Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 18

Тогда 12 1-) Ось х оси, проходящей М 12М г ю= — = —,=2,35рад/с . ,У кч1' 3.5. Однородный диск радиусом Я =0,2м и массой т = 0,5кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой скорости в вращения диска от времени г дается уравнением в = А+ Вг, где В = 8 рад/с~.

Найти касательную силу Г, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь. 148 Решение: Воспользуемся рисунком к задаче 3.3. Относительно оси х момент касательной силы приложенной к ободу диска М=Г Я вЂ” (1). Уравнение вращательного движения в проекции на ось х: М =/ с, где момент инерции диска тя2 лЖ к .У = —, т.е. М = — (2). Угловое ускорение 2 2 сЫ ь = — = — (3).

Решая совместно (1) — (3), найдем Ж 2 3.6. Маховик, момент инерции которого 1 =63,6кг м вращается с угловой скоростью о = 31,4 рад/с. Найти момент сил торможения М, под действием которого маховик останавливается через время г = 20 с. Маховик считать однородным диском. Решение: Момент сил торможения М =Л, где угловое ускорение О а = —, т.к. вращение равнозамедленное и конечная Уп> угловая скорость и> = О. Тогда М = —; М =1ООН. 3.7. К ободу колеса радиусом 0,5м и массой л> = 50кг приложена касательная сила Е =98,1 Н. Найти угловое ускорение к колеса.

Через какое время 1 после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения п=100об/с? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь. Решение: Данную задачу решим в скалярной форме относительно оси, проходящей через центр масс диска и совпадающей по направлению с вектором е . Момент касательной силы, приложенный к ободу диска М = Г А — (1). Кроме того, 149 пгЯ М = / ь, где момент инерции диска Т = —, т.е. гггА е М= — — (2).

Приравнивая правые части уравнений 2 2Р (1) и (2), получим и = —; с = 7,8 рад/с . Угловую гггА скорость пг можно выразить двумя способами: в=.2лгг и 2гпг пг=а, отсюда г = —; г =1мин 20 с. а 3.8. Маховик радиусом Я = 0,2 м и массой гп = 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения, Т = 14,7Н. Какую частоту вращения и будет иметь маховик через время г =10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском.

Трением пренебречь. Решение: Данную задачу решим в скалярной форме относительно оси, проходящей через центр масс диска и совпадающей по направлению с вектором с. Момент силы натяжения ремня М=Т К вЂ” (1), кроме того, М=,У с — (2), где гггЯ оз 2лп момент инерции диска / = — — (3), ь = — = — — (4). 2 г' г Тг Решая совместно (1) — (4), найдем и = —; и =23,4 об/с. гога 3.9. Маховое колесо, момент инерции которого .У = 245 кг л, вращается с частотой п=20об/с.

Через время г =!мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения М и число оборотов Ф, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском. 150 Решение: Поскольку вращение колеса является равнозамедленным, то количество оборотов, которое оно сделало до полной остановки Ф = и! /2; й/ = 600 об. Момент сил трения а> 2лп 2Хт М =.У а. Поскольку с = — = —, то М = — = 513 Н.м.

3,10. Две гири с массами т, =2кг и т, =1кг соединены нитью, перекинутой через блок массой !и = 1 кг. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силы натяжения Т, и Т, нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь. Решение: Запишем в векторной форме уравнения поступательного движения первой и второй гири: >>>,а=т!я+Т!; т,а= Оу 'Г Подставим (4) в (3): У вЂ” = Я(Т, -Т,) — (5). Вычтем (2) из а (1), подставим в полученное выражение (5) и найдем а= ~ ' =2,8м/с — (6). Подставляя (6) в (1) и (т! и>> )ч 2 и>, +т, +т/2 (2), получим Т, = т!(д-а); Т, =14Н.

Т, = т,(8+а); Т, =12,6Н. 151 = Т, + >>>>я и уравнение вращательного движения диска У Ы=М, +М>, где х М, — момент силы натяжения нити Т„тЫ т>я М, — момент силы натяжения нити Т,. Спроектируем первые два уравнения на ось х, а последнее на ось у и добавим уравнение кинематическойсвязи. Получим систему 4 уравнений: л>,а = т,д-Т! — (1); -т а=т>8 — Т> — (2); Л'=ЯТ, — ЯТ> — (3); а=нЯ, 3.11.

На барабан массой т, =9кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой и = 2 кг. Найти ускорение а груза. Барабан считать однородным цилиндром. Трением пренебречь. Решение: Без учета сил трения и сопротивления Я среды систему «груз — цилиндр» можно считать замкнутой и применить закон сохранения энергии. В начальный момент времени груз обладает потенциальной а Т энергией лцй, которая при опускании груза уменьшается, переходя в кинетическую энергию поступательного движения груза и в кинетическую энергию врах П7У Уш щения барабана л~~Ь = — + — — (1), 2 2 л1в.к з где момент инерции барабана /= — ' — (2); аз= —— 2 Я (3), где А — радиус барабана. Уравнение (1) с учетом (2) и 2( з ( лг1 (3) можно записать как т~Ь= ~ т+ — ~ — (4). Груз 21, 2,1 опускается под действием постоянной силы, следовател *- аг но, его движение равноускоренное, тогда Ь = — — (5); 2 ~ = аг — (6). Подставляя (5) и (6) в (4), получим а= 2тд ; а=3м/с .

