341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Если 0 < С < —, то 2а' при — оо < х < — Ь вЂ” аС и при Ь+ аС < х < +ос, 1 --(х + аС + Ь) 2 — аС и(х, С) = 1 -( — х+ аС+ Ь) 2 1 -(х+ 1) 2 1 -(1 — х) 2 1 -(х — 1) 2 31 х 2 2 О при — — <х < —, 2 2' 31 при — < х <— 2 2' 31 51 при — < х <— 2 2' при — Ь вЂ” аС ( х ( аС вЂ” Ь, при аС вЂ” Ь<х< — аС, прн — аС < х < аС, при аС<х<Ь вЂ” аС, при Ь вЂ” аС < х < Ь+ аС. Ответы и указания 531 при — оо < х < — Ь вЂ” а1 и при Ь+ а1 < х < +со, 1 — -(х + а1+ Ь) 2 1 -(х+ а1 — Ь) 2 и(х, 1) = 1 -(х — а1+ Ь) 2 1 -( — х + а1+ Ь) 2 Ь При 1 > — имеем а при — оо < х < — Ь вЂ” а1 и при Ь+ а1 < х < +со, 1 — -(х+ а$+ Ь) 2 1 2 -(х+ а$ — Ь) 0 1 -(х — а1+ Ь) 2 1 -( — х+ а1+ Ь) 2 и(х, 1) = при х б — оо, — — ( ( —, +ос 1' ЗЬ Ь1 при хЕ ~- — — — ) 2' 2)' / Ь Л1 при х6 ~ — —, -1, 2' 2/' при хŠ— х+— — х+ Ь Ь Если — < 1 < — то 2а а' при -Ь вЂ” а1 < х < — а1, при -а1 < х < а1 — Ь, при -Ь+а1<х < Ь вЂ” а1, при Ь вЂ” а1 < х < а1, при аФ < х < Ь+ аЬ при — Ь вЂ” а1 < х < — аФ, при — ас < х < Ь вЂ” а1, при Ь вЂ” а1 < х < а1 — Ь, при а1 — Ь < х ( ас, при а1 < х < Ь+ аи Ответы и указания 532 при х Š— оо, — — () —, +оо / 76 ЗЬ'1 при хЕ( — — — — ) 4' 4)' / 36 ЬЧ при х Е 1- — --) 4' 4)' С' Ь Ь'1 при хЕ ~ — — -) 4'4)' при хЕ 0 — х+— х —— 1 61 х+ -) 2 4) 1 761 х+ 2 4) У к а з а н и е.
Рассмотреть случаи различного возможного расположения значений х — аС и х + аС: если х — аС < — Ь, то х + аС может лежать в промежутках ( — оо, -6), (-Ь, 0), (О, 6) и (Ь, +ос); если — Ь < < х — аС < О, то х+ аС может лежать в промежутках ( — Ь, 0), (О, 6) и (Ь, +со); если 0 < х — аС < Ь, то х+ аС может лежать в промежутках (О, 6) и (Ь, +оо); если Ь < х — аС < +со, то и х+ аС Е (Ь, +оо). 1 — в! и х в1 и аС, 16.31.
и(х, С) = -(1 — совхсоваС), 0 < х < аС. 2 аС<х<+оо, (х+ аС)т 1 + (х + аС)т 1 + (х + аС)т (х — аС)т при х>аС, + (х — аС)т (аС вЂ” х) 16.32. и(х, С) = при 0 <х<аС. 1+ (х+ аС)т 1 + (аС вЂ” х)т 16.33. и(х, С) = — 1и 1 1+ (х+ аС)т 4а 1+ (х — аС)т 1 1+ (х+ аС)т 16.34. и(х, С) = — (и + 4а 1+ (х — аС)т (х + аС)т (х — аС)т (х+ аС)т 1+ (х — аС)т при 0<х<аС, 1+ (х+ аС) (х — аС)т 1+ (х+ аС)т 1+ (х — аС)т + при х > аС. 16.35. и(х, С) = е С* +' ' 1сЬахС+ < 1 -(1 — совхсоваС) при 0 < х < аС, + а 1 — в4п(х) в1паС при х > аС.
