1193507387 (Конспект лекций)

УДК 519.2(075.8) ББК 22.17я73 П34 Все права защищены. Никакая часть данной книги не может переиздаваться или распространяться в любой форме и любыми средствами, электронными или механическими, включая фотокопирование, звукозапись, любые запоминающие устройства и системы поиска информации, без письменного разрешения правообладателя. Серийное оформление А.

М. Драгового Письменный Д. Т. П34 Конспект лекций по теории вероятностей и математическо~ статистике. — М.: Айрис-пресс, 2004. — 25б с. — (Высшее абра аоваиие). 18Б14 5-8112-0970-8 Настоящая книга представляет собой курс лекций по теории вероятностей математической статистике. Первая часть книги содержит основные понятия и теоремы теории вероятнг стей, такие как случайные события, вероятность, случайные функции, корреля ция, условная вероятность, закон больших чисел и предельные теоремы.

Втора часть книги посвящена математической статистике, в ней излагаются основ~ выборочного метода," ории оценок н проверки гипотез. Изложение теоретичс ского материала сопровождается рассмотрением болыпого количества примеро н задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке. Предназначена для студентов экономических и технических вузов. ББК 22.17в7 УДК 519.2(075.8 18В1Ч 5-8112-0970-3 © Айрис-пресс, 2004 Содержание Введение Раздел первый Элементарная теория вероятностей Глава 1. Случайные события 1.1.

Предмет теории вероятностей 1.2. Случайные события, их классификация 1.3. Действия над событиями . 1.4. Случайные события. Алгебра событий. (Теоретико-множественная трактовка) 1.5. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события . 1.6. Статистическое определение вероятности . 1.7. Классическое определение вероятности 1.8. Элементы комбинаторики 1.9. Примеры вычисления вероятностей 1.10. Геометрическое определение вероятности .

1.11. Аксиоматическое определение вероятности. 1.12. Свойства вероятностей 1.13. Конечное вероятностное пространство 1.14. Условные вероятности 1.15. Вероятность произведения событий. Независимость событий ....... 1.16. Вероятность суммы событий 1.17. Формула полной вероятности 1.18. Формула Байеса (теорема гипотез) . 1.19. Независимые испытания.

Схема Бернулли . 1.20. Формула Бернулли. 1.21. Предельные теоремы в схеме Бернулли Глава 2. Случайные величины 6 6 7 8 8 2.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины 2.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения....................

2.3. Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины . 2.4. Плотность распределения и ее свойства. 2.5. Числовые характеристики случайных величин........................ 2.6. Производящая функция 2.7. Основные законы распределения случайных величин .................. 4 ' Содержание Глава 3.

Системы случайных величин Глава 4. Функции случайных величин 4.1. Функция одного случайного аргумента 4.2. Функции двух случайных аргументов. 4.3. Распределение функций нормальных случайных величин ]с ]с Глава 5. Предельные теоремы теории вероятностей 5.1.

Неравенство Чебышева . 5.2. Теорема Чебышева 5.3. Теорема Бернулли 5.4. Центральная предольная теорема 5.5. Интегральная теорема Муавра — Лапласа . .. 1( .. 1( .. И 1] 1] Раздел второй Основы математической статистики Глава 6. Выборки и их характеристики 6.1. Предмет математической статистики 6.2. Генеральная и выборочная совокупности 6.3. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения .

6.4. Графическое изображение статистического распределения ....... 6.5. Числовые характеристики статистического распределения ....... Г] 17 18 18 18 3.1. Понятие о системе случайных величин и законе ее распрсделения ..., .. 1( 3.2. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойгтва .. Н 3.3. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины и се свойства ..

1 3.4. Зависимость и независимость двух случайных величин ................ 1 3.5. Условные законы распределения .. 1: 3.6. Числовые характеристики двумеряой случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия .. 1'. 3.7. Корреляционный момент, коэффициент корреляции................... 1'. 3.8. Двумерное нормальное распределение . 1; 3.9. Регрессия. Теорема о нормальной корреляции......................... 1: 3.10. Многомерная (п-мерная) случайная величина (общие сведения) ........ 1,' 3.11. Характеристическая функция и се свойства..........,................

1 3.12. Характеристическая функция нормальной случайной величины...,.... 1. Содержание ° ! Глава 7. Элементы теории оценок и проверки гипотез 19~ 19~ 20: 20~ 21( 21 Ответы к упражнениям 22: Приложения 24! 7.1. Оценка неизвестных параметров 7,2. Мегоды нахождения точечных оценок 7 3. Понятие интервального оценнвания параметров.......... 7 4. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения . 7.5.

Проверка статистических гипотез 7 б. Проверка гипотез о законе распределения Случайные события 1.1. Предмет теории вероятностей Любая точная наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т.е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций пад ними. При этом для построения математической модели реального явления во многих случаях достаточно учитывать только основные факторы, закономерности, которые позволяют предвидеть результат опыта (наблюдения, эксперимента) по его заданным начальным условиям. Этим и занимаются болыпинство математических (и других) дисциплин. Обнаруженные закономерности явления называются детерминистическими (определенными).

Так, например, формула 1 г 2 позволяет найти путь, пройденный свободно падающим телом за 1 секунд от начала движения. Однако есть множество задач, для решения которых приходится (надо~) учитывать и случайные факторы, придающие исходу опыта элемент неопределенности. Например, в вопросах стрельбы по цели невозможно без учета случайных факторов ответить на вопрос: сколько ракет нужно потратить для поражения цели? Невозможно предсказать, какая сторона выпадет при бросании монеты. Сколько лет проживет родившийся сегодня ребенок? Сколько времени проработает купленный нами телевизор! Сколько студентов опоздают на лекцию по теории вероятностей? И т.д. Такие задачи, исход которых нельзя предсказать с полной уверенностью, требуют изучения не только основных, главных закономерностей, определяющих явление в общих чертах, но и случайных, второстепенных факторов.

Выявленные в таких задачах (опытах) закономерности называются статистическими 1или Глава 1. Случайные события ° 9 вероятностными ) . С гати ст и ческ не закономерности исследуются методами специальных математических дисциплин — теории вероятностей и математической статистики.

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы. То есть теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные схемы — математические модели. Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений.

При этом под случайным явлением, понимают явление, предсказать исход которого невозможно (при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта оно протекает каждый раз несколько по-иному). Примеры случвйнык явлений: выпадение герба при пццбрасывании монеты, выигрыш по купленному лотерейному билету, результат измерения какой-либо величины, длительность работы телевизора и т. п.

Цель теории вероятностей — осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, контроль их, ограничение сферы действия случайности. В настоящее время нет практически ни одной области науки, в которой в той или иной степени не применялись бы вероятностные методы. 1.2. Случайные события, их классификация Сначала определим понятие «случайное событие» исходя из его интуитивного, наглядного понимания. Пусть проводится некоторый опыт (эксперимент, наблюдение, испытание), исход которого предсказать заранее нельзя. Такие эксперименты в теории вероятностей называют случайными. При этом рассматриваются только такие эксперименты, которые можно повторять, хотя бы теоретически, при неизменном комплексе условий произвольное число раз.

Случайным событием (или просто: событием) называется любой исход опыта, который может произойти или не произойти. События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С,.... Пример 1.1. Опыт: бросание игральной кости; событие А — выпадение 5 очков, событие  — выпадение четного числа очков, событие С вЂ” выпадение 7 очков, событие Р— выпадение целого числа очков, событие Š— выпадение не менее 3-х очков, .... 1О Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Непосредственные исходы опыта называются элементарными событиями и обозначвзотся через ю. Элементарные события 1их называют также «элементами», «точками», «случаями») рассматриваются как неразложимые и взаимоисключающие исходы юы юз, юз ...

этого опыта. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий или пространством исходов, обозначается через й. Рассмотрим пример 1.1. Здесь 6 элементарных событий юы юз, юз, ю4, юз, изе. Событие ю, означает, что в результате бросания кости выпало 1 очков, 1 = 1,2,3,4,5,6. Пространство элементарных событий таково: й = (юыюз,и~з,ю4,ыз,юе) или й = (1,2,3,4,5,6). Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта, обозначается через й. Событие называется невоэмоэ<сным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта, обозначается через О.

В примере 1.1 события А и  — случайные, событие С вЂ” невозможное, событие Р— достоверное. Два события называются несовмесгпными, если появление одного из пих исключает появление другого события в одном и том же опыте, т.е. не смогут произойти вместе в одном опыте. В противном случае события называются совместными. Так, в примере 1.1 события А и  — несовместные, А и Š— совместные.