1193507387 (Конспект лекций), страница 31

2. р= — '=0,32. 1,6 3. Обозначим длину 1 отрезка через х, 11 через д, тогда 111 отрезок имес длину 1 — х — д. й = (1х,д): 0 < х + д < 1), т.е. 0 < х + д < 1 — вс возможные комбинации длин частей отрезка. Чтобы из них можно был составить треугольник, необходимо выполнение условий: х+ д > 1 — х— х+1 — х — д>д д+1 — х — д>х те.х< — д< — х+д> —.Эт 2' 2' 2' неравенства определяют область, заштрихованную на рис. 67.

Рис. 67 1 ! Имеем: Р =, = 0,25. 1.15 1. Да. й = (1, 2, 3, 4, 5, б~т, А = (2, 4, 6), В = (4, 5, 6). Ясно, что Р1А) = — =— Р(В) = — а Р(АВ) = — = — т. е. Р(АВ) = — ~ Р(А) Р1В) =— 1 2 1 1 1 1 1 2' 6 3' 3 2 2 4' 2. а) Ат — первая буква Т, Аг — вторая буква И, ..., Аз — пятая букв, И. Вероятность события А — получится слово ТИСКИ, равна Р(А) = Р(А,АгАзА4Аз) = — — — — — = — = 0,0004; б) О, та к второ 3 2 211 1 10 9 8 76 2520 буквы К в слове СТАТИСТИКА нет в) р = — — ° — = —, — 0 008 1 2 3 1 10 9 8 120 г) р = — — — — — .

— — — — . 1 0 0000132. 2 3 2 2 2 1 1 1 1 10 9 8 7 б 5 4 3 2 3. 9, = 0,2 — вероятность отказа тчго элемента, р, = 0,8 — вероятность ег< исправной работы. Цепь последовательно соединенных элементов 1 — 2 —: 224 ° Ответы к упражнениям будет работать, если исправны все три элемента: рдгз = рд .рг рз = 0,8 = 0,512. Цепь параллельно соединенных элементов 5 — 6 отказов, только в случае отказа обоих элементов 9зз = 9з9з = 0,2г = 0,04, а вероятность ее исправной работы равна рм = 1 — язв = 0,96, рам = ра.

рзз = 0,8 0,96 = = 0,768) ризам = 1 — 9дгз Чаза = 1 — (1 — 0,512) ° (1 — 0,768) — 0,887; Р „= 1 — ршзам р - 1 — 0,887. 0,8 = 0,291 1.16 1. А — первый шар белый,  — второй шар че7рный. Тогда АВ + А — оба шара разных цветов. Р(АВ + АВ) = — — + — — = — = — 0,39. -- 2 7 2 28 7 9 8 9 8 72 18 2. а) Ад — попадание первого орудия, Аг — второго, Аз — третьего. Значит, АВС + АВС + АВС = Р— попадание только одного из них. Р(Ц = 0,7 0,3 0,3.3 = 0,189; б) Я = АдАгАз — три промаха.

Р(В) = 0,3 0,3 0,3 = = 0,027. Значит, Р(Я) = Р(Ад + Аг+ Аз) = 1 — Р(В) = 1 — 0,027 = 0,973. 3. Вероятность выхода из строя всех и приборов равна (1 — 0,7) (1 — 0,7) . (1 — 0,7) = 0,3". Следовательно, вероятность безотказной работы равна 1 — 0,3". По условию 1 — 0,3" > 0,95.

