341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 75
Текст из файла (страница 75)
+ Л Л = — 2г РешениЯ нет. 15.143. У(х) = с18 х + — Л, Л Е К. 15.144. ПРи 1 Ггг Л пЛ Л ~ 1 у(х) = + . 15.145. у(х) = совх+ — япх, тГГà — хг 8(1 Л) ' ' ' 2 2 3 1 Л Е К. 15.146. При Л ~ —, -у(х) = явах+ х х, при Л =— 2' 2 2 ' 2 3 3 3 ,Гз у(х) = яплх+ — х+С, при Л = — решения нет. 15.147. При Л ф х— 2х ' 2 2 1 3 Л 7' 2 Л тГГЗ у(х) = — + -х+ ((1+2Л)х+1+ -Л), при Л = х — реше- 22427, 3)' 2 3 2 2Л 2 ния нет.
15.148. При Л ф х — у(х) = 1— япх, при Л =— а Ла 7Г 1+— 2 у(х) = 1-япх+Ссовх, при Л = — — решения нет. 15.149. Л„= — х пг, 2 г г л 7Г2 2, 2п+ 1 у = япхпх, и е И. 15.150. Л„= — — (2Й+ 1)2, у„= япх — х, 4 2 и = О, 1, 2,... 15.151. Л„= -в72, где аг„— корни уравнения м = 7'2п+ 1Л = с18м, у„= совы„(х — 1), п Е И. 15.152. Л„= — 1+ ~ )' 2п+ 1 Г'2п+ 1Л у„= яп х, п = О, 1, 2,...
15.153. Л„= 1 — ( — ), у„= 2и+ 1 = сов — х, и = О, 1, 2,... 15.154. Л„= 1 — пап~ у„= вгп77пх, и Е И 15155 Л 1 пгпг у = япзпх, и Е И. 15.156 Ле — — 1, уо — — 1; Л„= 1 — 4и, у„= СГ сов 27Гх+ Сг як2хх, п Е И. 15.157. Л„= = 1+ в72, где ог„— корни уравнении м = с182м, у„= соввг„х, п Е И. 15.158. При Л ф Л„= — 77гпг, и Е И, 1 4 яп х(2)Г + 1)х у(х) = 1+ Л~ ( ) 1 Л2 Л„, Л (29+1) приЛ=Лг„„тпЕИ, у(х) = 1+ Лг„, ~~ + С яп 2птпх; 1 4япх(21+1)х 2/с-Гг гт 7Г( + ) в=о при Л = Лг ГГ, ог = О, 1,... решения нет. 15.159.
При Л ф Л„ Ответы и указания 520 г'2п+1л [, 2 ) у(х) = в!п гх сов — х — Л л г — — решения нет; при Л = Л„, 4 л и 1 1, гг 1 1, Зл у(х) = в4п пх соа — х — Л„ + — еЗп — х+ — в4п — х + 2 " л.г 2 2 9пг 2 2 Л +— 4 Л +— 4 л(2п+ 1) + Сз!п х. 15.160.ПриЛ~Л„=1 — !Л ),п=0,1,2, /2п+ 1лг 2 ) ' )2 1' ч ~! л (2п+1у 2и+1 у(х) = х — гг + Л у сов Л вЂ” Л„2 х! при Л = Л„решения нет.
15.161.При Л = Л„= 1 — 4лгпг, и = О, 1, 2, ..., у(х) = (1 — Л); при Л = Ла = 1 решения нет, при Л = Л„, и Е 74, 1 у(х) = + Сг сов 2пх + Сг з!и 2пх. 15.162. ') — 3,1459, — 3,0518, — 2,9692, — 2,8983, — 2,8387, — 2,7903, -2,7527, -2,7257, -2,7088, -2,7015, -2,7033, -2,7137, -2,7321,-2,7577, — 2,7900, — 2,8282, — 2,8715, — 2,9193, — 2,9707, — 3,0247, — 3,0811. ') Ответы к задачам 15.1б2-15.154 приводятся в виде значений функции у(х) в точках отрезна [О, 1], выбранных с шагом гЛх = 0,05, т.е.
