Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 21

П, 67Я +2,У гг ~ + г г 11 ги Угоагг Тогда г И'„.г,У,оог, т~Я+2У, и, Из уравнения (5) предыдущей задачи и, = тЯ~+ 21 1Р'„г тЯ + 2У и'„г тогда — "' =, -'; — г =1,05. 11'„., лЖ +21, Ю'„., 3.44. Человек массой лг, = 60 кг находится на неподвижной платформе массой т =100кг. С какой частотой л будет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом г=5м вокруг оси. врашения? Скорость движения человека относительно платформы го = 4км/ч. Радиус плат- 175 формы Л=10м. Считать платформу однородным диском, а человека †точечн массой. Решение: По законУ сохРанениЯ момента импУльса 1Уг +,У,) х з хв =ггпозо — 11), где Уг =гггог — 12) — момент инеРции 1 человека; Уз = — гггК вЂ” 13) — момент инерции плат- 2 формы, ггггоз о — момент импульса человека. Подставив г'2) и 13) в 11), получим (т г +1/2тЯ~)пг = ггггогго или ( г "тог'о тог +11 2гггЯ ~лап = ггггогго, откуда п = гг 2гггог'+тЯ Подставив числовые значения, учитывая, что з =1,1м/с, получим п =0,49обlмин.

3.45. Однородный стержень длиной 1=0,5м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальный оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т стержня, Решение: В данной задаче стержень является физическим маятниГ7 ком, его период малых колебаний Т = 2гг~ —, где,У— '1 ггггф момент инерции стержня относительно оси вращения, ггг= — — г'2) — расстояние от центра масс до оси 2 2 вращения. По теореме Штейнера .У =.Уо + гггог, где 1 г т1 ггг1 4т1 т1 Уо = — гн1, отсюда У вЂ” — + — — — — — г',3).

12 12 4 12 3 176 Подставив (2) и (3) в (1), ползучим Т =2т Эта Зд. Т = 1,1 б с. 3.46. Найти период колебания Т стержня предыдущей задачи, если ось вращения проходит через точку, находящуюся на расстоянии И =10 см от его верхнего конца.

Решение: Период малых колебаний стержня Т = 2ж х Ы т1 + — — тЫ+ тс! = — - тЫ(! - а1);,У = т — — оП+ г! 4 12 ~3 Тогда Т =2гг 1г /3- 1!+а~' д(1/2 — сК) 3.47. На концах вертикального стержня укреплены два груза. Центр масс грузов находится ниже середины стержня на расстоянии 1 =5сы.

Найти длину стержня 1, если известно, что период малых колебаний стержня с грузами вокруг горизонтальный оси, проходящей через его середину, Т = 2с. Массой стержня пренебречь по сравнению с массой грузов. Решение: Данная система является математическим маятником, для которого квадрат периода малых колебаний определяется по формуле: г г 'У Т- = 4гг- . Момент инерции такого (67~ + тг )ба маятника; У=! (и,+и,)/4.

Отсюда Т =4гггх т, 177 У х т (1/2 — а')у ;г +лг~--И~, где 1,2 По теореме Штейнера .У =,Ув + т! т1 У, = —. Отсюда .У= — + 12 12 12(т, + т2) 12 х ' ' = к †, откуда окончательно получим; 4(т, +и,) ~ф ~1я 1=Т ~фlи; 1=0446м, 3.48. Обруч диаметром 11 = 56,5 см висит иа гвозде, вбитом в стенку, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене.

Найти период колебаний Т обруча. Ггх лых колебаний Т=2~г — =2т —, где 1= — тх ~ а ~ 17~ ' 2 2 У=тЯ =т 4 М, = Аз, следовательно, Отсюда Т=2т 2л~.0з — =2ю —; Т=1,5с. 4лЫд '1( 2д 3.49. Какой наименьшей длины 1 надо взять нить, к которой подвешен однородный шарик диаметром 17=4см, чтобы при определении периода малых колебаний Т шарика рассматривать его как математический маятник? Ошибка Ю при таком допушении не должна превышать 1%. Решение: Период малых колебаний математического маятника Г Т, =2л ~ — — (1), период малых колебаний физического Ы маятника Т, = 2а —, где,У вЂ” момент инерции шарика ~/ тя1 относительно оси вращения, т — масса шарика и 1— расстояние от центра масс шарика до точки подвеса.

В 178 Решение: Центр масс находится в центре обруча, тогда период ма- нашем случае Л= — тЯ +т1 =т1 2 2 2 2 5 1+ —— Обозна- 2(1с1 чим А =1+ — ~ — ~, тогда У = Ат1'. С учетом этого полу- 5~11 1А Тг чим Т, =2х ~ — — (2). Из (1) и (2) имеем — '= ГА. Ы Т, Ошибка, которую мы делаем, принимая подвешенный шарик за математический маятник, будет Б= 1; 1+ — ~ — ~ =(1+6)', или 2(Я1 51,1~ Т, г.==-1= ~А -1; отсюда А = Т, — — — (11+6) — 1~ — (3). По условию 6<0,01. Под- Я 51 1 2 Я 17 ставляя в (3), получим — <0,0224. Так как Я = — =0,02 и, 2 то предельное расстояние от центра масс шарика до точки подвеса 1>0,089м, а предельная длина нити 1=1-Я; Е=0069м.