и, +Ън 3.12. На барабан радиусом Я = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой т = 10 кг. Найти момент инерции ,У барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2,04 и/с . 152 Решение: Сила натяжения шнура Т создает вращающий момент М=ТУ< — (1). С другой стороны, М =.Уг — (2). Ускорение, с которым опускается груз, равно тангенциальному ускорению вра- а а щения барабана. Тогда е = — — (3). Я Решая совместно (1) — (3) получим: ТЯ' х .У = — — (4).

Силу натяжения шнура Т а найдем из второго закона Ньютона в проекциях на ось х. тд-Т=пга, откуда Т=т(у-а). Тогда уравнение (4) тЯ~(д — а) примет вид:,У =;,У = 9,5 кг м . а 3.13. На барабан радиусом А = 20 см, момент инерции которого У=0,1 кг м', намотан шнур, к концу которого привязан груз массой т=0,5кг. До начала вращения барабана высота груза над полом Ьо = 1 м. Через какое время г груз опустится до пола? Найти кинетическую энергию 5'„груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т. Трением пренебречь. Решение: При опускании груза его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения и кинетическую энергию вращательного движения: пг1 .Уог 7 тяУг = — + — — (1), где е = —, отку- 2 2 Я ти Л Я'~ пг+Л да пгг<У70 — — + г г или о 2 2яг 21гг ,г „„~г+,У 2ргт У,, пЖУго = 1 2яг 153 аг Движение равноускоренное, поэтому Ьо = — — (3); 2 аз азАг УАг и а=ьЯ; с= —; Ь = — = — = — — (4).

Выразим г из г2 2А 2 4Ьо тА +У (4) и подставим в (2) 2А'идЬо 2 тАз+У нп ; г=1,1с. Кинетическая энергия 6'„=— А н~а 2 т2А~ту подставив уравнение (2), получим 1г"„= 2 тА'+,У т дЬоА' И'„=0,82Дж. По второму закону Ньютона тА +,У 2ЬО нку — Т = та, откуда Т = т(д — а) . Из (3): а = — о, -огда г2 Т = т(8' 2Ьо I ~ )' Т = 4*1 Н 3.14. Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого У=50кгм и радиус А=20см.

Момент сил трения врашаюшегося блока М =98,1Н.м. Найти разность сил натяжения нити Т, — Т, по обе стороны блока, если известно, что блок врашается с угловым ускорением с = 2,36 рад/с~. Блок считать однородным диском. Решение: О Осьу г Согласно основному закону динамики вращательного движения (в проекции на ось у) при ,У=союг ~М=,Ус. Разность - сил (Т, — Т,) создает враща- тельный момент М,~, тогда 2 т, 154 (Т, - Т,)-М = ./н, следовательно, Т, -Т, =~3н+М //й; Т, — Т, =1,08кН.

Решение: Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось х и у: т,а=т,д-Т, — (1), где Г = /ап х тза=Т -Г, — (2), хд — 13). Разность сил (Т, -Т,) воздает момент вращения, следова.Уа 212 тельно, (Т, -Т,)Я= —, где .У= —, а Т, Г та откуда Т вЂ” Т, = — — 14).

Из уравнений 11) — 13) найдем 2 Т, = т,(н — а) — (5); Т1 = тз(а+/сд) — (6). Пусть т, =т =т'. Тогда Т вЂ” Т, =т'(д-2а-/га)=тЯ1-Ус)- та — 2пг'а, подставив 11), получим т~,1 — /г) = — + 2т'а = а(т+ 4т') 2тф(1 -к) ', откуда а = ', '; а =3,5 мlс . Тогда нз 2 т+ 4т' уравнения(5) Т, =6,3Н; Т, =4,5Н. 3.16. Диск массой т = 2 кг катится без скольжения по горизонтальный плоскости со скоростью ~=4м/с. Найти кинетическую энерппо П', диска. 3.15.

Блок массой пг =1 кг укреплен на конце стола 1 см. рис. и задачу 2.31). Гири 1 и 2 одинаковой массы и, =т, =1кг соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол й = О,! . Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силы натяжения Т, и Т, нитей. Блок считать однородным диском. Трением в блоке пренебречь. Решение: В задаче рассматривается так называемое «плоское движение». Полная кинетическая энергия диска складывается из кинетической энергии поступательного движения точки центра масс и кинетической энергии вращения относи- 3 ту тельно оси, проходящей через центр масс; И'„ = — + 2 у 2 тЯ + —.

Поскольку,У = — и в= —, где т — масса 2 2 Я Знгу диска, Я вЂ” радиус диска, то В'„= —; И'„=24Дж. 3.17. Шар диаметром О=бом и массой т=0,25кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой вращения п = 4 об~с. Найти кинетическую энерппо И'„шара. Решение: Кинетическая энергия шара складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической туз,ув з 2игЯ' энергии вращения; И'к = — + —, где У = 2 2 5 4,г'тФп- '2тД'4ж'-и' и = 2лп, следовательно, Н'к — + 2 5 2 3 з 7л~Р тп 1О 3.18. Обруч и диск одинаковой массы т, = т, катятся без скольжения с одной и той же скоростью у. Кинетическая энергия обруча И~„, = 4 кгс.м.