а Ответы и указания 533 16.36. Если 0 < ~ < †, то а гх па1 вгп — савв и(х г) = — вгп — (х — аг) 2 1 0 при 0(х<1 — а1, при 1 — аг < х ( 1+ а1, при Г+а1< х <+ос. при 0<х<а1 — 1 и при 1+аг < х <+ос, и(х, 1) = 1, гг — яп -(х — а1) 2 ~/2, тх — — з!и— 2 при а1 — 1 < х < а1+ Е при 1, т гг Г~ — — яп — ~х — -! при 2 1~, 4/ при ~/2, ггх — — яп— 2 при з~~ 4 ) соз ~х ( при 4а) 2 ~ ~, 4( при 16 37. Если 0 < 1 < —, то а 0 < х < 1 — а1, 1 — а$<х<1+а1, 1+ а1 < х <+ос. сй при с — Ц+ а1 — х) при 2а 0 при и(х, 1) = Если — < 1 < оо, то а при О <х <а1 — 1, с1 с — (1+а1 — х) при а1 — 1 < х < а$+1, 2а 0 при аг+ 1 < х < +оо.
и(х, й) = Если — < ~ < +со, то а 31 0<х< —, 4' 31 Я вЂ” <х(— 4 4' 5г — < х <+оо. 4 0<х<-, 71 — <х< —, 4 4' 71 — <х <+со. 4 Ответы и указания 534 с с П вЂ (21 — х) при О < х < 21, и х, - у! = 2а а) 0 при 21< х <+со; с1 при 0<х<41, а с — (61 — х) при 41< х < 61, 2а 0 при 61 < х < +ос.
16.36. Указание. Вырал1ение (х„, у„) — (х, у) записать в виде (х„, уа - у)+(х„— х, у) и воспользоваться неравенством Коши-Буняковского. 16.40. Указание. Показать, что в проиавольном ортонормированном базисе фУндаментальность последовательности вектоРов 1х„)„ен зквивалентна фундаментальности числовых последовательностей их координат. 16.43. Указание. Воспользовавшись результатами задач 16.41 и 16.42, доказать полноту пространства 12. 16.44.
Дх)д(х)11х < а < Щх))~!1х (д(х))~4х. 1645. Указание. Пусть Дх) — произ- вольная функция из С121 ~ — 1, Ц и 11(1) — разрывная функция, равная -1 при 1 < 0 и 1 при 1 > О. Неравенства Коши — Буняковского для интегралов (неравенства Шварца, см. задачу 16.44) следует, что < 1 1/2 У11) — Яа1г))г 11 > -1 1 1/2 1!г ~(!! - м !!'а — 1!ма! -мю'а -1 -1 Показать, что Ппг (р„(1) — 11(1))2 111 = О, — 1 и в силу непрерывности 1 Я) — 6(1))~ 111 > О.
— 1 Ответы и указания 535 Отсюда следует, что интеграл (1(г) — ~р„(с)) ог не может стре- -1 миться к нулю при п -+ со, какова бы ни была 1(г) 6 С(з)[-1, Ц. 16.51. Ро(т) = —, Рз(х) = )/ — х, Рз(х) = ~/ ( х — ), Рз(х) — хз -х 1652 То(х) = —, Г2 - (2 Тз(х) = )/ — х, Тз(х) = )(-(2х — 1), 1 Тз(х) = ~( — (4х — Зх). 16.53. Указа- 0 ние.
При вычислении интегралов произвести замену переменной агссозх = 6. 1~ 16.54. ро(х) = 1, рз(х) = 2~(3 х — -), 2)' «, (х) «г (х) 11 ~рз(х) = бт/5 хз — х+ -). 16.55. См. 6) рис. 51. Вертикальные прямые в точках «, (х) разрыва проведены только для наглядности. 16.58. См. рис. 52. Вертикальные кения — (ху ) + (а~х — — ) у = О, с(х х и полагая Я = 1„(ах) и Ц = 1„(ц х), можно записать (и) — (хй)+ (и) ))'х — — (1 =О.