Отсюда 0,3" < 0,05, и1по,з < 1п0,05, и > 1п 0,05: 1п 0,3 = 2,488, т. е. и > 3. 1.1В 1. А — вышла из строя одна микросхема, Нд — отказали обе, Нд — отказала первая микросхема, Нг — отказала вторая, Нз обе не отказали. Тогда Р(Нз) = 0,07. 0,1 = 0,007, Р(Нд) = 0,063, Р(Нг) = 0,093, Р(Нз) = з = 0,837 (Контролдя Я Р(Н,) = 1). Р(А/На) = О, Р(А/Нд) = 1, Р(А~Нг) = )=в = 1, Р(А~Нз) = О. Значит, Р(А) = 0,156 и Р(Нд)А) = 0,404. 2. Ад — студент П сдаст экзамен если зайдет первым Р(Ад) = — = —. 30 3 ) 40 4' Аг — студент П сдаст экзамен, если зайдет вторым, Р(Аг) = ? Введем гипотезы: Нд — первый студент вытащил билет, который знает студент П, Нг — первый студент вытащил билет, который не знает студент П.

Р(Нд) = — = — Р(Нг) = — = — ( — + — = 1). Далее: Р(Аг~Нд) = —, 30 3 10 1 /3 1 29 40 4' 40 4 (,4 4 )' 39' Р(Аг~Нг) = —. Значит, Р(Аг) = — — + — — = —. Все равно. ЗО З 29 1 ЗО З 39 ' ' 4 39 4 39 4' Ответы к упражнениям 22 3. Пусть А — изделие пройдет контроль, Н1 — взятое изделие стандар' но, Нг — не стандартно. Р(Н1) = 0,9; Р(Нг) = 0,1; Р(А(Н1) = 0,9~ Р(А)Нг) = 0,06. Следовательно, а) Р(А) = 0,9 0,96+ 0,1 0,06 = 0,8' б) Р(Н1/А) = ' ' = 0,993.

1.2О 1.21 1. р = 1; 365 = 0,0027, п = 84, а = 0,23. По формуле Пуассона Рз4(2) в 0 23г 0 7945 0,021. (е одз 0 7945 2. и = 200, р = 0,02. Значит, а = [пр] = 4. Искомая вероятность: 4ое-4 4е-4 Ргоо(0) + Ргоо(1) 0' + ~ = 0,09. тп = 60, р = ц = —. Используем локальную теорему Муав 1 60 — 100 . 0,5 1 — = 2.

Т д Р (60) = - ф2) = 0,2 0,0и * 100 0,5 Д 3. Здесь и = 100, ра — Лапласа: т — 0,0108. 4 Рзоо(тп, 800) = т — 388 14 0,95. Используем интегральную теорему Муавра — Лапласа кг = 29. Значит, Фо(тг) = 0,5; 0,5 — Фо С 14 ) = 0,95. /388 — т~ Откуда Фо С 4 ) = 0,45, '4 — — 1,65. Значит, т = 365. г388 — т'1 388 — т 1. а) Р„(4) = С,', С-) С-) = 0,21; б) Р1о(0) = С-) = 0,00098р в) р = Рю(1) + Р1о(2) + ..

+ Р1о(10) = 1 — Р1о(0) = 0,999. 2. р=д= —. Р4(2) =С4.С вЂ” ) . С-) =-; Ро(3) =Соз Я С вЂ” ) Следует, что Р4(2) ) Ро(3), т. е. 2 из 4. 3. а) Рз(3) Сз 051з 0 49о 0 133 б) Рз(1) = Сз1 '051'0 49г 0 368. 4. Спички брались 2. 10 — 6 = 14 раз, из них 10 раз из коробки, котора оказалась пустой. Имеем 10 «успехов» в 14 «испытаниях», т. е. Ры(10) = =СИ С4)го С4)'=0,061 226 ' Отаетыкупражнениям Глава 2 рз = Р(Х = 2) = Р(А1 Аг + А1АгАг + А1А1Аг + А1АгА1 Аг) = = 0,6 0,9+ 0,6 0,1.

