Книга 1. Решения задач из разделов 1-8 (509315), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Отношение Ыз К вЂ” —; значение — =0,165 было наидено в задаче Т, 5, 8'л Т, ~д,' Ыз Тл 2.137. Тогда л =2,46; Тл =2,46 Т„т.е. прн перенесении Т, математического маятника с Земли на Луну период его колебаний увеличится в 2,46 раза. 2.139. Найти первую космическую скорость т,, т.е. скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно начало двигаться по круговой орбите в качестве ее спутника.
128 Решение: Сила гравитационного взаимодействия между телом и блгМ Землсй Г=,, где лг — масса тела, М вЂ” масса и Земли и г — расстояние между ними. У поверхности Земли г равно радиусу Земли Я и Е =лгд. Тогда блгМ а=игр= —,. При движении тела вокруг Земли по Я круговой орбите сила гравитационного взаимодействия является центростремительной силой. Таким образом, лгт, Г = — '; отсюда первая космическая скоросп А г~ = ~ — =„/дЯ =7,9км!с.
~~М =~( = 2.140. Найти вторую космическую скорость ~„т.е. скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно .преодолело земное тяготение и навсегда удалилось от Земли. Решение: Для того чтобы тело удалилось от Земли, необходимо, чтобы кинетическая энергия тела была достаточна для преодоления гравитационной потенциальной энергии, т.е. лгг БтМ ОМ вЂ” > . - У поверхности Земли —, = д, т.к.
2 Я Я~ ОлгМ лгвг Г = лгд = —; поэтому — ' > тдК, откуда вторая кос(~г 2 мнческая скорость ~г >,/2уА =11,2 км(с. 2.141. Принимая ускорение свободного падения у Земли г равным я=9,80м(с и пользуясь данными табл. 5, составить таблицу значений первой и второй космических скоростей у поверхности планет Солнечной системы.
$ — Згбк 129 Решение: В двух предыдущих задачах были выведены формулы для нахождения первой и второй космических скоростей: ~, =~ЯЯ; ~, =./2ф~, где Я вЂ” радиус планеты, ускорение свободного падения вблизи поверхности. Причем д = 1сд,, коэффициенты х, как и радиусы планет, приведены в таблице 4 приложения. Исходя из этого, составляем таблицу: 2.142. Найти линейную скорость ч движения Земли по круговой орбите.
Решение: Линейная скорость движения по окружности т =вЯ, где в — частота вращения, А — расстояние до Солнца. 2л в = —, где Т вЂ” период обращения Земли вокруг СолнТ 2~Н ца. Отсюда в= —, ~=30км/с. Т 2.143. С какой линейной скоростью ю будет двигаться искусственный спутник Земли по круговой орбите: а) у поверхности Земли„б) на высоте Ь = 200 км и Ь = 7000 км от поверхности Земли? Найти период обращения Т спутника Земли при этих условиях. Решение: а) Сила притяжения Земли создает центростремительное У ускорение спутника, равное †, где А — радиус орбиты, 130 — (1). При /!=200 км отсюда тз =7,79км/с.
При /!=7000км кз =5,4бкм/с. Период обра2~т 2~Н щения спутника Т= —, и= —, отсюда Т= — — (2). О Я з! — Р); Т, = — ', Т, =1ч25 мин; Т, = 2Ы, 2 (Лз+/з!) 7 ! !у, Т =1ч28 мин; Т, = ' '-; Т, =4ч1б мин. 2л(Яз+/!,) !!з 2.144. Найти зависимость периода обращения Т искусственного спутника, вращающегося по круговой орбите у поверхности центрального тела, от средней плотности этого тела. По данным, полученным при решении задачи 2.135, составить таблицу значений периодоа обращений искусственных спутников вокруг планет Солнечной системы. 131 а к — скорость спутника. Если орбита проходит вблизи поверхности Земли, то спутник, как и любое другое тело у поверхности Земли, будет иметь ускорение, направленное к центру Земли д = — ', где Я вЂ” радиус Земли.
Отсюда скорость спутника вблизи Земли: !! = ЯЯ,; ч= 7,91м/с. .При движении по круговой орбите радиуса Я < Яз ускорение свободного падения убывает в отношении, обратном отношению квадратов расстояний от центра. Ускорение д на расстоянии Я от центра Земли найдем )~з по формуле: д!! = д —,. Тогда скорость движения А спутника по круговой орбите радиуса Я найдется из А Я, уравнения д„=д — = —, откуда к= ~я — '; Я=/!+Аз, я2 /~~ 1 л' Решение: Вблизи поверхности планеты спутник ведет себя так же, как и любое тело, на которое не действуют никакие силы, кроме сил гравитации.
Свяжем ускорение свободного падения со средней плотностью планеты. В соответствии с законом всемирного тяготения, тело массой т, находящееся у поверхности планеты, лгМ притягивается ею с силой Р=Π— где М вЂ” масса 2 Ф планеты, А — ее радиус. С другой стороны, Р= лгу. М Приравнивая эти величины, найдем, что д=0 —. Зная, Я~ 4 4 что М = ~' р = — Ю р, выразим д = — ОЮр — (1). 3 3 ' Воспользуемся уравнением (2) из предыдущей задачи для периода обращения спутника вблизи поверхности планеты: Т = 2лЯ / м — (2). Ускорение д = ~~ / Я, откуда ~ = ЯЯ . Подставим эту формулу в 12).
