Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 39

Решение: /~ гп Из уравнения Ван-дер- аальса Тг = — р+ —., — х гггЛ /г пг ! ,и гг пгг а 11 гп х !'- — Ь; Т, = — 2р+ —,—, Р'- — Ь (см. задач; и)' '- пя~ '~з)Л ) Т, 2р+р, г а Т, 6.3). Тогда — г= — ', где р, = —; ='=1,35. Т, р+р ' к'г Т, 6.8. Количество к = 1 кмоль кислорода находится при температуре г =27'С и давлении р=10МПа.

Найти объем К газа. считая, что кислород при данных условиях ведет себя как реальный газ. Решение: Чтобы найти объем из уравнения Ван-дер-Ваальса, необходимо решить уравнение третьей степени. В результате мы получили бы три корня, один из которых соответствует газообразному состоянию вещества. Его можно найти более простым методом последовательных приближений. Из уравнения Ван-дер-Ваальса для некоторого количества и 334 ьЯТ и1хТ зсислорода имеем Р' =, + ~6 = — + ь6 — (1). р+ ь'а/а~ Р+Р :.1З качестве первого приближения возьмем объем, получаемый из уравнения Менделеева — Клапейрона АКТ на ~ = — =0,24м .

Тогда р, = —,=2,4МПа. Подставляя Р Р; Р,. в (1), получим второе приближение Р", = 0,232 м'. Тогда у а 2 Р. = —, = 2,53 МПа, откуда третье приближение 7 Ф' =0,231м'. Далее р, = —,=2,55МПа; 1'4 =0,231м . Та- ким образом, искомый объем Г = 231 л. 6.9. Количество и =! кмоль азота находится при температуре 1=27'С и давлснни р=5МПа. Найти объем Г газа, считая, что азот прп данных условиях велет себя как реальный газ. Решение: ;Решая задачу аналогично задаче 6.8, найдем Р = 490 л 6.10.

Найти эффективный диаметр ст молекулы кислорода, считая известными для кислорода критические значения Т„. и У, ° Резиеине: Поскольку Ь = 4р', где à — объем всех молекул, к = РвФА, где Р; — объем одной молекулы, и, кроме того, Т„Я Т,Я НТ, Ь = — ", то 41'еФ„= — '. Отсюда Ре = 8р„' 8р„ 32ФАР„ з 1 з ЗЯТ„.

гз =.-лг =-~ст . Отсюда сг=з "'; сг=294 10 м. 3 6 16т1У„Р„ 335 6.11. Найти эффективный диаметр тт молекулы азота дв,т)„ способами: а) по данному значению средней длины свобод)ь)гс пробега молекул при нормальных условиях Х=95им; б) по известному значению постоянной 7) в уравнении Ван-дер-Ва альса. Решение: а) Средняя длина свободного пробега молекул (см. зада )у 7гТ 7гТ 5.)20) 2=,, с еа а~ ьно, = —. То: ьа зГ2л'5т р ~Г2трЛ lгТ ц сг = — — —; а =298 10 м. б) Постоянная Ван-дер-1)а- /2ярА альса 7), вычисленная по формуле Ь = — Л',тго, отк) )а 36 -)з тт = —. Тогда о =2 —; о =313 10 м. 2)тХ,, ) 2Ю', 6.12.

Найти среднюю длину свободного пробега Х моле)г..т углекислого газа при нормальных условиях. Эффективный д; зметр ст молекулы вычислить, считая известными для уг. екислого газа критические значения 7; и ра Решение: Критическое давление и критическая температура сои 8и ответственно равны: )э„. = —, — 1!) и Т,. = — — (2). 277)' 271)А 8 277)'Р,. 87)7), И ))) о=225'рр), одеевым в)2) Т,.= 27М Л Т„Л Тогда постоянная Ван-дср-Ваальса Ь = — ".