прямые в точках разрыва проведены для наглядности. 16.60. З Учитывая, что 1,(ах) есть решение уравнения ху" + у' + (азх — — ) у = 0 (см. гл. 12, задача 12.338), т. е. урав- Ответы и указания 536 И20 (х) 1/2 О 22 Ив(х) О О 2,2*2 И 4 (Х) — 2 — —.2 2 — — — 2 2 3 1 Г 2 Г 2 Ив(х) О 5 И в(х) 1 Г 2 О н,(*2 ! И в(х) О Рвс. 52 Умножая первое равенство на (»в, второе на Я, вычитая из первого по- лученного равенства второе и принимая во внимание соотношение 2» (»! — (хИ' ) — Я вЂ” (х(»!') = — (Я х(»!' — х(»5Я' ), о»х 2»х 2»х получим — (хЕ Ц вЂ” хЦЯ') + х(()в;~~) — а )Е Ц = О.
2»Х Интегрируя зто равенство в пределах от О до 1 и учитывая, что — (Я,) в( = — Х,(ах) = св»„'(ах), приходим и равенству авх (()2)'~)' — св') ~ 1,М,"~ х)»,( ) с»х = — »в! ~у. (св)»'„(гв) (»хв'~') о ! О 1 И', (х) Ответы и указания 537 Отсюда при а = р„, ф и, получас«с (и) (и) Т,()ь(" х)1,((г(')х)хг(х = О, / " .'-' о а переходя к прсделу при гг -г )г(( , найдем 1 Э.Ь)"ЕГ*г* = п -' — "— (-~ — = Чс„'Э(">)' ~ о. с Й У (гт)ур(Р( ) 1 ~ (и) э (ь))э о )г lсх '«, )схх 16.61.
Ль = — ~ — ), уь(х) = эгп —, й б («(. а Из общего решения ~1) уравнения у(х) = сге~+ сэе ~~* при Л > 0 или р(х) = сгх + сэ при Л = 0 и из граничных условий следует, что отличное от тожде- ственного нуля решение этой задачи возможно только при Л < О (си- ( С,+С,=О, ( С,=О, схемы — „,, и имеют нулевое решение Сге "(+Сэе и = 0 Сэ(= О Сг = Сэ — — 0). Поэтому полагаем Л = — сцэ и общее решение уравнения запишем в виде у(х) = Сгсояьсх+ Сээ!пих. Из граничных условий следует, что Сг — — 0 и Сэ э(п ьг( = О. Это означает, что отличное от тожде- ственного нуля решение задачи возможно только в случае э!п ьг( = О, т. е.
х)с при ьс = ьгь = —, /с б М. Отсюда и находим собственные числа. Функхйх ции уь(х) = э(п —, Й б Я, валяются собственными функциями этой )гЬг 1 Ь~х задачи. с 16.62. Ло = О, уо(х) = 1, Л« = — ( — !, уь(х) = соз —, г'(2Й вЂ” 1)ггЛ, (2/с — 1)хх /с с г). 16.63. Ль = — ( ) , у«(х) = .э(п , 1 Е Я.
/ 2/с — 1 Л 2/с — 1 16.64. Ль = — ( х(, рь(х) = соэх хх, й с г"(. 16.65. Ль = 2( ( ' 2! ь —, уь(г) = уо ') — "г), где уо(г) — функция Бесселл порядка нуль, а )г„, (с Е Я, — ее нули, т. е, уе()«) = О. Э Если ы = О, то полу- чаем уравнение -(грв(г) + р'(г)) = О, или — — (гу') = О, решая которое, Г г г(г Ответы и указания 538 р'„'„Ы+ -р,'(О) + р(О) = О, которое является частным случаем (при и = О) уравнения Бесселя х ~, ха у Следовательно, решением уравнения (в) является функция Бесселя 1о(О), т.е. Решением исходного УРавнениЯ ЯвлЯетсЯ фУнкциЯ У(г) = 1о(ыг).
