ~ р,*=1). »ец 242 ' Ответы к упражнениям 6.%(х) = 7. Число интеРвалов т = 1+ 1обг 60 = 1+3,322 1860 = 6,9. Возьмем т = 6.

х,„— х;„= 6 — 1 = 5; длина интервала й = — = 0,833. Возьмем 5 = 1. 5 Интервальный статистический ряд имеет вид: [х1 — 1|х,) [0,5; 1,5) [1,5; 2,5) [2,5; 3,5) [3,5; 4,5) [4,5; 5,5) [5,5; 6,5) и, 7 10 8 12 10 13 8. Полигон частот и гистограмма частостей изображены, соответственно, на рис. 74 и 75. Рис. 74 9 ) х 1 7 + 2 . 10 + ... + 6 13 3 783, б) 71 1 (1г 7 + 2г 10 + .а х,— 60 в = 60 ... + бг 13) — (3,783)г = 2,839; в) Яг = — .

2,836 = 2 888 Я = ъ''.зг = 1 699 г) В = 6 — 1 = 5; Мз — — 6; М,* = 2(х(зо) + х(зц) = 2 ° (4+ 4) = 4. О, прих< — при 1 < 7 60' — при 2 < 17 60' 25 — при 3< 60' — при 4 < 37 60' — при 5 < 47 60' 1, при 6< х<2, х<3, х (4, х(5, х (6, Ответы «упражнениям ' 2 — ж 0,217 13 6012 — =0,2 60 — 0,167 10 7 60 — и 0,117 Рис. 75 Глава 7 7.2 а<и е и 1.

Распределение Пуассона р(Х = т) = ' содержит один параметр т! Для оценки его методом моментов запишем уравнение МХ = х„т. е. а п = х,. Оценка О параметра а = 0 есть 0 = х, = — ~ х;, т. е. 0 = х. <=1 2. Х вЂ” дискретная с. в. с законом распределения х; 0 1 р< 1 — р Так как < 1 — О, если х, = О, р(х;,0) = р(Х = х,,О) = (О, если х, =1, то функция правдоподобия имеет вид: Л = Л(х, 0) = 0 (1 — 0)4. Тог< 1пЬ = 6 ° 1пО+ 41п(1 — 0), уравнение правдоподобия (6 4 )) б Отсюда находим, что О = р' = 0,6.

3. а) Пусть О (или р или р*) — оценка неизвестной вероятности О (или р) и< явления некоторого события А (успех) в одном испытании. Согласно мет< ду моментов приравниваем теоретическое МХ = р выборочному среднем и 1 я,~ х« р = х. Искомая оценка есть О = х. 244 ' Ответы к упражнениям б) Так как (1 — О, р(х,, О) = р(Х = х;,О) = [О, если х; = О, если х, = 1, то функция правдоподобия имеет вид: .б = Ь(хмхг,...,х;О) =р(Х =х,,В) = = р(хм О) р(хг, В) ...

р(х„, В) = 0"" (1 — В)" а+6 2 = хв1 (Ь- а)г 12 = в~ < МХ =х, т. е. РХ = Р„ 6 = 2х — а, (2х — 2а) = 12ог, т.е. (х — а)г = Зог, х — а = хт/Зов, х, = а+т/Зов и, значит, а = х,— т/Зо„Ь = хв+т/Зо, (вариант х, = а — т/Зо„ т. е, а = х, + т/Зо„Ь = х, — т/Зо„исключаем, так как а < 6). Таким образом, оценки величин а и 6 таковы: 01 = а = х, — т/Зо„ Вг = Ь = х~ + т/Зо~, Отметим, что, решая систему и МХ= — 2 Х;=*, ь=1 1 МХг = — 2 Хг = хг п г— з=1 получим те же оценки для а и 6. В этом случае г [ хгс1х аг+ аЬ+ 6г ( 6 — а 3 а МХ 1 хх +Ь 1 Ь вЂ” а 2 а Система принимает вид а+Ь 2 =х аг + аЬ+ Ьг — хг 3 где пд = ~~ Х, число успехов (наступления события А) в п независим=1 мых испытаниях. 1п.б = пА 1пВ+ (и. — пА) 1п(1 — О).

