Теория к ВМСС (987279), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

место запятой

Фиксация запятой перед старшим цифровым разрядом требует, чтобы все величины, участвующие в решении задачи, были меньше единицы. В этом случае несколько облегчается подбор масштабных коэффициентов, поскольку при выполнении операции умножения (встречающейся очень часто) переполнение разрядной сетки исключается, так как в этом случае произведение не превосходит по абсолютной величине ни один из сомножителей.

Представление целых чисел.

Часто в машине требуется хранить точные значения некоторых чисел, например, значения индексом переменной, номеров ячеек и т.п. Такие числа обычно записывают в ячейки памяти как числа с фиксированной запятой, предполагая, что запятая стоит после последнего ((n–1)-го разряда. Эту форму записи иногда называют записью в виде условного целого числа. Например, число 100₁₀=1100100₂ в форме условного целого числа так запишется в 16-разрядной ячейке:

0 000 000 001 100 100.

В восьмеричной системе эта запись выглядит так:

000 144.

Действия с условными целыми числами также удобно производить в режиме с фиксированной запятой, поскольку при выполнении сложения и вычитания в этом режиме не теряется ни один из разрядов, представляющих данные числа в машине.

Вся информация, обрабатываемая в машине (числа с фиксированной запятой, числа с плавающей запятой и т. д.), в конечном свете представляет собой некоторые последовательности нулей и единиц, размещенные в ячейках памяти ЭВМ. При выполнении над содержимым ячейки той или иной операции, находящийся в этой ячейке набор двоичных разрядов расшифровывается в соответствии с типом операции. Сами команда также представляет собой набор двоичных разрядов. В частности, команды, записанные в ячейках памяти машины, можно рассматривать как условные целые числа и преобразовывать их с помощью операций над такими числами.

4.2. Представление чисел в форме с плавающей запятой

Запись чисел с плавающей запятой в ячейки памяти ЭВМ основывается на нормальной форме представления чисел. Положительной число x считается представленным в нормальной форме, если оно записано в виде произведения:

x=q^pM,

где q – основание системы счисления; p –целое число (порядок); M – правильная положительная дробь (мантисса). Соответственно, если x<0, то его нормальная форма такова:

x=–q^pM.

Различают нормализованные и ненормализованные нормальные числа. Если в первом разряде мантиссы стоит цифра, отличная от нуля, то есть 1/qM<1, то нормальное число называют нормализованным. Если же цифра первого разряда мантиссы является нулем, то нормальное число называют ненормализованным. Желательно хранить числа в машине в нормализованном виде, так как при этом не теряются последние разряды мантиссы; говоря в дальнейшем о нормальных числах, мы всегда будем иметь в виду нормализованные числа.

Примеры записи десятичных чисел в нормальной форме:

1=10¹0.1 (р=1, М=0.1);

37.2=10²0.372 (р=2, М=0.372);

0.00035=10^-30.35 (р=–3, М=0.35);

0.56=10⁰0.56 (р=0, М=0.56).

Аналогично записываются числа в нормальной форме в восьмеричной системе:

,

.

В двоичной системе:

;

;

;

.

Приведенное выше определение нормальной формы числа относится ко всем числам, кроме нуля. Число 0 в нормальной форме записывается особым образом. Естественно считать мантиссу нуля равной нулю (хотя при этом и не выполняется условие qM).

Тогда 0=q^p0. Это равенство выполняется при любом p. Условимся считать p=–1 000 000₂.

Рассмотрим один из способов записи в памяти машины числа с плавающей запятой в предположении, что для записи каждого числа отводится 32-разрядная ячейка. Знак числа записывается в нулевом разряде ячейки (плюс изображается нулем, минус – единицей). В следующие семь разрядов (с первого по седьмой) записывается:

1 000 000₂+p₂.

В остальные ряды записываются цифры мантиссы, следующие после запятой.

Запишем в форме с плавающей запятой число 5. Прежде всего, представим число 5 в нормальной форме в двоичной системе: 5₁₀=101₂=(10¹¹0.101)₂ (р=11₂, М=0.101₂). Таким образом, число 5 в форме с плавающей запятой так запишется в 32-разрядной ячейке:

1 000 000 + р мантисса

Аналогичная запись числа (–5) отличается от приведенной записи числа (+5) только знаком: в нулевом разряде ячейки мы должны записать в этом случае 1. Таким образом, число –5 в форме с плавающей запятой так запишется в 32-разрядной ячейке:

11000011 101 000 . . . 000.

Записью числа 0 в форме с плавающей запятой является нулевой код:

00 000 000 000 . . . 000.