Решение: Период малых колебаний данного физического У .маятника Т, = 2т~ . Период малых ~т2йд колебаний математического маятника 179 3.50. Однородный шарик подвешен на нити, длина которой 1 равна радиусу шарика Н. Во сколько раз период малых колебаний Т, этого маятника больше периода малых колебаний Т, математического маятника с таким же расстоянием от центра масс до точки подвеса? Т, =2к~/21~~~. По теореме Штейнера .У=,УО+т(2Я), где .У = — >пК, отсюда У =-тЯ +4тЯ = 4,4тЯ . Тогда 2 2 2 2 2 5 5 4 4тйг 2 2Я Т, 2л ~/2 2Я~~д = 2л' — '; — ' = — '= .

После 2 Яа ~ а т, г./~~гя подстановки — =1,05 . т, 7~ ф 4. Мехпникп жидкостей и газов В задачах этого раздела используются данные таблицы. 11 из приложения. Прежде чем приступать к числовым расчетам, необходимо представить все величины в единицах системы СИ. 4.1. Найти скорость ! течения углекислого газа по трубе, если известно, что за время / = 30 мин через поперечное сечение трубы протекает масса газа и = 0,51 кг. Плотность газа р = 7,5 кг/м'. Диаметр трубы О = 2 см. Решение: За время г через поперечное сечение трубы проходит некоторый объем газа цилиндрической формы (масса этого /7 з объема газа нам известна).

~' = л — / = — — (1). Скорость 4 р течения углекислого газа ! = //г. Из уравнения (1) найдем 4т 4гп 1= —,, тогда ! =,; ! =0,12м/с. лВ р лй р/™ 4.2, В дне цилиндрического сосуда диаметром /7 = 0,5 и имеется круглое отверстие диаметром Н =1см. Найти зависимость скорости понижения уровня воды в сосуде от высоты /г этого уровня. Найти значение этой скорости для высоты й = 0,2 и. Решение: 3 3 ру! ргъ 1 По теореме Бернулли — +щЬ, == или ! +2дЬ= 2 2 ! з = !!~ — (1), где !, — скорость понижения уровня воды в сосуде, !:, — скорость вытекания воды из отверстия.

В 'А силу неразрывности струи т!о! = !!з5~, откуда !!1 =— Ьз (2), где Я! — площадь поперечного сечения сосуда, Яз— 181 площадь поперечного сечения отверстия. Подставляя (2) в Я 4220 иП иУ« (4), илу«и«у,= ' .Та «а У,= — «У,= —, о2 о2 ' 4 «1 4 /242 Ф о ц = . Поо ол~«у 4~ (<П', то т, —,,~224. П' — 2' /у' При /з = 0,2 м скорость т, = 0,8 мм/с.

4.3. На столе стоит сосуд с водой, в боковой поверхности которого имеется малое отверстие, расположенное на расстоянии /2, от дпа сосуда и па расстоянии /22 от уровня воды. Уровень воды в сосуде поддерживается постоянным. На каком расстоянии / от сосуда ( по горизонтали) струя воды падает на стол в случае, если: а) /2, = 25 ем, /22 =1бси; б) /2, =16см, /22 =25см? Решение: 2 2 По теореме Бернулли — +щ/з, = — или зу, +2фз= /.яу! «О~ 2 2 2 2 =и, — (1), где 2, — скорость понижения уровня воды в сосуде, к„— скорость вытекания воды из отверстия.

По условию 2, = О, тогда к, = з/2д6, . Высота Ь, = — . Откуп/з 2 да время / = ~2Ь, У н, тогда расстояние 2=44«лл,уи =2«тт,л; 2=04 ° . 4,4. Сосуд, наполненный водой, сообшается с атмосферой через стеклянную трубку, закрепленную в горлышке сосуда. Кран К находится на расстоянии /2, = 2 см от дна сосуда. Найти скорость к вытекания воды из крана в случае, если расстояние между ни'кннм концом трубки и дном сосуда: а) /г, =2 ем; б) /г, = 7,5 см; в) /2, =1О см. !82 Решение: По закону сохранения энергии Н~ч = И'„., где О"„= п~дЛЬ = >щх х (6, — 6,) — потснциальная энергия водного столба над краном. лп /» И'„ = — — кинетическая энергия 2 !ЛУ 2 вьггекающей воды. тд(Ь -Ь,)= —, 2 ««~««» =2»(»,— »,! и = /»»»«,— »,!.

«» пр Ь, = 0,02 м, /г, = /1,, следовательно, ЛЬ = 0 и т = 0. б) При Ь, =0,075м, т=1,04м/с. в) При /г, =0,1 м, » =1,25м/с. 4.к. Цилиндрической бак высотой /» =1м наполнен до краев водой. За какое время г вся вода выльется черсз отверстие, расположенное у дна бака, если площадь 5, поперечного сечения отверстия в 400 раз меньше площади поперечного сечения бака? Сравнить это время с тем, которое понадобилось бы для вытекания того же объема волы, еслп бы уровень воды в баке голдерживался постоянным иа высот /» = 1 и от отверстия. Решение: В задаче 4.2 была получена формула, выражагощая ско», г«, рость понижения уровня воды в баке 1, == ' . Здесь Я; — »; х — переменный уровень воды в баке.

За время й уровень воды в баке понизится на », /2» »Ь = т с/т = »!хш . Решаем это уравнение: 52 ~2 Подставив числовые данные, получим т = 3 мин. 183 4.б. В сосуд льется вода, причем за единицу времени наливается объем воды 1'; = 0,2 л/с. Каким должен быть диаметр Ы отверстия в дне сосуда, чтобы вода в нем держалась на постоянном уровне Ь = 83 см? Решение: Чтобы вода в сосуде была на У постоянном уровне, необходимо, чтобы за одинаковые промежутки времени втекало и вытекало одинаковое колир' /о ,,~::~~~4 ..'.;~~~~~~~ /, чество воды.