2Ы 2хЯ 13т Т вЂ” — — — ~= — . Взяв из таблицы, приве- /дА,~4БаЯрЯ /3 БР денной в задаче 2.135, значения средних плотностей планет р, вычислим значения периода обращения спутника и заполним таблицу: 2.145. Найти центростремительное ускорение а„, с которым движется по круговой орбите искусственный спутник Земли, находящийся на высоте Ь = 200км от поверхности Земли. 132 Решение: В задаче 2.143 была получена формула для вычислсния линейной скорости искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите на высоте А от ее поверхности: ~=~д — ' — (1), где Я, — радиус Земли, А — расстояние от спутника до центра Земли, т.е.
г Я = Я, + 1г . Центростремительное ускорение а = — или, с ээ з 2 учетом уравнения (1), а„= —, = .,; а„= 9,2 мыс . Юз Из, 2 Я (1~ +7~) 2,146. Планета Марс имеет два спутника — Фобос и Деймос. Первый находится на расстоянии г = 0,95.10" км от центра масс Марса, второй на расстоянии г =2,4 10" км, Найти период обрашения Т, и Т, этих спутников вокруг Марса.
Решение: Воспользуемся уравнением (3) и уравнением (1) из задачи 2.143: Т= м — (3), где Ям — радиус Марса, 2~г(пм + ' ) 7 Ям ч — линейная скорость спутника; з = д — (1). ~м+г г (я +АЙАГ~+.) Подставив (1) в (3), получим Т = !33 2 Т 2 (Я '")'. Т обращения второго . получим Т, = 31,2 ч. 2к(Н~ + г, ) ; Т, =7,8 ч. Для периода Имз спутника, рассуждая аналогично, 2.147.
Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток. На какой высоте Ь от поверхности Земли должен находиться этот спутник, чтобы он был неподвижен по отношению к наблюдателю, который находится на Земле? Решение: Для того чтобы спутник был неподвижен относительно наблюдателя на Земле, необходимо, чтобы его период обращения был равен периоду обращения Земли, т.е. 24 часам. Воспользуемся уравнениями (1) и (3), получения 2тг(Л, + Ь) ными а ааиаиа 2.143: а = Н~; Т =— (Я, +Ь) 2 (Я, +Ь)Д+Ь откуда Т вЂ” ' (1).
Выразим из (1) Ь: Подставив числовые значения, получим: Ь=б,38 10 = = 35890 км. 2.148. Искусственный спутник Луны движется по круговой орбите на высоте Ь = 20 км от поверхности Луны. Найти линейную скорость т движения этого спутника, а также период его обрашения Т вокруг Луны. Решение: Воспользуемся уравнением (3) и уравнением (1) из задачи 1т. 22г(Тс + ) 2.143: .= я —, Т= где Р. — радиус Л+г 22 Луны, см. таблицу 5 приложения; 8 =0,165д, (из задачи 2.137). Подставляя числовые данные, получим ~ =1,7 км/с и Т =1 ч 50 мин.
!34 2.149. Найти первую и вторую космические скорости для Луны (см. условия 2.139 н 2.! 40). Решение: В задачах 2.139 и 2.140 были выведены уравнения для нахождения первой и второй космических скоростей для Земли. 2!.= ЯЯ; 25 = /2дЯ. Подставив в них радиус Луны (таблица 5) и учитывая, что ускорение свободного падения на Луне связано с земным соотношением ял = 0,165дз, найдем искомые значения скоростей: к, = /О!656, Як,, =!!им!и и,=,/2 О!656, Як, 25, =2,4км/с.
2.150. Найти зависимость ускорения свободного падения д от высоты й над поверхностью Земли. На какой высоте Ь ускорение свободного падения дО составит 0,25 ускорения свободного падения д у поверхности Земли. Решение: блОМ У поверхности Земли имеем Р=лц= — (1), где д2 )т — радиус Земли. На высоте Ь от поверхности Земли ОтМ тяь =, — (2). Из уравнений (1) и (2) получим "= (Л+Ь)з з — — (3). Уравнение (3) дает зависимость — ' ю Я К'5! а =(Л+Ь)з Ы от высоты Ь.
Обозначим — "=и; тогда из (3) имеем К 5 (, л-~ уравнение Ь + 2М+ Я вЂ” — = 0 . Решая это уравнение, и Я находим Ь = — А+ —. Т. к. 6 должно быть больше нуля, ,Я 135 то надо взять решение со знаком плюс, т.е. н» = 0,25д на высоте, равной радиусу Земли. 2151, На какой высоте Ь от поверхности Земли ускорение Ъ свободного падения я» =1 мыс? Решение: В предыдущей задаче получена зависимость отношения 2 — от высоты Ь.
— = —, где А — радиус Земли. Я'» К» К а (А+ Ь) Выразим отсюда 1>: (А+ Ь) = —; Ь =А — -А. дА' й) Ы» Подставив числовые значения, получим Ь =13590 км. 2.152. Во сколько раз кинетическая энергия И'„ искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите, меньше его гравитационной потенциальной энергии И'„ ? Решение: лл Запишем выражения для И'„и И'„. И'„= — — 11); тМ И"„= -б — — 12). Здесь 1 — линейная скорость спутника; т — масса спутника; М вЂ” масса Земли; г— радиус орбиты спутника. Воспользуемся уравнением 11) из задачи 2.143: 1 = ~ — — 13), где А — радиус Земли, а дА А+А А+ Ь = > — 14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
