Книга 1. Решения задач из разделов 1-8 (509315), страница 15
Текст из файла (страница 15)
— объем шарового слоя высотой х. Шаровой сегмент высотой 1 имеет объем шарового слоя 1'„= К вЂ” Р' = т(х+ Ь) — [ЗЛ-(х+Ь)~- — (ЗР-Ь). Тогда Г„= АР; = 12 ~Ро0 ~31~( 1)з ( +1) 1зф~ 1,)~ (4) Р бо 3 торую надо совершить при погружении мяча до диамет- и ральной плоскости, будет А = ~ Рхс1х — (5). Подставляя (4) о в (5), интегрируя и учитывая, что Н+Ь=А, получим, после подстановки данных задачи, А = 0,74 Дж.
2.129. Шар радиусом Я = б см удерживается внешней силой под водой так, что его верхняя точка касается поверхности воды. Какую работу А произведет выталкивающая сила, если отпус- 120 Определим положение шара при сво- Я бодном плавании, в этом случае сила тяжести лф уравновешивается силой Архимеда Г . Следовательно, ти = Р'„; 3 т = 1'„,р; — ~гЯ д," = р,1'од, где з з р, =10 кгlм — плотность воды, 1'о— л х объем погруженной части шара. Отсюда к = — -лЯ или 1~о = — ~ — лЯ ~, слер~3 ) ' 213 1 довательно, 1'о = — К, т.е. шар погружен "':::.';,':.'" та в воду до диаметральной плоскости. В первоначальном положении на шар действует сила тт= Ä— тд.
В предыдущей задаче была получена формула, выражающая зависимость выталкивающей силы от глубины погружения х, если при свободном плавании в воде находился шаровой сегмент высотой Ь. Учитывая, что в данном случае А= Я, имеем Г= — ~" [ЗЯ(х+Я) — (х+Я)'-2Я']. 3 Если отпустить мяч и предоставить ему свободно плавать, то в этом случае работа выталкивающей силы: А =) гс~х= — ~~[3Я(х+ Я) -(х+Я) — 2Я~1; 3 (х+ Я) (х+ Я) 3 4 -2Я'х~ о ~РоК 3 7Я вЂ” — Я вЂ” 2Я ~; А = — Я; А=0,17Дж.
5~гроя 4 1 3 ° 4 121 тить шар и предоставить ему свободно плавать? Плотность мате- риала шара р=0,5 10'кг/л~'. 'Решение: 2.130. Шар диаметром .0=30см плавает в воде. Какую работу А надо совершить, чтобы погрузить шар в воду на Н = 5 см глубже? Плотность материала шара р = 0,5 10' кг/мз. Решение: Определим положение ' шара при свободном плавании, в этом случае сила тяжести пзбг уравновешивается силой Архимеда Р;,, т.е. тд =Ел. 3 з Масса шара т=Р' р= — кК р; сила 3 р,Р'сд. Тогда — Ы щ = р,Р,'д, где Архимеда Г, = р, = 10 кг/м — плотность воды, 1~~ — объем погруз з 1Г4 з1 1 ~' = — ~ — лА ), следовательно, 1' = — 1', т.е.
шар погру- 2~3 ) 0 2 ш жен в воду до диаметральной плоскости. Если теперь погрузить шар в воду на глубину х, то сила Архимеда превысит силу тяжести, действующую на шар, и результирующая сила, выталкивающая шар из воды, будет Г, =ГА' — язв. Против этой силы Г„и должна быть совершена работа. Сила Архимеда ГА = рсР~ — (3), где à — объем шарового сегмента высотой Я+ х, Тогда Г=р,1$-р,1;~=р,д(1'-1;). 1'-~; =1; =объг(Я+ х) ем шарового слоя высотой х. 1; = х 3 х(ЗЯ-(Я+ х))- — хА~; 3 з1 г' = — 13Я х — х у. Работа, затрачиваемая при погружении 3 122 Р = — ((Л+ х)з(2Л вЂ” х)-2Л') 3 женной части шара.
Отсюда Р~ = — 1 -лЯ ) или / (4 р А= — х ггрой 3 и шара на Н =5 ем глубже: А = ~Га~х; о и 2 4 х~(ЗЯ х —.х Рх; А = — ЗЯ вЂ” — —; А=0,84Дж. з~- . ггроЯ г ~~' Е~ 3 2 4 2.131. Льдина площадью поперечного сечения Я=1м и высотой Ь=0,4м плавает в воде, Какую работу А надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду? Решение: Обозначим р — плотность льда, ро — плотность воды. При сво- Р л бодном плавании на льдину действуют две силы, у равно-,:.::,з.::,":,:.,~; вешивающие друг друга: сила:,:::::-:::-::,.:::::-,:::::-:::.,:,::::,'.::.:::::-:,::::='::::'.:::,::,-',::,:::,::',ят~,.":'--'::-:. тяжести и сила Архимеда (рис.1), " Рис. 1 т.е. тя = Ä— (1).
Найдем высоту Ь той части льдины, которая находится в воде при свободном плавании. Т. к. т = РР = РИ, а ГА = РоРои = РоЯ2Д, то, поДставив эти выРажениЯ в (1), получим: Ьг = — =0,36м — (2). Если теперь погрузить р~ Ро льдину в воду на глубину х (рис.2), то сила Архимеда превысит силу тяжести и резуль- лзх тирующей силой будет выталкивающач сила Г = Г,' — тд. Против нее и надо совершать работу.
