341_3- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.3_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2002 -576с (987779), страница 78
Текст из файла (страница 78)
(2(г+ 1)хх 16.81. и(х, 1) = 16.82. и(х, г) = 16.83. и(х, Г) = 00 ОО г =кк .'- Ц (-") ° ь=г л=г (~'г Г п ~г л/сх япу х г + Вк„япла -) + г' — 11 1 з1п — яп —, 16.84. и(х, у, 1) где 4 ~йе, ггпг АА,„= — ( / гр(о, г)ып — яп — г1ег(г, (т// 1 т о о т г г Г ауи, ггпг в / / ф(е, г) яп — яп — г(ог(г, '- (-)' (-) " удовлетворяюшее начальным условиям и(х, у, 0) =ьг(х, у), ' ' =ф(х, у) ди(х, у, 0) (2) и граничным условиям и(О,у,г) =и(1,у,1) =и(х,0,1) =и(х, т, Г) =О. (3) Злх, 8ггу lг,п Е гз. В случае, когда гр(х, у) = яп — ып — , г)г(х, у) = 0 и 9 64, Зггх, 8лу а = 1, и(х, у, 1) = возя — + — 1 зш — ып —. Ю Предполагая, что (г тг мембрана совершает малые колебания, имеем первую краевую задачу: найти решение и(х, у, Г) уравнения свободных колебаний мембраны Ответы я указания 541 Ищем решение в виде произведения и(х, у, 1) = Х(х)У(у)Т(1), подставив которое в (1), получаем ХУТг = а~(Х~ УТ+ У ХТ).
Разделив это равенство на атХУТ, имеем Т" Х" У" + атТ Х (4) Каждое отношение здесь зависит от своей переменной, а потому равен- ство возможно только в том случае, когда каждое из этих отношений постоянно. Полагая Х" /Х = Л, У" /У = р и используя граничные усло- вия (3), получаем две задачи Штурма — Пиувилля; Х" — ЛХ = О, Х(0) = Х(1) = О, (5) У" — ггУ = О, У(0) = У(т) = О.
(6) Рассмотрим сначала задачу (5). Как показано в задаче 16.61, собственными числами задачи (5) являются числа Ль = -(хй/1)т, а собственными функциями — функции зйх Хь(х) = е1п —, гс Е 1Ч. (7) решениями которых при различных 1с и п будут функции Тс,я($) = Аь „совка ~-~ + ( — ) 1+Вс,вв1пха ( — ) + ~ — ) 1. 1,1,1 т ~,1( т Аналогично, собственными значениями задачи (6) являются числа гг„= — (хя/т)т, п Е Я, а собственными функциями — система функций У„(у) = або(хну/т), и е Ы. Подставив в (4) вместо отношений Х" /Х и У" /У их значения — (х/с/1) и — (хгг/т)~, получим уравнения Ответы и указания 542 Таким образом, решениями уравнения (1), удовлетворяющими гранич- ным условиям (3), являются функции /(г'г п 2 ",.а р, с = ( ~,.""' Ы / п ~)э, ггйх, ггпу ~г + В» „вгпла — ) + ( — 1 1 вгп — вш —.
(8) Из линейности уравнения (1) следует, что и любая линейная комбинация решений (8), т. е. формально составленный двойной ряд ОО ОЭ ,, ~г и(х, у,1) = ~~~ ~~~ А»,„совка ~ — ) + ( — ) 1+ Ы »=!ь=! + В»,„агата ( — ~ + ( — ~ 1 вгп — 'яп —, (9) при условии возможности его двукратного почленного дифференцирования также является решением уравнения (2), удовлетворяющим условиям (3). Потребуем, чтобы представленное рядом (9) решение и(х, у, Г) удовлетворяло условиям (6), т.е. чтобы яггх ггпу и(х, р, О) = ~~ 'СА» „яп — яп — = у(х, р) гп »=гк=г и1(х, р, О) = ~ ~~~ В»,вяа ( — ) + ~ — ) яп — яп — = 4>(х, у). ~() ~ ) Из этих равенств заключаем, что если числа А» „являются коэффици- ентами Фурье функции ~р(х, р), т.е.
если 4 Г Г лГго, ггпа А»,„= — / ( у(о, х)в)п — яп — ггоНг, )г, и е М, ( l( о о Ответы и указания 544 ггхб'»' гг Ыс '! ным числам — ( — ), )с 6 И. Решения уравнений Х" — ~ — ) Х = 0 1,ь) ' '1, ь) запишем через гиперболические функции: хгсх хгсх Х»(х) = а» с)г — + 6» вб —.
