1193507387 (547421), страница 2

Файл №547421 1193507387 (Конспект лекций) 2 страница1193507387 (547421) страница 22015-08-23СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

События Аы Аз,..., А„называются попарно-несовместными, если любые два из них несовместны. Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них. В примере 1.1 события ю1 — юе образуют полную группу, ю1 — юз— нет. Несколько событий в данном опыте иазываются равновоэмоэ<сними, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т. е. все события имеют равные «шансы». В примере 1.1 элементарные события юы юз, юз, ю4, юз, и~е равно- возможны. Выпадение герба 1А) или решки 1В) при бросании монеты— равновозможные события, если, конечно, монета имеет симметричную форму, не погнута, ....

Глава 1. Случайные события ° 11 1.3. Действия над событиями Введем основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами. Суммой событий А и В называется событие С = А+ В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе). Произведением событий А и В называется событие С = А В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т.

с. и А и В одновременно). Разз~остью событий А и В называется событие С = А — В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В. Противопололсным событию А называется событие А, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т. е. А означает, что событие А не наступило). Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует, что происходит событие В; записывают А С В.

Если А С В и В С А, то события А и В называются равными; записывают А = В. Так, в примере 1.1 (п. 1.2) В = (2,4,6), Е = (3,4,5,6), А = (5), Р = (1,2,3,4,5,6). Тогда: В + Е = (2,3,4,5,6), В . Е = (4,6),  — Е = (2), А = (1,2,3,4,6), В С Р, Р = й = (1,2,3,4,5,6). События и действия над ними можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера — Венна: достоверное событие й изображается прямоугольником; элементарные случайные события — точками прямоугольника; случайное событие — областью внутри него. Действия над событиями можно изобразить так, как показано на рис.

1 — 5. Операции над событиями обладают следующими свойствами: А+ В = В + А, А В = В А (переместительное); (А+ В) С = А С+В С, А В+С = (А+С) (В+С) (распределительное); ° (А+ В) + С = А+ (В+ С), (А В) С = А (В С) (сочетатсльное); ° А+А=А, А А=А; А+й=й,А О=А; ° А+А=О,А А=о; Ю=й,й=и,А=А; А — В=А В; ° А+ В = А. В и А В = А+  — законы де Моргане 12 ° Раздел первый. Элементарная теория вероятностей А+ В Рис. Я Рис.

1 Рис. У АСВ Рис. 5 Рис. 1' В их справедливости можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера — Венна. Пример 1.2. Доказать формулу А + В = А + АВ. Используя некоторые из выше приведенных правил, получаем: А+В = (А+В).й = А й+В й = А й+В (А+А) = А.й+~А+А) В = =А й+А В+А В=(й+В) А+А В=й А+А В=А+А.В. Таким образом, сумму любью двух собъгтий можно представить в виде суммы двух несовместнъгх событий. Геометрическое доказательство представлено на рис.

6. Рис. б Глава 1. Случайные собьпии ' 13 Упражнения 1. Доказать формулы: 1) В = А В+А В; 2) (А+С) (В+С) = А В+С; 3) А+В=А В. 2. Пусть А, В и С вЂ” — три произвольп|мх события. Выразить через них следующие события: а) произошли все три события; б) произошло только С; в) произошло хотя бы одно из событий; г) ни одного события не произошло; д) произошли А и В, но С не произошло; е) произошло одно из этих событий; ж) произошло не более двух событий. 3. Релейная схема (рис. 7) состоит из 6 элементов.

Пусть события А, (г = 1,6) состоят в том, что соответствующие элементы работают безотказно в течение времени Т. Выразить через А, событие, состоящее в том, что схема за время Т работает безотказно. Рис. 7 1.4. Случайные события. Алгебра событий. (теоретико-множественная трактовка) Определим теперь основные понятия теории вероятностей, следуя теоретико-множественному подходу, разработанному академиком Колмогоровым А. Н. в 1933 году, Пусть производится некоторый опыт со случайным исходом. Множество Й = (с|) всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта называется пространством элементарных событий (коротко: ПЭС), а сами исходы ы| — элементарными событиями 1или «элементами», «точками»).

14 ' Раздел первый. Элементарная теория вероятностей Случайным событием А (или просто событием А) называется любое подмножество множества й, если й конечно или счетно (т. е. элементы этого множества можно пронумеровать с помощью множества натуральных чисел): А С й. Элементарные события, входящие в подмножество А пространства й, называются благоприятствующими собьппию А. Множество й называется достоверным событием. Ему благоприятствует любое элементарное событие; в результате опыта опо обязательно произойдет.

Пустое множество И называется невозмоэсным событием; в результате опыта оно произойти не может. Пример 1,3. Опыт: один раз бросают игральную кость. В этом случае ПЭС таково: й = (1, 2, 3, 4, 5, 6) или й = (юы юг,..., юв), где ю, — элементарное событие, состоящее в выпадении грани с 1 очками (~ = 1, 6). В данном случае й конечно.

Примером события А является, например, выпадение нечетного числа очков; очевидно, что А = (юы юз, юз); событию А благоприятствуют элементарные события юы юз, юз. Однако если нас интересует только факт выпадения четного числа очков, то ПЭС можно построить иначе: й = (ыы ыг), где ьл — выпадение четного числа очков, ыв — нечетного. Пример 1.4. Опыт: стрельба по цели до первого попадания. Тогда П НП ННП НННП Н вЂ” непопадание. Исходов у этого опыта бесконечно (теоретически); й счетно.

