Теория к ВМСС (987279), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

3.4 Перевод произвольных чисел

Числа, имеющие целую и дробные части, переводятся в два этапа: вначале целая часть, а затем дробная. В результате получаем число, записанное в новой системе счисления.

Пример 11. Перевести неправильную дробь 118.37510 и в двоичную систему счисления.

Для перевода в двоичную систему сначала переведём последовательным делением целую часть:

1 18 2

1 18 59 2

0 58 29 2

1 28 14 2

1 14 7 2

0 6 3 2

1 2 1 2

1 0 0

1

В результат имеем:

118₁₀=1110110₂

Далее переведем в двоичную систему счисления дробную часть методом последовательного умножения:

0,375

 2

0 ,750

 2

1 ,500

 2

1,000

 2

0,000

В результате имеем:

0,375₁₀=0,011₂

Окончательный результат имеет вид:

118,375₁₀=1110110,011₂

3.5 Смешанная система счисления

В смешанной системе счисления каждая цифра, заданного в Q-ичной системе счисления, заменяется соответствующим ее представлением в P-ичной счисления. Такая система называется
P-Q-ичной.

Рассмотрим двоично-десятичную систему счисления, как пример смешанной системы счисления, где каждая цифра числа, представленного в десятичной системе счисления, заменяется соответствующим ее представлением в двоичной системе счисления. Двоично-десятичная система счисления нашла широкое применение во многих ЭВМ.

Например, десятичное число 931 в двоично-десятичной системе счисления запишется в виде:

1001 0011 0001_2-10.

T. е. каждая цифра десятичного числа (от 0 до 9) заменяется тетрадой в двоичной системе счисления.

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Число 273,59₁₀ перевести в двоичнодесятичную систему счисления.

Перевод осуществим следующим образом

т. е. 273, 59₁₀ = 001001110011, 01011001_2-10.

Двоично-десятичную запись числа используют непосредственно или как промежуточную форму записи между обычной десятичной его записью и машинной двоичной. Вычислительная машина сама по специальной программе переводит двоично-десятичные числа в двоичные и обратно.

Для смешанных систем счисления характерно, что количество разрядов, отводимых под каждую цифру, определяется максимальной цифрой базиса Q-ичной системы счисления. В десятичной системе счисления это цифра 9, для представления которой в двоичной системе требуется четыре разряда. Особый интерес представляет случай, когда Q=P^m, где m-целое число. В этом случае представление числа в Р-ичной системе счисления совпадает с его представлением в смешанной P-Q-ичной системе счисления. Приводить доказательство этого утверждения мы не будем, покажем его только на примере.

Пример. Перевести восьмеричное число 741 в двоичную и двоично-восьмеричную системы счисления. Сначала переведем число 741 в двоичную систему счисления, получим:

741₈ = 111 100 001₂ .

Затем переведем по отдельности каждую цифру числа 741 в двоичную систему счисления, получим:

741₈ = 111 100 001₂ = 111 100 001_2-8.

Как видим, представления числа в двоичной и двоично-восьмеричной системах счисления совпадают.

Отметим, что, приведенные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую представляют собой достаточно трудоемкий процесс. Однако в современных ЭВМ такой перевод осуществляется самой машиной автоматически по стандартным подпрограммам. К ручному переводу обращаются в исключительных случаях.

В заключение этого раздела предлагается ответить на некоторые вопросы и выполнить ряд упражнений для закрепления усвоенного материала.

Вопросы и упражнения

1. Составьте таблицы сложения и умножения для восьмеричной системы счисления. Выполните указанные действия над числами, заданными в восьмеричной системе счисления:

a) 742+34–657; б) 17623; в) 214 : 4.

2. Переведите числа из одной системы счисления в другую:

а) из двоичной в шестнадцатеричную:

1) 10 1111 1000 0101 1001;

2) 0,1101 1100 1;

3) 100 1111 0001,1100 1100 001;

б) из восьмеричной в десятичную:

762; 454; -4326;

в) из десятичной в шестнадцатеричную:

9854; -77659; 4591;

г) из шестнадцатеричной в пятеричную:

B4AA; FF9A3; -C7A99;

д) из шестнадцатеричной в двоичную:

998C; FF77; DA0774;

3. Переведите числа из одной системы счисления в другую, сохранив заданную точность:

а) из десятичной в двоичную:

253,2 ; 794,15 ; -6,4 ;

б) из восьмеричной в пятеричную:

647,5; 342,24; 71,6;

в) из семеричной в десятичную:

-632,2; 562,32; 4562,5.

4. Переведите числа в смешанную систему счисления:

а) из десятичной в двоично-восьмеричную:

692,54; 7428,41; 196,7591;

б) из восьмеричной в двоично-восьмеричную:

735,117; -5736,33; 0,047;

5. Определите, что больше:

а) 637₈ или 439_10;

б) 1110 1111 0011,1001 1₂ или 51₆;

в) FD5₁₆ или 8419₁₀ .

6. Найти шестизначное частное (с округлением) восьмеричных чисел:

а) 0.164507 : 0.172300;

б) (-0.372711) : 0.671121.

7. Составить таблицы перехода от целых десятичных чисел 0,1,…,15 к шестнадцатеричным, восьмеричным, двоичным и двоично-деся­тич­ным числам.

8. Перевести следующие числа из двоичной системы счисления в восьмеричную:

а) 11011.01101001; д) 1000.10011011;

б) 1001.10111111; е) 10111.00100101;

в) 10011.0000001; ж) 101010.10110001;

г) 110101.111000101; з) 111011.11011101.

