341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 76
Текст из файла (страница 76)
— Т, сояа! + Тгсояаг = О. Так как сова! сояаг 1, то отсюда выводим равенство Т! = Тг = Т. Следовательно, вертикальная составляющая сил натяжения дается выражением Те!наг — Тя!па! и сумма всех сил Еы, м„действующих на участок М,Мг, равна Ем,м, = Т(я!пах — жпа!) + Р(х, 1)Ьх. Но в момент времени ! а = а(х) = асс!пи'„а потому я!пах яп!а! я!па(х! + Ьх) я!па(х!) = сова(х! + 9 гдх)(а(х! + гдх) — а(х!)) = = сова(х! +бах)(агс!би',)',! я д Ьх = (О<В<1, О<В! <и.
524 Ответы и указания При наших предположениях сова(хг +дух) 1 и (и,') ~,, в О. Таким образом, ГМ1м Т г Ьх + Р(х 1) Ьх (В) дги(хс + 61 Ьх, 1) С другой стороны, считая участок М1Мг материальной точкой (при до- статочно малом Ьх), имеем дги гм,м, — Рьхх. (ьь) Приравняв согласно закону Нькпона выражения (э) и (ьь) и переходя к пределу при Ьх -+ О, для искомой функции и(х, г) получаем дифференциальное уравнение и,", = — и,", + -Р(х, 1). ~> 16.2. Найти функцию и(х, г), определенную при 0 < х ( 1, и 0 ( 1 < +ос, являющуюся решением уравнения дги г дги 1 — = а — + -Г(х, г) д1 дх (аг = Т/р, Т вЂ” натяжение струны, р — плотность струны, Г(х, 1)— плотность распределения внешних сил) и удовлетворяющую условиям и(0, 1) = и(1, 1) = 0 (граничные условия), и(х, 0) = ~р(х), (начальные условия).
ди(х, 0) д1 16.3. Найти функцию и(х, г), определенную при 0 < х < 1 и 0 < 1 < дги гдги г г Т < + ос, являющуюся решением уравнения — = аг — ~аг = —, Т— дтг дхг ~ р натяжение, р — плотность струны) и удовлетворяющую условиям и(1,1) =О, (граничные условия), ди(0, й) дх и(х, 0) = ~р(х), (начальные условия). ди(х, 0) дг Ответы и указания 525 Указание. Граничное условие при х = 0 получить из отсутствия на атом конде внешней силы и, следовательно, равенства нулю силы натя- ди(0, ~) женин Т, пропорциональной ' .
16.4. Напряжение и(х, $) и сила дх тока ((х, 1) в точках линии в любой момент времени г должны удовле- творять волновому уравнению да (х,~) д' (х,С) ( )д (х'С) ЛС ) дхт д~т + + дС + з Рассматриваем двухпроводную линию как систему равномерно распределенных индуктивностей, сопротивлений, емкостей и утечки Ркс. 50 (см.
рис. 50). Согласно первому закону Кирхгофа (алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю) имеем г(х, с) — г(х+ Ьх, с) = С Ьх — + С Ьхи(х, г), ди дп где С Ьх — — ток через конденсатор, а С Ьхи(х, г) — ток утечки. Раз- дх делив это равенство на Ьх и переходя к пределу при Ьх -ь О, получим уравнение дг(х, с) ди(х, г) Далее, согласно второму закону Кирхгофа падение напряжения и(х, г) на участке между х и х+ Ьх состоит из падения напряжения на индуктив- д((х, с) ности ЬЬх и из падения напряжения на сопротивле- дс Ответы и указания 526 нии ССС5хС(х, С), т.е.
и(х, С) — и(х+ Ьх, С) = С Ьх + СССьхС(х, С). дС(х, С) Разделив на Ьх и переходя к пределу при Ьх — > О, получим уравнение ди(х, С) дС(х, С) (эв) Уравнения (*) и (**) называются уравнениями длинной линии. Исключая из зтих уравнений С(х, С), приходим к уравнению д~и д~и ди — = ЕС вЂ” + (ЬС + ВС) — + СССи, дхг дСг дС (в в в) а исключая и(х, С) — к уравнению д21 дг( дС вЂ” = Х,С вЂ” + (ЬС+ ССС) — + НОС. дхг дСз дС (в в в в) Уравнения (* в *) и (* * л *) называют также телеграфными уравнениями.
