Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 22

Р; = — = — = ~:Я, 2 г; 0 / х отсюда ~ = — '. Т. к. Я= —— о 4 площадь поперечного сечения 4~; отверстия, то скорость вытекания жидкости з = †' . Из Ы' уравнения Бернулли — = щЬ, отсюда з = /2дЛ. Тогда ,ОУ 2 ~Я~~ —, . ~/г 4Р;, 41'; л'/ ж,~2д!з 4Р; =1,4 см. яг,/2дЬ 4.7. Какое давление р создает компрессор в краскопульте, если струя жидкой краски вылетает из него со скоростью ~ = 25 м/с? Плотность краски р= 0,8 10'кг/м'. Решение: Уравнение Бернулли для установившегося движения з идеальной несжимаемой жидкости р+ — +щй=сопа/. 2 В нашем случае при Ь =О, р= — =250 кПа.

,ЯР' 2 184 4.8. По горизонтальный трубе АВ течет жидкость. Разность уровней этой жидкости в трубах а н Ь равна ЛЬ=10см. Диаметры трубок а и Ь одинаковы. Найти скорость г течеп жидкостн в трубе АВ. Решение: Т. к. диаметры трубок й, = 1:гь, то площади поперечного сечения гЗ/г 'Ф Я = Я вЂ” (1). В силу неразрыва ь ,'У..

У, ности струи ~>,Я„= г,,߄— (2).,' уф;;:::..;;:'1~~~ . ~~~~"".' .Ф,.".':: муле Торричелли ща+ — = 2 = /эяЬ, отсюда г г I 2 = ф — пп = д(Ь вЂ” а). Т. к. Ь вЂ” а = Л/г, то т' = 2дЛ/г и г = з/2уМ =1,4м/с. 4.9. Воздух продувается через трубку АВ. За единицу времени через трубку АВ протекает объем воздуха Г = 5 л/мин. Плошадь поперечного сечения широкой части трубки АВ равна В, = 2 смг, а узкой ее части и трубки аЬс равна Вг = 0,5 см . Найти разность уровней ЛЬ воды, налитой в трубку аЬс. Плотность воздуха р =1,32 кг/м'.

Решение: Объем воздуха, протекающий за единицу времени через К И трубку АВ, Р; = — = — = мУ, А — г р; з = — ', где 1 — длина Я вЂ” время, г =1/г — скорость движения воздуха. — К =8,33 10 'м'/с. Из формулы ог отсюда струи, г Р; у Я, 185 ,2 2 Торричелли имеем — '+ р дЛЬ = —, откуда Р Рвов "2 2 вол 2 в 2 1 2 2 2 дг, Рвов~г 1 Рвов г г ~2 1 75 мм 4.10. Шарик всплывает с постоянной скоростью г в жидкости, плотность р, которой в 4 раза больше плоскости материала шарика. Во сколько раз сила трения Р~, действующая на всплывающий шарик, больше силы тяжести гггк, действующей на этот шарик7 Решение: По второму закону Ньютона Г, — ггпу — Р' =Π— (1), где Г„=ргРд — (2); лг = р21' — (3).

Из (3) 1" = —, тогда т Р2 т Г '=4р — д =4гггд — (4). Преобразуя (1) е учетом (4), Р2 ~ тр получим Г„=Згггд или — =3. ггги 4.11. Какой наибольшей скорости т может достичь дождевая капля диаметром И =0,3 мм, если динамическая вязкость воздуха гг =1,2 1О 'Па.с? Решение: Во время падения на каплю действуют две противоположно направленные силы. Сила тяжести ггпу и сила сопротивления воздуха Р (силу Архимеда не учитываем). При увеличении скорости падения сила сопротивления растет.

Максимальной скорости капля достигнет, когда .сила тяжести и сила сопротивления воздуха станут равны, тт = ггпу . По закону Стокса тт = бгггръ = 3гггрЬ, тогда 18б ы' 3/гг/й =лщ. Поскольку лз=рУ=р —, где б Ы ность воды, то ЗтцсЬ = щ —, откуда 6 з =4,1м/с.