Решаем уравнение пА п — пА пя иА правдоподобия — — = О. Отсюда 0 = —, т.е. оценка 0 = —, 0 1 — 0 п п ' ((1 б)~~ < 0). 4. Требуется оценить две величины 01 и Вг, т. е. а и 6, методом моментов. Так а+ Ь (Ь вЂ” а) как для с.в. Х тт[а Ь1, то МХ = РХ = . Решаем систему 2 ' 12 уравнений Ответы к упражнениям ' 245 О з. за; 2 = —. —,З,Ф:1ЗЗ = З вЂ”,ГЗ.,З.- = З-,З.„ Ь = х+ з/Зеа, 5. В данном случае 1а — а) 1л-(х) = е 2аз = ~х(х,а,е). о. 1/з2л Так как то функция правдоподобия имеет вид: Е 1*1 — в1)2 ° =1 Ь=2(х,В) = „е 'Я 1 02 (2л) 2 Тогда 1пЬ = — п1п02 — — 1п2л — ~(х; — 01) . п 2 202 2 1=1 Система уравнений максимального правдоподобия имеет видз д1ПЬ 1 Е( д01 02 д1ПЛ и+ 1 д02 02 02 — в)=о, ~ (х; — в,) = о, 1=1 Отсюда х,— п01=0, Х:— т.

е, 01 = п ~ х; = х, д 1п.б д02 11в,,в,) В— д01д02 11(в,в ) — =.0=0, 2 022 = — 2,'(х, — х) (02 1=1 убедиться, что (01,02) Ь = АС вЂ” В2 где 12, — в1)2 ,1(х; О) = е 02. ъ 2л — оценка неизвестного параметра е = 02). Можно — точка максимума функции 1пЬ(х,в). Найдем 02' 2 2 -= ~ '(х, — В,) з В2 '=1 246 ' Отеетыкупрежненням и д21п.б! и 3 к г д0 (выв~) 02 04 и 3 йг п — — — и 02 022 024 02 2 Следовательно, Ь = п ) О, А < О, поэтому точка (ОПОг) есть точка 02 г максимума функции Цх, О). 1. п = 1000, Х [О, 1], т.

е. а = О, Ь = 1, р1 = 0,1 = рг = ... = рдо; Х„,~ 1052 95г 1052 95г = — + — +...+ + — — 1000 = 14' Х~ . = 217. Так как 100 100 ''' 100 100 О,вне Х„,в ( Хоогг, то гипотеза не отвергается. 2 2 2. Находим х, и о,: х = (152,5 6+157,5 22+162,5 36+...+187,5 2) 1 168,45. Здесь 152,5 = 2 , 157,5 = и т. д. Р 150 + 155 155 + 160 — (152,5 . 6+ 157,5 22+...

+ 187,52 . 2) — (68,45) = 53,348. Тогда о = 7,3. Так как пв = 2 — мало, то последние два интервала объединяем. Составляем таблицу: (-оо,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180, +ос) 36 46 56 24 10 6 22 1. Воспользуемся формулой (7.3): е = — ' и (7.6) Ф0(~) = —. Имеем в = 5, т о 7 ,/и ' 2' о = 15, у = 0,9, Фо(1) = 0,45.

По таблице находим, что 4 = 1,65. Тогда 1,65 15 1,652 152 5 = ' . Отсюда п = ' = 24,5025, т.е, необходимо сделать не ,/й 52 менее 25 измерений. 0 2. х, = х = — ~~ х,п, = — (153 4+159 5+165 6+171 7+177.5+183 3) = 30 ' ' 30 1'=! = 167,6; Я = 9,28; при 7 = 0,95 и п — 1 = 29 по таблице распределения 2,05. 9,28 Стьюдента находим 1т = 2,05. Следовательно, в = ' ' = 3,47. Дове- 30 рительный интервал таков: (164,13; 171,07).

3. По условию п = 400, п,4 = 80, у = 0,95. Относительная частота события А есть р = — = 0,2. Из соотношения Фв(й) = — = 0,475 находим 1, пользу- ПА 7 ясь таблицей значений функции Лапласа: 1 = 1,96. Находим р4 и рг (фор- 0,2 0,8 0,2 0,8 мула (7.10)): р1 = 0,2 — 1,96 40 -- 0,161, рг = 0,2+1,96 400 0,239. Итак, доверительный интервал есть (0,161; 0,239). Ответыкупражиеииям ' 247 Для расчета вероятностей р, попадания случайной величины Х в г-й ин- тервал используем функцию Лапласа: — 168,45 — Фо( — оо) = 0,5 — Фо(1,84) = 0,5 — 0,4671 = 0,0329 — 168,45 1 (155 — 168,45 = Фо( — 1,15) — Фо( — 1,84) = 0,0922 — 168,45 1 (160 — 168,45~ = Фо( 0 47) — Фо( — 1,15) = 0,194 — 168,45 1 (155 — 168,45 = Фо( — 0,21) — Фо( — 0,47) = 0,26 ро = 0,127, рт = 0,5 — Фо(1,58) = 0,0571.