9. Перевести следующие числа из двоично-десятичной системы счис­ления в десятичную:

а) 1001.01100101; г) 00100001.100000011000;

б) 00111000.01110111; д) 01111000.01100101;

в) 00010111.00110011; е) 00010001.01110100.

10. Перевести следующие числа из восьмеричной системы счисления в двоичную:

а) 36.2571; в) 43.6574; д) 35.2706; ж) 46.7532;

б) 101.025; г) 17.2603; е) 67.3412; з) 734.6521.

11. Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в двоично-десятичную:

а) 25.26; в) 65.429; д) 3.4008;

б) 105.23; г) 53.481; е) 34.2759.

12. Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в двоичную (дробную часть числа получить с четырнадцатью знаками):

а) 18.36; в) 1020.307; д) 7.2649;

б) 65.855; г) 3.4567; е) 477.9898.

13. Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в восьмеричную (дробную часть числа получить с четырьмя знаками):

а) 32.48; в) 2020.832; д) 505.909;

б) 91.505; г) 29.397; е) 937.739.

4. Формы представления чисел в ЭВМ

В цифровых вычислительных машинах применяются две формы представления чисел:

• с фиксированной запятой (точкой);

• с плавающей запятой (точкой).

В зависимости от того, какой из этих двух способов принят для представления чисел, различают два режима работы цифровых вычислительных машин: с фиксированной запятой и с плавающей точкой. Рассмотрим подробнее сущность представления чисел в обеих формах.

4.1 Представление чисел в форме с фиксированной точкой

При работе вычислительной машины в режиме с фиксированной запятой место запятой, отделяющей целую часть числа от дробной, остается постоянным для всех чисел, с которыми работает цифровая машина. При конструировании машин, работающих в режиме с фиксированной запятой, заранее устанавливают, какое количество разрядов отводится для целой части числа, а какое – дробной части.

Поясним сказанное примером. Допустим, что цифровая машина рассчитана на представление шестиразрядного десятичного числа, причем три разряда отводятся на целую часть числа, а три – на дробную, или, как принято говорить, запятая фиксирует после третьего цифрового разряда. В этом случае в машине могут быть представлены следующие числа:

+999.999,

+999.998,

^{. . . . . . .}

+000.001,

000.000,

-000.001,

^{. . . . . . .}

………-999.999.

Отметим сразу некоторые недостатки, присущие способу представления чисел с фиксированной запятой. В машине, работающей в режиме с фиксированной запятой, диапазон представляемых чисел, отличных от нуля, сравнительно невелик (в нашем примере – от 0.001 до 999.999). Всякое число, меньше по абсолютной величине минимального положительного числа, представляемого машиной, будет записано в машине в виде нуля. Это так называемый машинный нуль. Кроме того, любое число, получающееся в результате вычислений, не должно превышать по абсолютной величине максимального числа, которое может быть представлено машиной (применительно к нашему примеру результат не должен превышать 999.999): в противном случае старшие разряды числа будут потеряны, а результат вычисления – искажен. Такое явление называется переполнением разрядной сетки.

Из-за перечисленных недостатков режим с фиксированной запятой оказывается неудобным для решения задач, включающих в себя разнообразные и обширные вычисления, проводимые над числами из достаточно широкого диапазона. При работе в режиме с фиксированной запятой необходимо заранее (еще при подготовке задачи к решению на машине) учитывать возможность переполнения разрядной сетки. Чтобы не допустить переполнения, входящие в задачу исходные данные приходится умножать на соответствующие масштабные коэффициенты (масштабировать). Масштабные множители подбираются таким образом, чтобы все участвующие в арифметических операциях величины после масштабирования оказались в допустимых для данной машины пределах. При этом следует еще предусмотреть, чтобы результаты вычислений также оказались в допустимых пределах.

Кроме того, масштабные множители должны по возможности приближать числа, реально участвующие в вычислениях, к верхнему допустимому пределу. Это требование объясняется тем, что при работе машины в режиме с фиксированной запятой малые по абсолютной величине числа могут быть представлены со значительно меньшим количеством значащих цифр, - то есть с меньшей относительной точностью,- чем числа, близкие к верхней границе. Поэтому масштабные коэффициенты для различных величин, участвующих в вычислениях, могут оказаться различными. Более того, эти коэффициенты, возможно, потребуется менять в ходе вычислений.

Введение масштабных множителей, как правило, сильно усложняет расчетные формулы, входящие в алгоритм решения задачи. Подбор этих множителей является делом очень сложным и в большей степени зависит от опытности математика, подготавливающего задачу для решения на машине. Поэтому режим работы с фиксированной запятой обычно применяется только в малых и специализированных ЭВМ; такие машины являются менее сложными и, следовательно, более дешевыми, чем машины, которые могут работать в режиме с плавающей запятой.

Ячейка памяти машины, содержащая число с фиксированной запятой, имеет знаковый разряд и цифровые разряды. Разряды ячейки нумеруются слева направо, начиная с нуля. Знак числа указывается в нулевом (знаковом) разряде ячейки следующим образом: плюс изображается нулем, а минус – единицей. Двоичная запись числа помещается в цифровые разряды ячейки (с первого по
(n-1)-ый в n-рязрядной ячейке), причем каждый разряд числа записывается в строго определенном месте в зависимости от его удаления от запятой. Чаще всего запятая фиксируется перед первым (старшим) цифровым разрядом. Тогда, например, двоичное число +0.101100111000101 в шестнадцатиразрядной ячейке ЭВМ запишется следующим образом:

знаковый разряд цифровые разряды

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)