Эффективна)й 8р„. 6.11('3)) диаметр молекулы (см задачу Г 37 3Ткя 1 3Т„.7. сг =. — = » "' =.' — ". Тогда средняя дл).па ~( 2тгЛга 16~у,.Ф, ~16л72, 336 РТ газа ~/2лсг'р вободного пробега молекул lгТ ~. =80 нм. ,Гглр(зт„.7 Фар„.))$ Решение: Средняя длина свободного пробега молекул (см. задачу 7гТ 6.12) Л= , . Коэффициент диффузии 4"- .>-гр!3Т„.7г ф бтр„)) з 1 ПЯТ Ю = — ГА, где т = — средняя арифметическая 3 ~тр скорость молекул гелия.

Тогда коэффициент диффузии 1 8ЯТ УгТ 'и БЧЗЬТ„.)т 4 бл7э„. ))з з 6.14. Построить изотермы р = Т~Г) лля количества к=1кмоль углекислого газа при температуре г = 0'С. Газ рассматривать как: а) идеальный; б) реальный. Значения (в л/моль) для реального газа взять следующие: 0,07, 0,08, О,!О, 0,12„0,14, 0,16, О,!8, 0,20. 0,25, 0,30, 0„35 и 0,40; для идеального газа — в интервале 0,2 «Г «0,4 л,'моль.

Решение: а) Для идеального газа, искодя из уравнения Менделеьжт ева — Клапейрона, имеем рК = ЮТ, о~сюда р = ) Для реального газа из уравнения Ван-дер-Ваальса 337 6.13. Найти коэффициент диффузии 13 гелия при температуре ~ =17'С и давлении р =150 КПа. Эффективный диаметр атома о вы шслить, считая известными для гелия критические значения Т, и р, . з й И7 з а МгТ р+Р— ~)~ г — — Ъ) =мЯТ имеем р+и — = — изи зЛ ) Р'-нЪ 2 р = — и —,. Зависимость р(1') дана в таблицах и й — иЪ Р'з на графике„где верхняя изотерма соответствует идеальному газу, нижняя — реальному.

Для реального газа: Ддя идеального газа: р З,ОЕ+7 2,5Е->7 2,0Е+7 1,5Е-"7 1,ОЕ'7 5,0Е-'б О„ОЕ'0 005 0,10 0,15 020 025 030 035 040 6.15. Найти давление р,, обусловленное силами взапз:эдействия молекул, заклзоченных в количестве г =1кмоль г "а при нормальных условиях. Критическая температура и крпзпческое давление этого газа равны Т„= 417 К и р„, = 7,7 МПа. зезиеине: давление, обусловленное силами взаимодействия молекул Л2 И а 27Т2Д2 12 = —,—,=ьз —,, где а= " — постоянная Ван- ,222 Р' К 64Р,. 27мзТ„2Я2 дер-Ваальса. Тогда р, = "',, Из уравнения Менде64р,.К 1ят деева — Клапейрона р Р' = ит Т выразим объем К = —, Р и тт2Т тогда Г' =,, следовательно, 27и Т„2Я р 27Т,.

р Р— 64р„.и К Т 64р„.Г окончательно У'ешвнне: Поскольку силы взаимодействия между молекулами водорода незначитслы|ы, то в уравнении Ван-дср-Ваальса мож2икне учитывать параметр р, . Уравнение такого газа будет ГП Л2 ииеть вид р à — — Ь = — ТтТ вЂ” (1). Количество т водо- .и Рода без учета собственного объема молекул можно найти рр нз уравнения Менделеева — Клапейрона; 1 = — — (2).

С ЯТ учетом собственного объема молекул из уравнения (1) 339 6.16. Для водорода силы взаимодействия между молекулами незначительны; преимушествеииую роль играют собственные размеры молекул. Написать уравнение состояния такого полу- идеального газа.