с 16.5. Найти функции и(х, С) и С(х, С), определенные при 0 < х < < + со и 0 < С < +со, являющиеся решениями уравнения д в(х, С) д~ю(х, С) дхг дСг и удовлетворяющие условиям (начальные условия), и(0, С) = Ео, (граннчные условия) и(+оо, С) = С(+со, С) = О (условия при х = +со следуют из физических соображений).
16.6. Найти функцию и(х, С), являющуюся решением уравнения и(х, 0) = у(х), С(х, 0) = ф(х) ди дги — =а— дС дхг Ответы и указания 527 и удовлетворяющую условиям и(х, 0) = ио (начальное условие) и(0, 1) = ио, (граничные условия), и',(1, 1) + у[и(1, г) — ср(г)] = 0 где 7 — коэффициент теплообмена между стержнем и средой.
У к а ван- нее. Для получения граничного условия при х = 1 заметим, что коли- чество теплоты, проходяшей через конец стержня за время Ьг, равно ди Ьд = -Iс — Я гз|, где Я вЂ” площадь поперечного сечения стержня, а дх,, й — коэффициент теплопроводности материала стержня. С другой сто- роны, Ьд пропорционально произведению разности температур и(С 1)— — <р($) на площадь Я и на времн Ьг, т.
е. сну = 6[и(1, т) — ~р(г)]з' гзг, где я ) 0 зависит от качества теплоизоляции конца стержня от окружающей Ь среды. Сравнивая оба выражении для Ьд и обозначая т = —, приходим й' к написанному граничному условию. 16.7. Пусть система координат вы- брана так, что ось Ог параллельна образующей. Область, ограниченную кривой Ь в плоскости Оху, обозначим через О.
Найти функцию и(х, у), которая длн всех точек М(х, у) Е Р удовлетворяет уравнению дги дги — + — =О, дхг дуг т. е. нвляетсн гармонической в области О, а на границе области, т. е. на кривой Ь, удовлетворяет условию и(х, у)[ = у(х, у), где у(х, у) — заданная на Е непрерывная функция. Для установивди шегосн теплового процесса — = О. 16.8. Гиперболический, и~' — — О.
д1 4я 16.9. Параболический. Выбирая С(х, у) = 2х — у и п(х, у) = х, после преобразования получаем уравнение и"„+ Зи'„= О. 16.10. Эллиптический, и'„'„+ и'„', = О, где р(х, у) = — Зх — у = Пес(х, у) и и(х, у) = 2х = = 1ш((х, у). 16.11. Параболический. Выбирая ~ = /у — ~/х и ц = х, дти после преобразования получаем уравнение — = О. 16.12. ПараболичедЧ2 528 Ответы н указания ский. Выбирая ( = хг + уг, О = х прн б ф г1~, т. е. при у ф О, получаем 2( дг„ уравнение и" + и' = О. При у = 0 имеем уравнение — = О, а чч ~,г с О г при х = 0 — уравнение и'„', = О.
16.13. В области Р = ((х, у)(х ф О, у ф ф 0) гиперболический, и „вЂ” г и — и„= О. ри х = 0 нли у = 0 параболический. 16.14. В области Р = ((х, у)!х > > О, у > 0) эллиптический, и~с + и'„'„= О. При х = 0 или у = 0 параболический. 16.15. Гиперболический, и~'„— — О. 16.16. В области 1 Р = ((х, у)!х ф О) гиперболический, и" — (и' — и'„) = О. б(с — О) При х = 0 параболический.