Заметим, что при рассмотренной нами форме записи чисел с плавающей запятой в машине не допускаются отрицательные порядки, то есть число 1 000 000 + р должно быть всегда не меньше нуля. Числа с порядком, меньшим –1 000 000₂, мы не сможем записать в ячейку: если в результате каких-то действий получится такое число, то машина воспримет это число как ноль, то есть машинными нулями являются все числа, меньшие по абсолютной величине, чем (10^{–1 000 000}0.1)₂=(2^–128)₁₀. Числа с порядком, большим +1 000 000₂, мы также не сможем записать в ячейку, так как для записи порядка отводится лишь 7 двоичных разрядов. Если же машина получит такое большое число (10¹⁹) в результате действий, то она остановится (произойдет переполнение).

Рассмотренная нами форма записи чисел с плавающей запятой обеспечивает единственность представления каждого числа в машине.

Если бы, например, число записывалось так: в нулевом разряде знак числа, в первом порядке знак порядка, потом – сколько-то разрядов было отведено под порядок и остальные – под мантиссу, то двояко записывались бы числа с нулевым порядком (+0=–0), то есть несовпадающие содержимые ячеек могли бы означать одно и то же число.

Режим с плавающей запятой обеспечивает достаточно широкий диапазон представления чисел в машине без применения масштабных коэффициентов. Недостатком такого способа представления чисел (в сравнении с представлением чисел с фиксированной запятой) является увеличение количества элементов, изображающих число в машине: кроме элементов, необходимых для записи мантиссы, требуются еще элементы для записи порядка. Отдать предпочтение какой-либо одной форме представления чисел нельзя. В больших универсальных цифровых машинах, предназначающихся для решения широкого класса задач, обычно используются оба способа представления чисел, а при решении конкретной задачи выбирается способ, более удобный для данного вида задачи.

Примеры записи чисел в форме с плавающей запятой

1. Число 2 в нормальной форме записывается следующим образом:

2₁₀=2²(1/2)=10¹⁰0.1₂.

Соответствующая запись числа 2 в 32-разрядной ячейке памяти машины такова:

01 000 010 100 000 . . . 000.

2. –3₁₀=–2²(3/4)=–10¹⁰0.11₂.

Следовательно, число –3 так запишется в 32-разрядной ячейке:

11 000 010 110 000 . . . 000.

3. 3/64=2^–4(3/4)=10^–1000.11₂.

Запись числа 3/64 в 32-разрядной ячейке памяти ЭВМ:

00 111 100 110 000 . . . 000.

4. –(13/4096)=–2^–8(13/16)=–10^–10000.1101₂.

Исходя из нормальной формы числа –(13/4096), получим следующую запись числа в 32-разрядной ячейке памяти:

10 111 000 110 100 000 . . . 000.

Упражнения

1. Записать в виде условных целых чисел (для размещения в 16-разрядной ячейке) следующие десятичные числа: 1, 15, 38, 54, 200.

2. Следующие числа, записанные в десятичной системе счисления, представить в нормальной форме и указать вид записи этих чисел в 32-разрядной ячейке памяти ЭВМ:

–1, 0.5, 100, 0.007,

–2, 0.24, 14, –0.0006,

3, –0.24, –14, –34.85.

5. Логические основы ЭВМ

Для математического описания работы вычислительных устройств, синтеза и анализа схем широко используется алгебра логики. В основе решения логических задач лежит несколько основных логических операций, применяемых в алгебре логики. Алгебра логики – определенная часть математической логики, часто называемая исчислением высказываний.

Под высказыванием понимается всякое предложение, в котором содержится смысл утверждения (истинности) или отрицания (ложности). Одно и тоже высказывание не может быть одновременно истинным и ложным и не истинным и не ложным. Отдельные высказывания можно обозначить заглавными буквами латинского алфавита A, B, C,…. Если высказывание (суждение) истинно, то, например, A=1. Если C=0, то высказывание C ложно.

Рассматриваются только два значения высказывания: истинное или ложное (1 или 0). Такое условие алгебры логики приводит к соответствию между логическими высказываниями в математической логике и двоичными числами в двоичной системе счисления, что позволяет описывать работу схем и блоков машины и проводить их анализ и синтез с помощью алгебры логики.

Основными логическими операциями являются логическое отрицание, логическое умножение, логическое сложение, сложение по модулю 2,

Логическое отрицание (операция НЕ, инверсия). Пусть имеется некоторое высказывание A. Отрицание этого высказывания обозначается A’, которое принято читать: не A.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)