6 6 Тогда решение исходного уравнения »»и = О, удовлетворяющее всем гра- ничным условиям, запишем в виде гг х!сх лгсх1, Му и(х, у) = » '(а»с)г — + 6»зб — ) яп —. 6 Ь ) Ь Для определения чисел а» и 6» получаем соотношения и(0, у) = »з(у) = ~~! а» яп— л/су »=! г' лба лба'г, лбу и(а, у) = гб(у) = у ~а» сб — + 6» зб — ) з!и —, Ь 6) »=! из которых находим, что ь ь 2 г", х)си 2 а» = — / ег(и)яп — с(и = — ) о(б— ь/ 6 Ь! о о (2пг ~гlсо и) з!и — с(и = 6 ббз цзпз при /с = 2нг — 1, при 6=2гл, гпЕМ яка л)са 2 !", гг)си а» с)г + 6» з)г — = — ) гб(о) з!и — с(и.
Ь Ь Ь.)' 6 о З Определение стационарного распределения температуры сводится к Ози дЯи решению уравнения Лапласа »1и = — + — = 0 с заданными граничДх~ Ду~ ными условиями. Решение ищется в виде и(х, у) = Х(х)У(у). Тогла Х" имеем уравнения — = — — = ьг~ и граничные условия У(0) = У(6) = Х У = О. Таким образом, задача Ул+ьг~У = О, У(0) = У(Ь) = 0 приводит к лху собственным функциям (см. задачу 16.61) У»(у) = згп — и собствен- Ь Ответы и указания 545 Из последнего равенства находим Ььг ь ь 1 (2 Г, лйи 2 Г лйи лйа1 Ьь = — / чь(и) яш — г(и — — ( 1и(и) вгп — Йис)г— лйа ~6 ./ Ь Ь,/ 6 Ь~ яЬ 6 о о Подставляя значения аь и Ьь в ряд для п(х, у), получаем ь (2 Г . лйи ~гйх п(х, у) = у — / гр(6)в)п — Йи сЬ вЂ” + ~6/ Ь Ь о ь ь 2 Г, лйи 2 Г, лйи ггйа1 — / г6(и) вгп — аьи — — ( ги(и) вгп — ди сЬ— ь/ 6 6| ь ь~ о о ( ь лйу 2с ( Г, лйи хзгп — '= — ~ ) ьь(и)вгп — г)и сЬ 6 Ь ~=~) 6 ь=! лйи + г6(и) згп — Йи зЬ 6 о лйх лйа лйа лйх г — яЬ вЂ” — сЬ вЬ вЂ” ~ + Ь Ь Ь 6) лйу Ь ~ лйа / Ь— Ь лйу ~аь вЬ + Ьь яЬ вЂ” ~, вгп Ь ( лй(а — х) ггйх) лй Ь Ь ь=г вЬ— Ь 2гял(х — а) Ьз Ьг Ьз яЬ Ь 2тлу 16.88.
и(х, у) = — — х+ — + — 7 саа —. ба 6 лт с- 2гяла Ь и г нь2 в)г Ь У и а а а н и е. Собственными числами соответствующей задачи Штурма- Глй'1 Лиувилля являются числа — ~ — ), й = О, 1,..., а соответствующие ~Ь) ггйу им собственные фунвпии имеют вид Уь(у) = соя — й = О, 1, ...
По- Ь Г лй'1 атому уравнение Х" — ( — ) Х = О имеет систему решений Хо(х) = 1, 6) лйх лйх = аох + Ьо и Хь(х) = аь сЬ вЂ” + Ьь зЬ вЂ”, й Е 1Ч. Ь Ь 546 Ответы и указания а(Ь вЂ” 2) 16.89. и(х, у) = а+ х— 2а (2т — 1) тх (2т — 1)ту соэ (2га — 1) яа Ь эп 16.90. и(т, у, г) = и(т, 1) = а соэ — 1о ~ — т~ + ггРг г / ггг + 2с(Е 2 э1п ~~ 10 (~Р1) .
,г1 ( Э Уравнение и,", = а~гав, где и = и(х, у, г) и Ьи = и," + и'„'„, в полярных координатах (т, ~р) записывается в виде (см. задачу 11.168 при и(х, у, з, С) = и(х, у, г)): дэи /д и 1ди 1 д и1 — =а ~ — +- — + — — ). д1 = '1,дтэ тдт 'д~э)' Начальные условия не зависят от гр, поэтому колебания радиальные, и уравнение принимает внд дэи э /дэи 1 ди'1 — =а ~ — +- — ). () дР 1,дтэ т дт) Требуется найти решение и = и(т, 1), 0 < т < 1, уравнения (в) при начальных условиях и(т, 0) = а1о ( — ) и',(т, 0) = са и граничном условии и(1, г) = О. Ищем решение в виде произведения и(т., С) = В(т)Т(г), подставив которое в (*) получаем: Т"В = а ТВ" + -ТВ' т.е ,„(,) В (.) + -' В (.) т -Л аэТ(1) В(т) Отсюда получаем уравнение Вк(т) + -В'(т) — ЛВ(т) = 0 т Ответы и указания 547 с граничным условием Л(1) = О.