р — плот- Яф У= 18г/ 4.12. Стальной шарик диаметром с/=1мы падает с постоянной скоростью з = 0,185 см/с в большол~ сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость д касторо- вого масла. Решение: 4.13. Смесь свинцовых дробинок с диаметрами Ы, = 3мм и И,=1мм опустили в бак с глицерином высотой /з=1м. На сколько позже упадут на дно дробинки меньшего диаметра по сравнению с дробинками большего диаметра". Динамическая вязкость глицерина у = 1,47 Па.с. Решение: Считая движение дробинок равномерным, запишем второй закон Ньютона в общем случае тд — Ä— Г = Π— 1! ), где 187 Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона лщ — Р;, — Г = Π— 11), где масса шарика л/~ т= р,1'= р„.— — (2); сила Архимеда Г = р„Рд= р„дх ~з х — — 13); сила сопротивления масла Г = Зятей — 14) б по закону Стокса.

Подставляя уравнения (2) — 14) в (1), после несложных преобразований получим 18/7ч = И'8 х х(р,,— р„),откуда ц= ' ' "); ~7=2Пас. 18т масса дробинки т = р,р = р,Ы'/б — (2); сила Архимеда ~И ГА = р Рд = р я — — (3); сила сопротивления глицерина г г Г =Злцй — (4) по закону Стокса. Подставив уравнение (2) — (4) в (1), после несложных преобразований получим 18д~ = И'8(р, — р„) — (5). Здесь р — плотность свинца, р, — плотность глицерина. При равномерном движении Ь скорость ~= — — (б). Подставив уравнение (б) в (5), выразим время / за которое дробинка достигнет дна 18ф 18ф /= Тогда Л/=/, -г, = = /-'а(.— р,) аЬ.-р,) Л/ =4 мин. 4.14.

Пробковый шарик радиусом г =5 мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую и кинематическую вязкости касторового масла, если шарик всплывает с постоянной скоростью ~ = 3,5 см/с. Решение: Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона Ä— à — тд=Π— (1), где мас4~п' са шарика т = р„Р' = р„— — (2); сила Архимеда 4лт~ Г,, = р„,Рд = р„д — — (3); сила сопротивления масла Г = блт/г~ — (4) по закону Стокса. Подставляя уравнения (2) — (4) в (1), после несложных преобразований получим 187к = 4г 8(р„— р„), откуда динамическая вязкость 2г'~Ь вЂ”,) у = ' " "; у =1,09Па с. Кинематическая вязкость 9к масла к = /// р„; и = 12,1 сы /с. 2 188 4.15.

В боковую поверхность цилиндрического сосуда радиусом Я = 2 см вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус г =1мм которого и длина 1=2см. В сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость которого и =1,2 Па с. Найти зависимость скорости ~ понижения уровня касторового масла в сосуде от высоты Ь этого уровня над капилляром. Найти значение этой скорости при Ь = 26 см. Решение: Объем масла, вытекающего за время 1 из сосуда через капилляр, определяется формулой Пуазсйля: т ~~АР Р" = — (1), где разность давлений на концах 81у капилляра ЛР = щЬ вЂ” (2). С другой стороны, Р' = ЯУг = лгг~т'г — (3), где 1' — скорость протекания масла через капилляр. Решая совместно (1) — (3), найдем 2 — В силу неразрывности струи ~'У=~Я, где 81у Я вЂ” площадь поперечного сечения сосуда, отсюда у ~ 2 4 — — — — Окончательно имеем т = —, .