0,9+ 0,4 0,6. 0,9+0,4 0,1 0,6 0,9 = 0,8316 з (Ерз =1). з=1 2.З стрелка, Аг — ??, Тогда Р(Х = х1) = Р(Х = 0) = Р(Х = хг) = Р(Х = 1) = Р(А1Аг + А|Аг) = 0,44, 1. А1 — попадание ? = Р(А1Аг) = 0 08, Р(Х = 2) = 0,48. О, х<0; 008, О <х <1; 052, 1<х<2; 1, 2 < х. 2. Е(х) удовлетворяет свойствам функции распределения; Р(0 < х < 1) = Р(1) — Е(0) = 1 — е ' = 1 — — = 0,632. 3. Р(Х Е (0,1)) = Р(1) — Е(0) = —. Значит, Р4(3) = С4 ( — ) (2) = 0,25. 2.4 1. Р(2) = 1. Значит, 2(х+ 1) 1, ?(х) Р!(х) д ~ х Е ( 1)2]1 О, хф( — 1;2].

(2 + 1)г 1. Возможные значения с. в. Х есть О, 1, 2, 3, 4. Их вероятности равны соответственно: Р1 = Р(Х = 0) = С4 (2) ( — ) = 16 рг = Р(Х = 1) = 2. Пусть Аз — первый студент сдает экзамен, Аг второй сдает экзамен. С.в. Х принимает три значения: 0,1,2. а) р1 = Р(Х = О) = Р(А1Аг) = =0,4 0,1=0,04;р =Р(Х=?)=Р(АА +А,А)=0,6 0,1+0,4 = О 42; рз = Р(Х = 2) = Р(А1Аг) = О 6 О 9 = О 54 (~',р; = 1); б) рг —— = Р(Х = 0) = Р(А1А1АгАг) = 0,4 0,4. 0,1 0,1 = 0,0016; рг = Р(Х = 1) = = Р(А1 АгАг + А1А1Аг + А1АгА1Аг + А1А1АгАг) =...

= 0,1668; Ответы к упражнениям ° 22 0 — 4 1 О' — Ь = 1. Значит, ОМ = а = 4. Уравнение М1т" 2 + 4. Стало быть, 1 г. я,=- 2 у = — 8х , 11 — 8х+4, хЕ (О; — ), У(х) = О, *~ (О; — 2]; если х < О, то Е(х) = Осй = 0; если 0 < х < —, то 1 Р(х) = Ой+ ( — 81+4)сИ = — 4х2+4х; — СО о если х > †, то 1 1 о 2 Р(х) = Ой+ ( — 82+ 4) Й+ ОЙ = 1, — СО о 1 таким образом О, х р( .) — 4х2 + 4х, О 1, х й+ Одх — —. 1 1 2 да, 1(х) > О, Дх) 11х = 1 о ) ~(~) 1(х = 0 Нх + ах сЬ + 0 сГх = 1, т е 8 о — 00 — ОО о 2 а 8 — нет = †, то ~(х) — плОтнОсть распределения; ф — — нет.

Р(ХЕ ( —,1))= (( — 8 +о 3. а) нет, так как 1(х) < 0 при х Е ( — со, 0); б) <О, 1 2' 1 > -' 2' Ф Ф Ф ' Ответы к упражнениям 228 2.5 в первом случае = 2,7; во втором 2,4. = — / х з1пх ах = 1 2/ о О, прих<0, Р(х) = 0,25хг, при 0 < х < 2, 1, при2 <х. Тогда (О, прих<Оих>2, у(х) = ~ (0,5х, при 0 < х < 2. Поэтому г г Г41г 2 х . 05хдх — ~ — ) '137 9' о ~/2 3 ' я = — 1'~ МХ; Значит, ах = и(„-'т.х) п(„-'г х) 1 1 — а = — ( в=1 — ° па = а; 1 г аг па и' 1 г 1 пг пг 1=1 3.

4. 5. Учитывать результаты примера примера 1.31 (п. 1,20) имеем: МХ = 0 0,001 + 1 0,027 + 2 . 0,243 + 3 0,729 случае: МХ = 0 0,006+ 1. 0,092+ 2 0,398+ 3 0,504 = МХ = х1(х) ах = х ОНх+~ — хз1пхах+ х 011х (1 / 2 2' Согласно свойствам м. о. и дисперсии, имеем МЯ = М(5Х вЂ” ЗУ + 2) = = М5Х вЂ” МЗУ+ М2 = 5МХ вЂ” ЗМУ+ 2 = 5. 2 — 3 ( — 3) + 2 = 21 и РЕ = Р(5Х вЂ” ЗУ + 2) = Р5Х + Р( — ЗУ) + Р2 = 25РХ + 9Р1х + 0 = = 25 2+ 9 9 = 131.