Собственными числами этой краевой Ю~~г задачи (см. ответ к задаче 16.65) пвляются числа Хь — — — !х — ), й Е Ж, — ~1) 1дь а собственными функцинми — функции Ль(г) = 1д ( — г! . ~1) решал у равнение г Т~ (1) + аз ( — ) Ть (!) = О, получаем щ,~ , ар,1 Ть(1) = оь соэ — + Д и!и —. Следовательно, искомое решение представляетсн в виде ряда / а(»!с, а1»ь!'1 к(г, !) = ~ ~~ау,соз — +!Оьз1п — 1!1д( — г) . 1( ~1) ь=! Используя начальные условия, находим к(г, 0) = а1о ( г) = ~ ~аь1д ~ г), ь=! (»») ! ! ~( )( ) 1д ! г)1д( — г) гг( =1 1д(!гад)1д(1»р~д)д<Ь = 1»гь ~ /»гп1 ~ г ( ~1) ~1 ) о о г 1 (1д(д!)), пг — Й О, гп ~ !д, находим выражения коэффициентов Фурье-Бесселя 7» функции 1(г) по системе 1(1д ( — г), й Е К~ на отреаке (О, 1] (ср.
залачу 16.66): /1»ь ! 1 ( д(1»!)) о и',(г, 0) = са = ~~~ )Уь — "1о ( — ьг) . ь=! Из ортогональности с весом р(х) = х (см. задачу 16.60) системы <~ ) 1д ( — г!, )с Е М~ на промежутке (О 1] и из соотношенил (»») имеем /1!» ~1! а! = а и аь = 0 при /с > 2. Учитывал равенства Ответы и указания 548 а тогда из второго начального условия имеем Д= —, / г са Го( — т) г(тлл ада 1'(Го Ьь))' / о 2 Ил о о с( Но (см.
задачу 12.335) иуо(и) = — (и1з(и)) и 1з(о) = — Го(о), а ао потому 1,()А = I — ( 1,())Ь= 1,()~,"" =д,1,(д,) =-д,1,'(Р,), сЬ т. е. 2с1 )Уь = —,( ), Й б уз. Следовательно, ад~1 Гдз и(т, 1) = асов — 1о ~ — г)— ~1) ч 1, арь1 т1зь — 2с1~ з, а1п — 1о( т) = „, рь1оЬ„) = асов — 1о ( — т) + 2с1 ~~~, а!и — "1о ( — ьт) . с „, Рь1~(рь) 16.91. и(г, р) = Ао+ ~~~ (Аьт~соайр+Вьт" япйр) = — япр, где й=! В 2л 1 Ао = — / Г(зз) Нр = О, о 1 Аь = — ) 1(р)соайрйр= О, Й Е Я, о тл гл 1 Г, 1 1 Г Вз — — — / Г(~р) а1п~рсйр = —, Вь = — / Г(р) япйрйр = О, й ) 2. л) В' Л/ Ответы и указания 549 дси 1 ди З Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид — + — — + дт' т дт д2 „ + — —, = О (и не зависит от 2).
Решение и(т, р) должно быть оградР= ничено при О < т < 21 и периодично по р, т.е. и(т, р+ 2х) = и(т, р). Полагая и(т, 1р) = Х(т)Ф(1р), приходим к уравнениям -Х'(т) + Хн(т) т Л -'Л.(,) Ф(р) тэ Решение уравнения Ф" (р)+ЛФ(сс) = О должно иметь период 2х, а потому Л = )сэ, сс = О, 1, ..., и мы имеем Ф1(1р) = аа соз Ьр + Ьь з(п Ьр. При Л = к~ из левой части (*) получаем уравнение Эйлера 1.2Х" (т) + тХ'(т) — бэХ(т) = О, которое путем замены т = е' сводится к уравнению Х" (и) = О при )с = О и к уравнению Х" (и) — )сэХ(и) = О при 1с > 1, решениями которого будут функции Хо(и) = аои+ бо, Ха,1(и) = е"" = т" и ХЬ2(и) = е ~' = т ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