16.17. В области Р = ((х, у)(х ~ О) эллиптический, и" + и" + — и' = О. При х = 0 параболический. зу " 16.18. Параболический. Выбирая с(х, у) = у/х и г!(х, у) = у, после преобразования получаем уравнение и'„'„(б, г!) = О. 16.19. и(х, у) = = ~р(4х — у) + Ф(х — у), где !г(и) н гу(и) — произвольные дважды дифференцируемые функции.
г Выбирая Ях, у) = 4х — у и г!(х, у) = х — у, приводим уравнение к виду и~ — — 0 (см, задачу 16.8), последовательно интегрируя которое, находим и~ — — !ао(б) н и(я, г!) = / яго(4) ~К + + ь(у) = чг(у) + г(г(гг). Подставив сюда выражения для б(х, у) и у(х, у), получим искомое решение. 16.20.
и(х, у) = ф(2х — у)е г*+ у(2х— — у), где ~р(и) и Ф(и) — произвольные дважды дифференцируемые функции. 16.21. и(х, у) = хсг( /у — ~/х) + Ф( /у — ~/х), где !г(и) и Ф(и)— произвольные дважды дифференцируемые функции. 16.22. и(х, у) = = Ф(у — х+соях)+Ф(у — х — соях), где Ф(и) н Ф(и) — произвольные дважды дифференцируемые функции. 16.23. и(х, у) = сг ~ — г! у + !У ~ — г!, ~х~ х где у(и) и Ф(и) — произвольные дважды дифференцируемые функции. х ебп х соя аг — аг соя х я!и а! 16.24.
и(х, 1)— хг аз1г х я1п х соя а1 — ат.соя х я!и а! 1 1 + (х + а!)г 16.25. и(х, г)— + — !и хг агат 4а 1+ (х — аг)г 1! х+! х — ! 16.26. и(х, 1) — — ~ г + г + сйпхсбпг. 2 (1+ (х+ г)г 1+ (х 1)г 1 2 (1+ (х+ !)г 1+ (х — 1)г Ответы и указания 529 -С- (х ь С)т 16.28. и(х, С) = е С* +' ) сЬ 2хС+ — !п Х2 12 1 1 4 1 + (х — С)т 16.29. Если О < С < —, то 2а' 1 -(х+ аС) 2 1 — аС 21 — х и(х, С) = 1 С вЂ” -(х — аС) 2 О 1 -(х+ аС) 2 1 1 — -(х+ аС) 2 С вЂ” аС и(х, С) = 1 -(х+ аС) 2 1 С вЂ” -(х — аС) 2 О Если — < С < +со, то а и(х, С) = Если — < С < — то 2а а' 1 -(х + аС) 2 1 С вЂ” -(х+ аС) 2 1 2 -(х — аС) 1 С вЂ” -(х — аС) 2 О при — аС < х < аС, при аС<х<С вЂ” аС, при 1 — аС < х <1+аС, при 1+аС<х< 21 — аС, при 21 — аС < х < 21+ аС, при остальных х. при -аС <х <1 — аС, при 1 — аС<х<аС, при аС<х< 21 — аС, при 21 — аС < х < С+ аС, при С+ аС < х < 21+ аС, при остальных х.
при — аС < х <1 — аС, при 1 — аС<х<21 — аС, при аС < х < С+ аС, при С+аС < х < 21+аС, при остальных х; Ответы и указания 530 х +— (И= 2 5 1 -1 — -х 4 2 0 прн остальных х; при — 1<х<0, при 0<х<1, при 1<х<21, при 21 < х < 31, прн остальных х. у к а за н и е. рассмотреть случаи различного возможного расположения значений х — аС и х+ аС на оси х, а именно: если х — аС < О, то х + аС может лежать в промежутках (-оо, 0) (О, 1), (1, 21) и (21, +со); если 0 < х — аС < 1, то точка х + аС может лежать в промежутках (О, 1), (1, 21) и (21, +ос); если 1 < х — аС < 21, то точка х + аС может лежать в промежутках (1, 21) и (21, +со); если 21 < х — аС < +ос, то и х + аС Е Ь Е (21, +ос). 16.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