При Я Я 81цЯз Ь=0,26м скорость т=3 10 ам/с. 4.16. В боковую поверхность сосуда вставлен горизонтальный капилляр, внутренний радиус которого г = 1 мм и длина ! = 1,5 см. В сосуд налит глицерин, динамическая вязкость которого ~ =1,0Пас. Уровень глицерина в сосуде поддерживается постоянным на высоте Ь = 0,1 8 м выше капилляра. Какое время потребуется на то, чтобы из капилляра вытек объем глицерина К =5см'? Решение: Объем глицерина, вытекающего за время г из сосуда через капилляр, определяется формулой Пуазейля 189 4 1р р' = — (1). Разность давлений на концах капилляра 81г7 обусловлена гидростатнческим давлением жидкости, ЛР = щЬ вЂ” (2).

Подставив (2) в (1), выразим 8Р7ц г = —; г = 1,5 мин. лг~щй ™ 4.17. На столе стоит сосуд, в боковую поверхность которого вставлен горизонтальный капилляр на высоте Ь, = 5 см от дна сосуда Внутренний радиус капилляра г = 1мм и длина 1 = 1см. В сосуд налито машинное масло, плотность которого р = 0,9 10'кг/ы~ и динамическая вязкость 9 =0,5 Па с.

Уровень масла в сосуде поддерживается постоянным на высоте Ь, = 50 см выше капилляра. На каком расстоянии Е от конца капилляра (по горизонтали) струя масла падает на стол? Решение: лг Ир По Формуле Пуазейля 1' = —, где по закону Паскаля 8/и перепад давления Лр = щЛЬ = щ(6, †,). Тогда .'грд(1~з — 1~ ) р' — — ( - '') с отсюда р; = — = 81'7 ау другой стороны, К =гЯ=тлг' (см.

задачи 4.6 и 4.9), 4 2 ° раН,-~) -рр(ь,-ь) следовательно, тлг 81г1 81у скорость вытекания струи из капилляра, Далее рассматриваем движения струй вдоль осей х и у, как независимые, причем по х движение равномерное, а по у— пе равнопеременное, поэтому х=зт и у=Ь, — —. В точке 2 падения струи на стол у = О, соответственно Ь, — — = О; 190 2Ь ~26, — †' . Тогда струя падает на стол на рас- Г 8 и /7Я(/72 — Ь~ ) ~26~ стоянии Л=х =и1 = 2 ~ — ~ =1см. 81ц 4.18. Стальной шарик падает в широком сосуде, иаполисииом трансформаторным маслом, плотность которого р = 0,9.10' кг/мз и динамическая вязкость и = 0,8 Па.с. Считая, что закон Стокса имеет место при числе Рейиольдса Не<0,5 (если при вычислении Ае в качестве величины й взять диаметр шарика), найти предельное значение диаметра й шарика. Решение: йчр„ нольдса определяется соотношением Яе = " .

По 7~ .Оз:р„ условию Яе<0,5, тогда " <0,5 или, с учетом (5), Ч , ") " <0,5. Отсюда й< 18ц 0,5.18у' Юи(~о, — ~,) дельный диаметр шарика .0 = 4,6 мм. 191 Поскольку шарик движется равномерно, то по второму закону Ньютона тд — Е, — Г = 0 — (1), где масса шарика 13 и~ = р,К = р,— — (2); сила Архимеда Г =р„,Ру=р„, х лН' хд — — (3); сила сопротивления масла Г =Згпй — (4) б по закону Стокса. Подставляя уравнения (2) — (4) в (1), после несложных преобразований получим 18у~ =Ы-8 х х(р, — ря), откуда з = ' " — (5). Число Рей18~у 4.19.

Считая, что ламинарность движения жидкости (или газа) в цилиндрической трубе сохраняется при числе Рейнольдса Яе <3000 (если при вычислении Ае в качестве величины .0 взять диаметр трубы), показать, что условия задачи 4.1 соответствуют ламинарному движению. Кинематическая вязкость газа ~ =1,33 10 ' м~/с, Решение: Поскольку число Рейнольдса можно задать соотношением Рл' Яе = —, то ламинарность течения жидкости сохранится и йч при выполнении условия: — <3000. Подставив данные задачи 4.1, получим 1805<3000.