Из граничного условия у(Я) = 1о(ый) = О находим, что иИ = п„~ . <о) Таким образом, собственными значениями нашей задачи являются чи- [о) ела Ль = ага, = ~ — " — ), к Е р) а собственными функциями — функции / <о) '1 1о~ ь г). Замечание. Уравнение )1Л )' р +-у' — му=О г (**) 1 заменой у~ —— -у приводится к виду у," + -у', + ьРу, = О, откуда заключаем, что уравнение (**) имеет решение у = -!о(ыг), а потому для краевой задачи с уравнением (**) легко находим собственные числа 1 и собственные функции. г> 16.66. сь = ~„) )( 1(т)1 (рь х)тот [1„(р„")] ~ 1 5 Й Е М.
16.6Т. сг — — сз — — О, са — — —, ст = —. Указание. Воспользоваться 2' 8' четностью функции )х~ и четностью или нечетностью соответствуюших полиномов. ! 1 16.68. со = х 1(х), сь = — ~( Дт) Нх, й Е р). Нх х 1 соа (6 агссоа х) д:-т )г'1 — х~ находим сначала гу'(г) = с~ и, наконец, р = с~ )и г+ст. Из ограниченности решения при г = О следует, что с~ — — О. Используя далее граничное условие 6(уг) = О, находим, что ст = О, т.е. у(г) г— з О. Последнее означает, что ы = О не является собственным числом.
Пусть теперь ы ф О. Произведем в исходном уравнении замену переменной о = аг. Так как у„' = р'„О,' = ыу', у„"„= ы~у„"„, то уравнение преобразуется к виду Ответы н указания 539 1 1 1 16.69. со = —, с) — — — —, сс — — — —, сз = О. 16.70. Указание. Восполь- 2' 4 8' зовавшись ортонормированностью функций (Ь))и(х))'„ио, записать инте- грал в виде ь ь и и (г"(х) — Трр(хЯ~~ )1х — / у' (х) г)х — 2~ аь(у, )В)ь) + ~~р мы = ь=о а=о и п = 1' Г')*) В* — К 4 -'; К )и — )' а ь=о в=о сю 1В.РВ.
— р х ') — р„) с — 1 г )*)В*. 1В.РВ. Р п р ь=! означает, что квадрат модуля вектора равен сумме квадратов всех его координат (в ортонормированном базисе), а неравенство Бесселя †. что квадрат модуля вектора не меньше суммы квадратов некоторых из его координат. 16.74. У к а за н не. Воспользоваться тем фактом, что функции Уолша И'ь(х) при гс ф 2и (см. определение перед задачей 16.58 и задачу 16.59) ортогональны функциям Радемахера г (х) = Ига (х). 1 Зал ь Зл 16.75. и(х, 1) = — сов — яп — х. 8 1 1 5ал.1 5а х 16.76. и(х, 1) = — яп — яп —. 15ал 1 Зал1 Злх 16.77. и(х, 1) = -соа — соа —.
9 21 21 л(2Й + 1)а1 а Е з 326 соа 1, (2й+ 1)лх ла (21+ 1)з 1=0 ,( лть 4ио1 т аш вш 215 . лйас л)сх 16.79. и(х, 1) = — ~ аш — яп —. 2 и )1=1 161 ( — 1)" +) лта Х~- (26 — 1)(21+ 1)(21+3) (2)с+ 1)ла1, (21+ 1)лх )с в1п яп 21 Ответы и указания 540 4 )( 2 (21 — 1)яа1 гг ~Х- ( (21 + 1) (2гс — 3) 21 4( — 1)в+'1 1, (21 — 1)за11 (21 — 1)ях (2/с — 1)я~ (2/с — 1)з 21 / ' 21 8ио ~ 1 (а тц ° )',, (2т+1)ях ,з х' (2 + 1)з ггг=е (2й+ 1)я 4ио ~ 4 (жарт.)'г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