Пример 1.5. Опыт: наблюдение за временем безотказной работы некоторого агрегата. В этом случае в качестве результата может появиться любое число 1 ) 0; время 1 меняется непрерывно; ПЭС таково: й = (~,О ( ~ ( оо). Исходов у этого опыта бесконечно, й несчетно (континувльно). Над событиями можно проводить все операции, выполнимые для множеств. Сумма (или объединение) двух событий А Е й и В Е й (обозначается А + В или А 0 В) — это множество, которое содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из событий А и В.

Произведение двух событий А б й и В е й (обозначается АВ или А Л В) — это множество, которое содержит элементы, общие для событий А и В. Глава 1. Случайные события ' 15 Разность событий А Е Й и В Е Й (обозначается А — В или А11В)— это множество, которое содержит элементы события А, не принадлежащие событию В.

Протггвополоогсное событию А е Й событие А = Й'!А. (А называют также дополнением множества А.) Событие А влечетп событие В (обозначается А г В), если каждый элемент события А содержится в В. По определению: О г А для л!обого А.

События А и В называются несовместными, если их произведение есть невозможное событие, т. е. А В = О. Несколько событий А1, Аз,..., А„образуют полную группу несовместных событий, если их сумма представляет все ПЭС, а сами события и несовместны, т.е. 2 А, = Й и А, Аг = О 11 ~ 3). г=! Полную группу образуют, например, события А и А (А+ А = Й, А А=й1). В случае несчетного пространства Й в качестве событий рассматриваются не все подмножества Й, а лишь некоторые классы этих подмножеств, называемые алгебрами и о-алгебрами множеств. Класс Я подмножеств пространства Й называется алгеброй мнозгсеств (событий), если: 1. Гг! Е Я, Й Е Я; 2. из А Е Я вытекает, что А Е Я; 3.

из А Е Я, В Е Я вытекает, что А+ В Е Я, А В Е Я. Заметим, что в условии 3 достаточно требовать либо А + В Е Я, либо АВ ЕЯ, так как А+В=А+В, А В=А+В. Алгебру событий образует, например, система подмножеств Я = = 10, Й). Действительно, в результате применения любой из вышеприведенных операций к любым двум элементам класса Я снова получается элемент данного класса: И+Й = Й, И Й = И, О = Й, Й = И. При рас!пирении операций сложения и умножения на случай счетного множества алгебра множеств Я называется о-алгеброй, если из А„Е Я, и = 1,2,3,..., следует 2,' Ал Е Я, П А„Е Я !достая=! я=1 точно требовать либо 2', А„Е Я, либо П Ап Е Я). л=! и=! Множество всех подмножеств множества Й, если оно конечно или счетно, образует алгебру. 16 Раздел первый.

Элементарная теория вероятностей 1.5. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события Пусть в и повторяющихся опытах некоторое событие А нвстпйпило пА рвз. Число пА называется частотой события А, а отношение — А = Р'(А) (1.1) называется относигпельной частотой (или чвстостью) события А в рассматриваемой серии опытов. Относительная частота события обладает следующими свойствами: 1. Частость любого события заключена между нулем и единицей, т. е. 0 < Р*(А) < 1. 2.

Частость невозможного события равна нулю, т. е. Р*(и) = О. 3. Частость достоверного события равна 1, т. е. Р*(й) = 1. 4. Частость суммы двух несовместных событий равна сумме частоты этих событий, т. е. если АВ = Я, то Р*(А + В) = Р*(А) + Р*(В). Свойства очевидны, так как 0 < пА < и для любого собьггия А; для невозможного события пл = 0; для достоверного события пА = и; если события А и В несовместны (АВ = О), то п11 и = пА + пв, следовательно, Р*(А+В) = —, = ', = — '+ ц = Р*(А)+Р*(В) ° Частость обладает еще одним фундаментальным свойством, называемым свойством сгпвтистичвской устойчивости: с увеличением числа опытов (т. е.

и) она принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу (говорят: частость стабилизируется, приближаясь к некоторому числу, частость колеблется около некгггорого числа, или ее значения группируются около некоторого числа). Так, например, в опыте — бросание монеты (однородной, симметричной,... ) — относительнал частота появления герба при 4040 бросаниях (Ж. Бюффон) оказалась равной 0,5069 =, а в опыте с 12000 2048 Глава 1. Случайные события ' 17 и 24000 бросаниями (К. Пи1зсон) она оказалась равной соответственно 0,5015 = и 0,5005 = —, т.е.

частность приближается к числу — = 0 500.... А частость рождения мальчика как показывают 1 2 наблюдения,колеблется около числа 0,515. Отметим, что теория вероятностей изучает только ге массовые случайные явления с неопределенным исходом, для которых предполагается наличие устойчивости относительной частоты. 1.6. Статистическое определение вероятности Р(А) = Р'(А) = — ', . (1.2) Математическим обоснованием близости относительной частоты Р*(А) и вероятности Р(А) некоторого события А служит теорема Я.

Бернулли (см. п. 5.3). Вероятности Р(А) приписываются свойства 1-4 относительной частоты.' 1. Статистическая вероятность любого события заключена между пулем и единицей, т. е. 0<Р(А) <1. 2. Статистическая вероятность невозможного события равна нулю, Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количестнепную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем другие. Такой оценкой является веролп1ность событинл, т.е. число, выражающее степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
1,42 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6510
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее