1193507387 (Конспект лекций), страница 30

В частности, если предполагаемое распределение нормально, то оценивают два параметра (а и и), поэтому число степеней свободы й = т — 3. Правило применения критерия Хз сводится к следующему: 1. По формуле (7.13) вычисляют Х~ — выборочное значение стати- стики критерия. 2. Выбрав уровень значимости и критерия, по таблице Х~-распределения находим критическую точку (квантиль) Х~ „. ели Х~ а ( Хз~ ы то гипотеза Нс не противоречит опытным данным; если х„,~ ) х ~, то гипотеза Нд отвергается.

Необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов не менее 5 наблюдений (т. е. и; 3 5). Если в отдельных интервалах их меньше, то число интервалов надо уменьшить путем объединения [укрупнепия) соседних интервалов. Пример 7.8. Измерены 100 обработанных деталей; отклонения от заданного размера приведены в таблице: [х;,х;+1) [ — 3, — 2) [ — 2, — 1) [ — 1, О) [О, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) ки 3 10 15 24 25 13 7 3 Проверить при уровне значимости ск = 0,01 гипотезу Но о том, что отклонения от проектного размера подчиняются нормальному закону распределения.

(„) Число наблюдений в крайних интервалах меньше 5, поэтому объединим их с соседними. Получим следующий ряд распределения (и = = 100): Случайную величину — отклонение — обозначим через Х. Для вычисления вероятностей р; необходимо вычислить параметры, определяющие нормальный закон распределения [а и и). Их оценки вычислим Глава 7.

Элементы теории оценок и проверки гипотез ' 217 по выборке: х = — ( — 2 ° 13 + ( — 0,5) 15 +... + 4 10) = 0,885 0,9, — 1 Вв = — (4 13+0 25 15+ +16 10) — (0,885) = 2,809, (т = 1,676 = 1,7. Находим р, (г = 1,6). Так как с.в. Х АГ(а,<т) определена на ( — оо, оо), то крайние интервалы в рице распределения заменяем, соответственно, на ( — оо, — 1) и (3, +со). Тогда р1 = р( — со < Х < — Ц = /-1 — 0,9 1 1 = Фе ~ ' ~ — Фо( — оо) = — — Фа(112) = 01314. Аналогично 1,7 2 ) получаем: р2 = 0,1667, рз = 0,2258, р4 = 0,2183, рз = 0,1503, рв /3 — 0,9'1 = р(3 < Х < сот = Фа(оо) — Фо \ 1, ' ) = 0,5 — Фо(1,24) = 0,1075. Полученные результаты приведем в следующей таблице.' ВычислЯем Х„вв .

г В 2 2 Хнабл,/ др; 132 152 102 '1 13 14 + 16 67 + ... + 10 75 )) — 100 = 101,045 — 100, т. е. Хз„г - 1,045. Находим число степеней свободы; по выборке рассчитаны два параметра, значит, г = 2. Количество интервалов б, т.е. т = б. Следовательно, й = б — 2 — 1 = 3. Зная, что гк = 0,01 и й = 3, по таблице Х2-РаСПРЕДЕЛЕНИЯ НаХОДИМ Х2 ь — — 11,3.

ИтаК, Х~ в < Х~~ь, СЛЕДОВательно, нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу. Критерий Колмогорова Критерий Колмогорова для простой гипотезы является наиболее простым критерием проверки гипотезы о виде закона распределения. Он связывает эмпирическую функцию распределения Г,*,(х) с функцией распределения Р(х) непрерывной случайной величины Х. 218 ' Раздел второй. Основы математической статистики Пусть хы хз,..., х„— конкретная выборка из распределения с неизвестной непрерывной функцией распределения Р(х) и Р,",(х) — эмпирическая функция распределения. Выдвигается простая гипотеза Но: Р(х) = Ро(х) (альтернативная Н,: Р(х) ф Ро(х), х Е 1к). Сущность критерия Колмогорова состоит в том, что вводят в рассмотрение функцию (7.14) Р„= п1ах ~Р,*,(х) — Ро(х)(, — оо < х < со называемой статистикой Колмогорова, представляющей собой максимальное отклонение эмпирической функции распределения Р,*,(х) от гипотетической (т.

е. соответствующей теоретической) функции распределения Ро(х). Колмогоров доказал, что при и — + оо закон распределения случайной величины;/и Р„независимо от вида распределения с.в. Х стремится к закону распределения Колмогорова: Р),/и Р„< х) -+ К(х), где К(х) — функция распределения Колмогорова, для которой составлена таблица, ее можно использовать для расчетов уже при и > 20: Найдем Ро такое, что Р(Р„> Ро) = и.

Рассмотрим уравнение К(х) = 1 — а. С помощью функции Колмогорова найдем корень хо этого уравнения. Тогда по теореме Колмогорова, Р(,Я Р„< хо) = 1 — и, Р(,/и Р„> хо) = а, откуда Ро = —. ,/д Если Р„< Ро, то гипотезу Но нет оснований отвергать; в противном случае ее отвергают. Пример 7.9. Монету бросали 4040 раз (Бюффон).

Получили п1 = 2048 выпадений герба и из = 1992 выпадений решки. Проверить, используя а) критерий Колмогорова; б) критерий Пирсона, согласуются ли эти данные с гипотезой Но о симметричности монеты (и = 0,05). Случайная величина Х принимает два значения: х1 = — 1 (решка) и хз = 1 (герб). Гипотеза Но. Р(х = — 1) = Р(х = 1) = —.