ГА' = рдБ(йг+ х~~, то- Рис. 2 гда Г=рд5(Ь2+х)-РЯБ|; преобразовав выражение с учетом (2), получим Г=Яд ро~ — +х~-РЬ =Ядрох. ргг Ро 123 Работа, совершаемая при погружении льдины на глубину о~ !1Л Ьг х: будет равна А = ~Гс1х; А = Лауро~ хсзр =,фр — ' о о рЬ Ь(р,-р) Ь, = Ь вЂ” Ь, = Ь вЂ” — = о, в результате получим: Ро Ро Ь (р — р) Яфг (р„— р) г,,' гр, 2.132. Найти силу гравитационного взаимодействия Г между двумя протонами, находящимися на расстоянии г =10 "м друг от друга. Масса протона гн =167 10 ' кг. Решение: Сила гравитационного взаимодействия выражается ъ нг формулой Г =б —. Подставляя числовые данные, полугг чим К=1,86 10~' Н.
2.133. Два медных шарика с диаметрами В, = 4 см и Рг =6 ем находятся в соприкосновении друг с другом. Найти гравитационную потенциальную энергию В'„этой системы. Решение: Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия: нй лгг И"„= — 0 — — (1), где г — расстояние между центрами масс шаров. Знак « — » говорит о том, что при сближении тел потенциальная энергия убывает, а при Я = со 4~ г1г Й + 1"-1г . потенциальная энергия равна нулю.
г = — + — = — ; 2 2 2 124 4 3 гп = т,р; пгз = тзр. Объем шара Р = — ~Ж, тогда 3 .т, =-тг~ — '~ р; ш, = — к~ — "- ~ р. Подставив полученные 3 ~23 ' -' 3 1.г,( выражения в уравнение 11), получим: 2.16 -'(В,~йй),/г)' р' 1т"„— 0 ' ' ' " ~ ' . Учитывая, что плотность меди р = 8,6 10' кг(м', найдем: В'„= — 3,8 10 "Дж. 2.134. Вычислить гравитационную постоянную б, зная радиус земного шара Я, среднюю плотность земли р и ускорение свободного падения я у поверхности Земли (см.
табл. 4 и 5). Решение: В соответствии с законом всемирного тяготения, тело массой т, находящееся у поверхности Земли, притягивается тМ ею с силой Р=б —, где М вЂ” масса Земли, Я вЂ” ее (~2 радиус, С другой стороны, Р = и~у. Приравнивая эти М величины, найдем, что 8=0 —,. Взяв из таблицы 5 значения Я, р, 'д и зная что М=Кр= — гН р, выразим 4 з а= — 3= —, а=6,6710 Н' (кг.
уА' -3 3я -и . з 4ж~з р 4~Яр 2,135. Принимая ускорение свободного падения у Земли я=9,8м/с и пользуясь данными табл. 5, составить таблицу значений средних плотностей планет Солнечной системы. 125 Решение: В задаче 2.134 мы получили формулу для вычисления гравитационной постоянной 0 = Зу/4Ыр. Изменив значения д, Я и р (~', А' и р'), получим то >ке значение гравитационной постоянной 0=3д'/4лР'р'. Приравняв правые части уравнений, выразим среднюю плотность планеты: Зд Зд' д я', Я/у' — = —,,; — = —,,; р' = —,. Используя данные 4пЯр 4пйр' Ар А'р' уЯ' таблиц 4 и 5 и полученную формулу, составим таблицу: 2.136. Космическая ракета летит на Луну. В какой точке прямой, соединяющей центры масс Луны и Земли, ракета будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой? Решение: Введем следующие обозначения: т — масса ракеты, М, — масса Земли, Мл — масса Луны, Яз— радиус Земли, Ял— радиус Луны, Я, расстояние от поверхности Земли до искомой точки и г, — расстояние от поверхности Луны до искомой точки.
Сила притя- ьчМз жени ажжлу Ла атей и Землей Л=О . Сила ~. +я)' 126 )пМЛ притяжения между ракетой и Луной: Г2 =!у 'чГ2 + злу' Ракета будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой !'2МЗ "'МЛ силой, когда Р! = Р;, т.е. б ' „= О, (й! 3 и'2 Л) (1). г, +гз =г — расстояние от (г,+АЗ)' (;+Я,)-' ,Земли до Луны, г, =г — г,.
Подставляя это выражение в уравнение (1) и извлекая квадратный корень из обеих )1М3 3)Мл частей уравнения, получим: = , откуда ")+у'3 " ')+ 1~ ГМ у л ! 3 Мч ! ! 1+ — = — ( +Ал)-ЯЗ вЂ” (2)' Мл Мл — р)). Выразим и, из (2) е учетом (3); ,~л аз) з Ы„ ,/ ( М !,г+1~л,-ъ1МЛ А . Подставляя табличные величины, получим: г =3,43 10 км.
5 „ 2.137. Сравнить ускорение свободного падения у поверхности Луны дя с ускорением свободного падения у поверхности Земли я3. Решение: В соответствии с законом всемирного тяготения, тело массой лг, находя шееся у поверхности Земли, прил)М тягивается ею с силой Р =!у —, где М вЂ” масса Земли, ~~г А — ее радиус. С другой стороны, Р = пгд. Приравнивая М эти величины, найдем, что я = Π—,. Тогда ускорение сво- бодного падения у поверхности Земли: дз = б —, где М Мз 3 — 1~г » 3 з ч Яз — масса и радиус Земли. Ускорение свободного паМл дения у поверхности Луны: дл —- 0 —,, где Мл и Ял— г масса и радиус Луны.
Отсюда — = —,; ял =0,165дз. 8л Млгзз . Ыз 1~лМз 2,138. Как изменится период колебания Т математического маятника при перенесении его с Земли на Луну? Указание: формула для периода колебания математического маятника приведена в $12. Решение: Период колебания математического маятника: Т =2гг~ — . Я На Земле Т, =2л —; на Луне Тл =2гг ~ †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