Какую ошибку мы допустим при нахождении количества водорода и. находяшегося в некотором объеме при температуре ~=0'С и давлении р=280МПа, не учитывая собственного объема молекул'! "> ° и~ иал ош>г>)ка КТ+ рЬ и — г> д = —. Подставляя в последнее уравнение (2) и (3), получим д = —; Б = 0,3 3 = 33 о'о . рЬ ЯТ Решение: Давление, обусловленное силами взаимодействия молекул г лг а р, = —,—,. Из уравнения Менделеева — Клапейрона ,и Кг га лг ЯТ р, »г а,и Р' р~'= — ЯТ имеем р= — —, тогда — '= — — — — = Ф РР' р ф' 1' гаЯТ >и а р, = — —; — '=4,9Ы. Собственный объем молекул най- Н кят р дем, воспользовавшись постоянной Ь Ван-дер-Ваальса. равной учетверенному объему молекул, содержащихся в одном моле реального газа.

В уравнении Ван-дер-Ваальса с г а11 р + — (>' -гЬ) = г>гтТ поправка мЬ означает учетвс1г2 т.е. иЬ = 4Р;, От дгЬ тогда Р' 4и1' ренный объем молекул всего газа, гб р' =— 4 Г= — Ь, 4>и или сюда -0 85О 4 0,028 10 г 340 6.17. В сосуде объемом г' =10 л находится масса лг = 0,25 ьг азота при температуре г = 27'С.

Какую часть давления газа составляет давление, обусловленное силами взаимодействия молекул? Какую часть объема сосуда составляет собственный объе;г молекул? 6,18. Количество и = 0.5 кмоль некоторого газа занимает объ„!' =1м', При расширении газа до объема 1', =1,2м' бьша ! вершена работа против сил взаимодействия молекул А-5,684 кДж. Найти постоянную а, входяшую в уравнение Ваи дер-Ваальса. решение: работа, совершенная против сил взаимодействия мог, з гп а вакул, А = ~р,бЛ', где р, =, „. Таким образом, р'-р "- и а гН' пг а(! ! ! ги и!'г' — 1') , откуда выраРз и г' ~С ~Р'~ Р'з) Р г',1; АР 1111 А1)1~~ б з зим а — ' ' — ' ' — 0,1 36 Па м /моль . фр, - и ) -'(рз - р;) 6.19.

Масса «~ = 20кг азота адиабатически расширяется в вакуум от объема Г, = 1 мз до объема !'. = 1м'. Найти понижение температуры ЛТ при этом расширении, считая известной для азота постоянную а, входяшую в уравнение Ваи-дер-Ваальса (смотри ответ 6.2). Решение: КТ, Работа газа при адиабатическом расширении А= ' х у-! Ф Т,) у-1 р Т,; -1и у-1 вз 1'+ 2 "— ЬТ, где у =: — показатель адиаоаты, тогда у — 1 = Ф 1+2 ! 2 Иш -- = — .

Следовательно, работа А = — — ЛТ вЂ” !1). 2 Уб другой стороны, работа, совершенная против сил вза- 341 72 з пт а имодействия молекул, А = ~ р,с7рт, где р, = —... зиа:гн зтзза (т71т и а(1 1 ~ ш а( з — Р;) в (1) и (2) левые части равны, то можно цр:,зав. И и, гп а(1тз — Р;) 7 и прюыи и и, ш~ла — лт' = 2 р,и рзГ, лт=" * ' .лт=зззк.

2777гт(Р; — Р; ) И,ирз(тз 6.20. Количества и --0,5 кмоль трехатокшого газа а., Патически расширяегся в вакуум от объема Р; = 0,5 мз до о' 'ма 1', = 3 м'. Тскзперат5ра газа прп этом понижается иа ЛТ =1: 'К. Нанти постояниу и а. входящб ю в уравнение Ван-дер-Ваа: Решение: Понижение температуры при расширении (см. задачу ".! 9) 2та(Тт, — 1',) 2зет(Ттл — 1') Л7' — ' ' — ' з .