1193507387 (547421), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

События Аы Аз,..., А„называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны. Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них. В примере 1.1 события ю1 — юе образуют полную группу, ю1 — юз— нет. Несколько событий в данном опыте иазываются равновоэмоэ<сними, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т. е. все события имеют равные «шансы». В примере 1.1 элементарные события юы юз, юз, ю4, юз, и~е равно- возможны. Выпадение герба 1А) или решки 1В) при бросании монеты— равновозможные события, если, конечно, монета имеет симметричную форму, не погнута, ....

Глава 1. Случайные события ° 11 1.3. Действия над событиями Введем основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами. Суммой событий А и В называется событие С = А+ В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе). Произведением событий А и В называется событие С = А В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т.

с. и А и В одновременно). Разз~остью событий А и В называется событие С = А — В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В. Противопололсным событию А называется событие А, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т. е. А означает, что событие А не наступило). Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует, что происходит событие В; записывают А С В.

Если А С В и В С А, то события А и В называются равными; записывают А = В. Так, в примере 1.1 (п. 1.2) В = (2,4,6), Е = (3,4,5,6), А = (5), Р = (1,2,3,4,5,6). Тогда: В + Е = (2,3,4,5,6), В . Е = (4,6),  — Е = (2), А = (1,2,3,4,6), В С Р, Р = й = (1,2,3,4,5,6). События и действия над ними можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера — Венна: достоверное событие й изображается прямоугольником; элементарные случайные события — точками прямоугольника; случайное событие — областью внутри него. Действия над событиями можно изобразить так, как показано на рис.

1 — 5. Операции над событиями обладают следующими свойствами: А+ В = В + А, А В = В А (переместительное); (А+ В) С = А С+В С, А В+С = (А+С) (В+С) (распределительное); ° (А+ В) + С = А+ (В+ С), (А В) С = А (В С) (сочетатсльное); ° А+А=А, А А=А; А+й=й,А О=А; ° А+А=О,А А=о; Ю=й,й=и,А=А; А — В=А В; ° А+ В = А. В и А В = А+  — законы де Моргане 12 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей А+ В Рис. Я Рис.

1 Рис. У АСВ Рис. 5 Рис. 1' В их справедливости можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера — Венна. Пример 1.2. Доказать формулу А + В = А + АВ. Используя некоторые из выше приведенных правил, получаем: А+В = (А+В).й = А й+В й = А й+В (А+А) = А.й+~А+А) В = =А й+А В+А В=(й+В) А+А В=й А+А В=А+А.В. Таким образом, сумму любью двух собъгтий можно представить в виде суммы двух несовместнъгх событий. Геометрическое доказательство представлено на рис.

6. Рис. б Глава 1. Случайные собьпии ' 13 Упражнения 1. Доказать формулы: 1) В = А В+А В; 2) (А+С) (В+С) = А В+С; 3) А+В=А В. 2. Пусть А, В и С вЂ” — три произвольп|мх события. Выразить через них следующие события: а) произошли все три события; б) произошло только С; в) произошло хотя бы одно из событий; г) ни одного события не произошло; д) произошли А и В, но С не произошло; е) произошло одно из этих событий; ж) произошло не более двух событий. 3. Релейная схема (рис. 7) состоит из 6 элементов.

Пусть события А, (г = 1,6) состоят в том, что соответствующие элементы работают безотказно в течение времени Т. Выразить через А, событие, состоящее в том, что схема за время Т работает безотказно. Рис. 7 1.4. Случайные события. Алгебра событий. (теоретико-множественная трактовка) Определим теперь основные понятия теории вероятностей, следуя теоретико-множественному подходу, разработанному академиком Колмогоровым А. Н. в 1933 году, Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Множество Й = (с|) всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта называется пространством элементарных событий (коротко: ПЭС), а сами исходы ы| — элементарными событиями 1или «элементами», «точками»).

14 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Случайным событием А (или просто событием А) называется любое подмножество множества й, если й конечно или счетно (т. е. элементы этого множества можно пронумеровать с помощью множества натуральных чисел): А С й. Элементарные события, входящие в подмножество А пространства й, называются благоприятствующими собьппию А. Множество й называется достоверным событием. Ему благоприятствует любое элементарное событие; в результате опыта опо обязательно произойдет.

Пустое множество И называется невозмоэсным событием; в результате опыта оно произойти не может. Пример 1,3. Опыт: один раз бросают игральную кость. В этом случае ПЭС таково: й = (1, 2, 3, 4, 5, 6) или й = (юы юг,..., юв), где ю, — элементарное событие, состоящее в выпадении грани с 1 очками (~ = 1, 6). В данном случае й конечно.

Примером события А является, например, выпадение нечетного числа очков; очевидно, что А = (юы юз, юз); событию А благоприятствуют элементарные события юы юз, юз. Однако если нас интересует только факт выпадения четного числа очков, то ПЭС можно построить иначе: й = (ыы ыг), где ьл — выпадение четного числа очков, ыв — нечетного. Пример 1.4. Опыт: стрельба по цели до первого попадания. Тогда П НП ННП НННП Н вЂ” непопадание. Исходов у этого опыта бесконечно (теоретически); й счетно.