ул = у(хл) = = у(УсгЛх), Гс = О, 1,, 20. При решении зтих задач метадалг конечных сумм, либо моментов следует сравнить значения полученного решения с приведенным в точках вида хл = Ус. 0,05, Гс = О, 1, ..., 20. г приЛ=Ло = — — иЛ= 4 п = 2, 3, ... 1 г +— 4 1, гг 1 1, 3гг — еЗп — х + ° — в!и — х 2 2 9лг 2 2 Л+— 4 Ответы и указания 521 15.163. -4,3533, -4,3578, -4,3631, -4,3688, -4,3747, -4,3806, -4,3863, -4,3914, -4,3956, -4,3985, -4,3998, -4,3988, -4,3950, -4,3877, -4,3759, -4,3585, -4,3341, -4,3008, -4,2563, -4,1974, -4,1198. 15.164. 0,5335, 0,3333, 0,1614, 0,0109, — 0,1233, — 0,2448, — 0,3566, — 0,4608, — 0,5594, -0,6535, -0,7444, -0,8332, -0,9209, -1,0082, -1,0959, -1,1848, -1,2758, -1,3695, -1,4668, -1,5688, -1,6765.
15.165. 63,0353, 63,9561, 64,8184, 65,6236, 66,3731, 67,0681, 67,7100, 68,2999, 68,8388, 69,3277, 69,7680, 70,1604, 70,5058, 70,8054, 71,0600, 71,2707, 71,4384, 71,5642, 71,6409, 71,6940, 71,6998. 15.166. 1,0000, 1,0135, 1,0172, 1,0111, 0,9955, 0,9709, 0,9376, 0,8963, 0,8476, 0,7921, 0,7306, 0,6641, 0,5933, 0,5192, 0,4428, 0,3651, 0,2870, 0,2096, 0,1340, 0,0610, -0,0083. 15.167. 0,0000, 0,2209, 0,4469, 0,6780, 0,9142, 1,1557, 1,4025, 1,6546, 1,9121, 2,1751, 2,4436, 2,7176, 2,9972, 3,2825, 3,5734, 3,8701, 4,1726, 4,4809, 4,7950, 5,1150, 5,4410. 15.168.
0,3123, 0,2985, 0,2796, 0,2555, 0,2264, 0,1925, 0,1539, 0,1111, 0,0641, 0,0134, — 0,0407, — 0,0978, — 1,1575, — 0,2192, — 0,2827, — 0,3472, — 0,4125, -0,4780, — 0,6076, — 0,6708. 15.169. 2,4334, 2,3247, 2,1981, 2,0532, 1,8890, 1,7072, 1,5056, 1,2843, 1,0430, 0,7813, 0,4988, 0,1951, — 0,1303, — 0,4778, — 0,8480, — 1,2413, — 1,6584, — 2,0997, — 2,5659, -3,0576, -3,5754.
15.170. -1,1130, -1,0644, -1,0122, -0,9562, -0,8963, — 0,8322, — 0,7639, — 0,6910, — 0,6134, — 0,5308, — 0,4431, — 0,3500, — 0,2513, — 0,1466, — 0,0358, 0,0815, 0,2056, 0,3369, 0,4755, 0,6220, 0,7766. 15.171. 0,9897, 0,9686, 0,9376, 0,8970, 0,8469, 0,7879, 0,7202, 0,6446, 0,5617, 0,4722, 0,3768, 0,2763, 0,1719, 0,0643, — 0,0455, — 0,1565, — 0,2675, -0,3777, -0,4860, -0,5914, -0,6929.
15.172. -0,1988, -0,1636, -0,1312, — 0,1016, — 0,0744, — 0,0497, — 0,0273, — 0,0071, 0,0110, 0,0270, 0,0410, 0,0530, 0,0630, 0,0711, 0,0774, 0,0818, 0,0842, 0,0848, 0,0834, 0,0802, 0,0750. 15.173. 0,8313, 0,8287, 0,8039, 0,7577, 0,6912, 0,6062, 0,5048, 0,3894, 0,2629, 0,1281, — 0,0116, -0,1528, — 0,2922, — 0,4265, — 0,5526, — 0,6672, — 0,7678, — 0,8518, — 0,9172, — 0,9623, — 0,9859. 15.174.
— 2,0000, -2,0579, -2,1294, -2,2145, -2,3133, -2,4257, -2,5517, -2,6913, -2,8446, -3,0114, -3,1920, -3,3861, -23,5938, -3,8152, -4,0502, -4,2988, -4,5610, -4,8369, -5,1263, -5,4294, -5,7462. 15.175. -2,8204, -2,7112, -2,5946, -2,4700, -2,3366, -2,1938, -2,0408, -1,8768, -1,7009, -1,5122, — 1,3096, — 1,0922, — 0,8587, — 0,6050, — 0,3388, — 0,0497, 0,2607, 0,5939, Ответы и указания 522 0,9518, 1,3351, 1,7488.