СЮ о я 00 РХ = хгу'(х) г1х — (МХ)г = хг.Ог(хА- хг 1 в1пх11х~- хг.Осе†2 — ОΠ— СО о к -(1)'=-'.(™---=-.'(-"--'-(--' - И- о г г г г — — = — — 2 — ~ = ~ — 2 0 467; ах = т/0467 0,68 4 2 4 4 Если х -+ А, то Е(х) -+ О, 1пп 0,25хг = О, т.е. 0,25Аг = О, А = 0; к-~А-10 1пп 0,25хг = 1, т.е. 0,25Вг = 1, В = 2. Поэтому х — тВ ,3 ~г МХ = х 0,5хНх = — *~ = 4/3, РХ = о Отеетыкупражненням ' 2,' г.7 1. Р( — 3 < Х < 5) = Фо( 2 ) — Фо~ 2 ) = Фо(1)+Фо(3) = 0,841 Р(Х<4) =Р( — оо<Х<4) =Фо( ) — Фо( 2 ) =Фо(05) + Фо(оо) = 0,19146+ 0,5 = 0,69146; Р(~Х вЂ” 3/ < 6) = Р(~Х вЂ” 3/ < 3 21 = 2Ф (3) = 0,9973. 2. По условию а = О, »т = 1 а) Р(Х Е (1,3)) = Фо ~ ) — Фо ~ ) = Фо(3) — Фо(1) = 0,49865 — 0,34134 = 0,1573; б) 2Фо ( — ) = 0,8926, отсю» Фо(1) = 0,4463.

По таблицам находим, 1 = 1,62, и интервал имеет в» ( — 1,62; 1,62); в) МоХ = 0; М = О. 3. Коэффициент асимметрии А нормального распределения равен 0 (А = 0 так как кривая Гаусса симметрична относительно прямой х = а, проход: щей через центр распределения а. Найдем (аиалитически) коэффицие» эксцесса, т.

е. Е = — — 3. Сначала найдем 124: »24 4 »24 х2 и=х ди = Зхо »Ь 4 1 »т»/2лл»122 = хе 2аг»1х 22 = — ое 2аг .2 Г хг хз»т2е оаг +3»тз х2е заг»1х »т 2/2 л ив аа х хг 0+ 3»т — хе 222»т +»т / е 2аг Цх »т»/2л л(», — 20 ('(-"-У (-") ( — )))= (3»т2»то 2/2»/л) = 3»т' »т»/2 ли Стало быть: Е = — — 3 = 3 — 3 = О. 3 4 4 230 ° Ответы к упражнениям Глава 3 А е *дхх о А/ /е * "Мха 1.

1) 1) 1(х,у) Входу = 1. Поэтому А / / е о о о -О""'=/ "Г '=1"(--".> ° о о о о о Г "тХи = (1 — е )(1 — е ") при х > О, у > О, т. е. х е "Ни=(1 — е о 2) Р(х,у) = = (1 — е ")х ((1 — е *)(1 — е в), при х > О,у > О, Рл-,т = ~ ~0, в противном случае. = — е — "~ =1 — е * прих>О,те. !о 1 — е *, прих>0, О их<0. Аналогично при у > О, приу<0. прих>0, ~е *, прих<0, )О, при х > О, прих<0. ) (1 — е *)', 4> ~*(х> = ~'(х> = '*'(х> = , ~е ", приу>0, Аналогично, 1у(у) = ~ 00 1 5) Р(Х > О,У < 1) = е*с(х о о 1 — — ~~ (е *) = 1 — — = 0,63.