Пример 1.5. Опыт: наблюдение за временем безотказной работы некоторого агрегата. В этом случае в качестве результата может появиться любое число 1 ) 0; время 1 меняется непрерывно; ПЭС таково: й = (~,О ( ~ ( оо). Исходов у этого опыта бесконечно, й несчетно (континувльно). Над событиями можно проводить все операции, выполнимые для множеств. Сумма (или объединение) двух событий А Е й и В Е й (обозначается А + В или А 0 В) — это множество, которое содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из событий А и В.

Произведение двух событий А б й и В е й (обозначается АВ или А Л В) — это множество, которое содержит элементы, общие для событий А и В. Глава 1. Случайные события ' 15 Разность событий А Е Й и В Е Й (обозначается А — В или А11В)— это множество, которое содержит элементы события А, не принадлежащие событию В.

Протггвополоогсное событию А е Й событие А = Й'!А. (А называют также дополнением множества А.) Событие А влечетп событие В (обозначается А г В), если каждый элемент события А содержится в В. По определению: О г А для л!обого А.

События А и В называются несовместными, если их произведение есть невозможное событие, т. е. А В = О. Несколько событий А1, Аз,..., А„образуют полную группу несовместных событий, если их сумма представляет все ПЭС, а сами события и несовместны, т.е. 2 А, = Й и А, Аг = О 11 ~ 3). г=! Полную группу образуют, например, события А и А (А+ А = Й, А А=й1). В случае несчетного пространства Й в качестве событий рассматриваются не все подмножества Й, а лишь некоторые классы этих подмножеств, называемые алгебрами и о-алгебрами множеств. Класс Я подмножеств пространства Й называется алгеброй мнозгсеств (событий), если: 1. Гг! Е Я, Й Е Я; 2. из А Е Я вытекает, что А Е Я; 3.

из А Е Я, В Е Я вытекает, что А+ В Е Я, А В Е Я. Заметим, что в условии 3 достаточно требовать либо А + В Е Я, либо АВ ЕЯ, так как А+В=А+В, А В=А+В. Алгебру событий образует, например, система подмножеств Я = = 10, Й). Действительно, в результате применения любой из вышеприведенных операций к любым двум элементам класса Я снова получается элемент данного класса: И+Й = Й, И Й = И, О = Й, Й = И. При рас!пирении операций сложения и умножения на случай счетного множества алгебра множеств Я называется о-алгеброй, если из А„Е Я, и = 1,2,3,..., следует 2,' Ал Е Я, П А„Е Я !достая=! я=1 точно требовать либо 2', А„Е Я, либо П Ап Е Я). л=! и=! Множество всех подмножеств множества Й, если оно конечно или счетно, образует алгебру. 16 Раздел первый.

Элементарная теория вероятностей 1.5. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события Пусть в и повторяющихся опытах некоторое событие А нвстпйпило пА рвз. Число пА называется частотой события А, а отношение — А = Р'(А) (1.1) называется относигпельной частотой (или чвстостью) события А в рассматриваемой серии опытов. Относительная частота события обладает следующими свойствами: 1. Частость любого события заключена между нулем и единицей, т. е. 0 < Р*(А) < 1. 2.

Частость невозможного события равна нулю, т. е. Р*(и) = О. 3. Частость достоверного события равна 1, т. е. Р*(й) = 1. 4. Частость суммы двух несовместных событий равна сумме частоты этих событий, т. е. если АВ = Я, то Р*(А + В) = Р*(А) + Р*(В). Свойства очевидны, так как 0 < пА < и для любого собьггия А; для невозможного события пл = 0; для достоверного события пА = и; если события А и В несовместны (АВ = О), то п11 и = пА + пв, следовательно, Р*(А+В) = —, = ', = — '+ ц = Р*(А)+Р*(В) ° Частость обладает еще одним фундаментальным свойством, называемым свойством сгпвтистичвской устойчивости: с увеличением числа опытов (т. е.

и) она принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу (говорят: частость стабилизируется, приближаясь к некоторому числу, частость колеблется около некгггорого числа, или ее значения группируются около некоторого числа). Так, например, в опыте — бросание монеты (однородной, симметричной,... ) — относительнал частота появления герба при 4040 бросаниях (Ж. Бюффон) оказалась равной 0,5069 =, а в опыте с 12000 2048 Глава 1. Случайные события ' 17 и 24000 бросаниями (К. Пи1зсон) она оказалась равной соответственно 0,5015 = и 0,5005 = —, т.е.

частность приближается к числу — = 0 500.... А частость рождения мальчика как показывают 1 2 наблюдения,колеблется около числа 0,515. Отметим, что теория вероятностей изучает только ге массовые случайные явления с неопределенным исходом, для которых предполагается наличие устойчивости относительной частоты. 1.6. Статистическое определение вероятности Р(А) = Р'(А) = — ', . (1.2) Математическим обоснованием близости относительной частоты Р*(А) и вероятности Р(А) некоторого события А служит теорема Я.

Бернулли (см. п. 5.3). Вероятности Р(А) приписываются свойства 1-4 относительной частоты.' 1. Статистическая вероятность любого события заключена между пулем и единицей, т. е. 0<Р(А) <1. 2. Статистическая вероятность невозможного события равна нулю, Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количестнепную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем другие. Такой оценкой является веролп1ность событинл, т.е. число, выражающее степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.

Характеристики

Список файлов лекций