/155 р1=Фо~ /160 Рг=Фо( /165 Рз=Фо'( /170 Р4=Фо( Ро = 0,2327, Тогда т ( бг 22г 10 200 (,0,0329 О 0922 + ' + 0,0571 200 ,=1 ~,к = Хо,оо,4 = 9,5. Так как Х а < Х, то гипо Н вЂ” г г г отвергается, 3. 8 Х~Р1 = 1~ тв = 168,45, о- = 7,3 1=1 Составим таблицу; 248 ° Ответы к упражнениям Проверяемая гипотеза состоит в том, что с. в. Х имеет нормальное распределение, т. е. Ро(х) = 0,5+ Фо( „): Ро(150) = 0,5+ Фа ~ ' ) = 0,5 — Фо(2,53) = 0,0057; /150 — 168,45 ) Ро(155) = 0,5+ Фо 1 ) = 0,5 — Фо(1 8'1) = 0,0329; /155 — 168,45)) ) Ро(160) = 0,5+ Фо 1 ' ) = 0,5 — Фо(1,16) = 0,123; /160 — 168,45 ~ Ро(165) = 0,5+ Фо 1 ' ) = 0,5 — Фо(0,47) = 0,3192; /165 — 168,45 ) Ро(170) = 0,5+ Фо ~ ' ) = 0,5+ Фо(0,21) = 0,5832; / 170 — 168,45 ~ ) ~о(175) =0,5+Фо1 73 ' ) =0,5+Фа(0,90) =0,8159; /175 — 168,45 1 ) Ро(180) = 0,5+ Фо 1 ' ) = 0,5+ Фо(1,58) = 0,9429; /180 — 168,45 )) Ро(185) = 0,5+ Фо ~ ) = 0,5+ Фо(2,27) = 0,9884; /185 — 168,45)) Ро(190) = 0,5+ Фо ~ 7 3 ) = 0,5+ Фо(2,95) = 0,9984.

/190 — 168,45) ) Максимальное отклонение эмпирической функции распределения от теоретической есть Р„= )Р„*(170) — го(170)) = 0,0332. Следовательно, Р„ ,/и = ~/200 0,0332 — 0,47. Критическое значение критерия Колмогорова равно Лова = Л = 1,36. Так как Р„/и ( Л , то гипотеза Но согласуется с опытными данными. 250 ° Приложения 2 г с Приложение 2. Значение функции Фа(х) = — / е 2 Ш ~/2~г о Сотые доли х Десятые доли х 4918 4997 4953 4998 4974 4999 4821 4990 4961 5000' 4861 4993 4893 4995 4938 4998 4965 4999 2, 3, 4773 4987 'Точное значение отличается меньше, чем на 5 10 ь. 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 0,0000 0398 0793 1179 1554 1915 2258 2580 2881 3159 3413 3643 3849 4032 4192 4332 4452 4554 4641 4713 0040 0438 0832 1217 1591 1950 2291 2612 2910 3186 3438 3665 3869 4049 4207 4345 4463 4564 4649 4719 0080 0478 0871 1255 1628 1985 2324 2642 2939 3212 3461 3686 3888 4066 4222 4357 4474 4573 4656 4726 0112 0517 0910 1293 1664 2019 2357 2673 2967 3238 3485 3708 3907 4082 4236 4370 4485 4582 4664 4732 0160 0557 0948 1331 1700 2054 2389 2704 2996 3264 3508 3729 3925 4099 4251 4382 4495 4591 4671 4738 0199 0596 0987 1368 1736 2088 2422 2734 3023 3289 3531 3749 3944 4115 4265 4394 4505 4599 4678 4744 0239 0636 1026 1406 1772 2123 2454 2764 3051 3315 3553 3770 3962 4131 4279 4406 4515 4608 4686 4750 0279 0675 1064 1443 1808 2157 2486 2794 3079 3340 3577 3790 3980 4147 4292 4418 4525 4616 4693 4756 0319 0714 1103 1480 1844 2190 2518 2823 3106 3365 3599 3810 3997 4162 4306 4430 4535 4625 4700 4762 0359 0754 1141 1517 1879 2224 2549 2852 3133 3389 3621 3830 4015 4177 4319 4441 4545 4633 4706 4767 .