15.1Т6. 4,7481, 4,9997, 5,2563, 5,5178, 5,7844, 6,0560, 6,3326, 6,6142, 6,9008, 7,1924, 7,4890, 7,7906, 8,0971, 8,4087, 8,7252, 9,0468, 9,3734, 9,7050, 10,0416, 10,3832, 10,.7297. 15.1 7Т. 9,0000, 9,6196, 10,4009, 11,3784, 12,5934, 14,0952, 15,9423, 18,2048, 20,9659, 24,3244, 28,3977, 33,3252, 39,2718, 46,4331, 55,0407, 65,3683, 77,7398, 92,5376, 110,213, 131,300, 156,4264. 15.178. — 0,7005, — 0,5713, — 0,4441, — 0,3191, — 0,1964, — 0,0760, 0,0420, 0,1574, 0,2702, 0,3804, 0,4878, 0,5923, 0,6938, 0,7924, 0,8879, 0,9802, 1,0693, 1,1552, 1,2376, 1,3167, 1,3923. 15.179. 2,0380, 1,8073, 1,5597, 1,2958, 1,0164, 0,7219, 0,4131, 0,0909, — 20,243, -0,589, — 0,945, — 1,310, — 1,682, — 2,059, — 2,440, -2,821, — 3,200, — 3,574, -3,939, — 4,290, — 4,6216.
15.180. 0,0000, 0,0501, 0,1004, 0,1517, 0,2027, 0,2556, 0,3076, 0,3625, 0,4151, 0,4717, 0,5247, 0,5823, 0,6349, 0,6926, 0,7443, 0,8008, 0,8508, 0,9053, 0,9535, 1,0059, 1,0499. 15.181. 1,0000, 1,1550, 1,3207, 1,4969, 1,6862, 1,8859, 2,1029, 2,3292, 2,5790, 2,8354, 3,1245, 3,4152, 3,7512, 4,0800, 4,4708, 4,8389, 5,2909, 5,6921, 6,2067, 6,6194, 7,2710.
15.182. -1,0000, -1,0087, -1,0196, -1,0398, -1,0515, -1,0674, -1,0692, -1,0641, -1,0452, -1,0042, -0,9569, -0,8761, — 0,8027, — 0,6992, -0,6154, — 0,5200, -0,4442, — 0,3751, — 0,3108, — 0,2539, — 0,1807. 15.183. 10,0000, 11,0564, 11,6033, 12,5516, 13,1184, 14,0373, 14,5906, 15,4312, 15,9774, 16,7572, 17,3502, 18,1492, 18,8795, 19,8175, 20,7997, 22,0172, 23,3845, 25,0395, 26,9496, 29,2271, 31,8675. 15.184. 0,2500, 0,3279, 0,4112, 0,5029, 0,6005, 0,7127, 0,8301, 0,9712, 1,1155, 1,2966, 1,4771, 1,7136, 1,9427, 2,2555, 2,5495, 2,9672, 3,3491, 3,9123, 4,4129, 5,1786, 5,7222. Глава 16 дти(х, й) дти(х, 1) 1 16.1. т' = а т + -Е(х, С), где и(х, С) — отклонение точки струны с абсциссой х от положения равновесия в момент времени 1, ав = Т!р, р — плотность струны, Р(х, г) — плотность распределения действуюших на струну внешних сил.
<З Пусть сг = а(х, 1) — острый угол между осью абсцисс и касательной к струне в точке с абсциссой х в момент времени й Условие малости колебаний означает, что величиной Ответы и указания 523 г дк а (х, 1) можно пренебречь, а потому имеем я!па а, сояа 1, — = ' дх = !да а. Длина любого участка МгМг струны в момент времени ! выражается формулой я2 г ~М!Мг~ = 1+ — !1х, т1 г /д ! атаккак ~ — ! аа О то )МгМг! хг — х! —— Ьх. Согласно второму закону Ньютона сумма всех сил, действующих на участок струны МгМг, равна по величине и по направлению вектору ускорения этого участка, умноженному на его массу.
Вычислим все силы, действующие на этот участок. Плотность распрепеления внешних сил обозначим через Р(х, 1), тогда внешняя сила, действующая на МгМг, равна г(х, 1)Ьх. Далее, силы натяжения Т! и Тг, действующие на концах М! и Мг, направлены по касательным к дугам в соответствующих точках. Из малости колебаний и из того, что равнодействую- щая атих сил вызывает только вертикальные перемещения, заключаем, что горизонтальная составляющая равнодействующей равна нулю, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