1 а) По таблице распределения Колмогорова находим корень урав- хо пения К(х) = 1 — ск при а = 0,05. Следует хо = 1,358. Тогда Ро = 1/и 1,358 = 0,021. ~/4040 Глава 7. Элементы теории оценоки проверки гипотез ' 2!9 Для нахождения по выборке Р„строим функции Рз(х) и Р„*(х) и вычисляем величину В„= птах [Р„'(х) — Рз(х) ~. х О, при х< — 1, — + Ро(х) = 0,5, при — 1 < х < 1, 1, при 1 <х. при х < — 1, при — 1< х<1, О, — + Р,*,(х) = 0,493, 1, при 1 < х. Максимальное отклонение Ро(х) от Р„*(х) равно 0,007, т.е.

В„= = 0,007. Поскольку В„< Во, то нет оснований отвергать гипотезу Нд, опытные данные согласуются с гипотезой Но о симметричности монеты. б) Вычисляем статистику Х~: 2 г Хнабл =,~~ . и = + — 4040 = 0,776 1992г 2048г — 4040 †' 4040 1=1 г' 2 По таблице у -распределения находим критическую точку 2 2 = Хз озр — — 3,8. Тан КаК Гвкв < Го озп, тО ОПЫТНЫЕ ДаННЫЕ СОГЛаСУЮтСЯ 2 г г с гипотезой о симметричности монеты. Упражнения 1.

Распределение признака Х (случайной величины Х) в выборке задано следующей таблицей: При уровне значимости а = 0,01 проверить гипотезу Но, состоящую в том, что с. в. Х имеет равномерное распределение на отрезке [0,11 (вероятности р; определяются формулами р; = л, (1 = 1, 2,..., /с), где Й, — длина ттго отрезка [хГ 0 х;[ [ 2; = Й; = 1 ). ~.2=1 220 ° Раздел второй. Основы математической статистики 2. Результаты наблюдений над с. в. Х (рост мужчины) представлены в виде статистического ряда: Проверить при уровне значимости и = 0,05 гипотезу Нз о том, что с. в. Х подчиняется нормальному закону распределения, используя критерий согласия Пирсона.

3. По данным упражнения 2 проверить гипотезу о нормальном рас- пределении с. в. Х, используя критерий Колмогорова. Ответы к упражнениям Раздел первый Глава 1 1) В = В Г1 = В(А + А) = А В + А В; 2) (А + С) (В + С) = АВ+АС+ВС+С = АВ+АС+С = А В+С; 3) Тесть и Е А + В ~ и ф ф А + В ~ ю ф А, и ф В ~ и Е А, и б В ~ и Е А В, т. е.

А + В С А ° В. Аналогично убеждаемся, что А - В С А+ В ~ А+ В = А В. а) АВС; б) А В С; в) А+В+С; г) А В С; д) АВС; е) АВ С+АВС+А ВС; ж) АВС = А+ В + С. А~Аз(Аз + А4 + Аз)Ав. 1.7 Из 90 двузначных чисел 9 имеют одинаковые цифры, т.е. и = 90, т 81 = 90 — 9 = 81. Следовательно, р = — = 0,9. р = 0,01, так как т = 1, и = 10 10 = 100. 5 4 З=бО 5 4 3+5-4 3-2+5 4 3 2 1=300.

12+ 15 + 7 = 34. 10 9 8 7=5040. (10 9 8)з = 720з = 518400 или Аз Аз 94 65б1. А4з = 12 11 10 9 = 11880. Аза = 720. Аз Азз Авд = 120. Рз Рз = 720; Р~ — 720 = 4320. 222 ° Ответы к упражнениям 10. Р4 = 4! = 24 (один сел где угодно). 11. 3 2. 8! = 241920. Рис. бб 12. 112 = 7 1б; 2520 = Стг . С~~о. 16.АЗ7=27 =128 или 2 ° 2 2 ° 2 2 ° 2 2. 16. бз = 218. Это 234, ббб, 1б5, .... 17. Ао = 4 = 409б. С 4 9 С до С д з 2 1 4 8 4 4 — 9 — 9 — 1.2.3 19 Сзз = Сззо = Сзго = 45.

20.СЗ4=Со4 = С: = 15,15 Р4 — ЗбО. 9! 22. ~ ~ 4~ — — 12бО. 1.9 1. а=АЗ вЂ” — 8 =409ба)т=8 7 б 5=1ббО,РЗ 4096=0,41;б)та=8, Рг = 409б 0,00195; в) т = 1, Рз = 409б 0,00024. 2. и = Сззо, т = С4 С4з, Р = = 0,0000б4. з С4 С4 зо 3. я=7! т=б! 2 р= — '' = — =029. б! 2 2 7! 7 4. а=5!=120 т=2 2 1 1 р= =0033.... 4 120 6. а) р з 0'573! 6) р з 0'38 Сзо Сзо ' Сзо 6.

а)Р=7 7 49 0,08;5)Р 49 0,408. 7. Группа из 5 команд может быть выбрана Сззо способами (вторая группа образуется автоматически), т.е. и = Сзо. В первую группу попадет либо один лидер, либо два. Стало быть, т = Сз~ ° С74 + Сзг ° Стз. Поэтому р = = 0,833. СЗ.С7+СЗ С7 Сто Ответы к упражнениям ° 2: 8. Р = г + г — 0,21. Воспользовались свойством: Р(А + В) С4 Сзг С4 Сзг Сзв Сзе = Р(А) + Р(В), АВ = И. Здесь А = одна дама, В = две дамы. 1.10 1. Сторона треугольника равна Въ''3. Значит, р = — ~ Я. 3Я',Гз 3, 3 Я, 4кВг 4~г 0,41.