Теория к ВМСС (987279), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Приведем примеры действий в шестнадцатеричной системе счисления:

1. Сложение:

A1F A19 A20

⁺ 1 ⁺ BC ⁺ F5

A20 AD5 B15

2. Вычитание:

AD5 B15

^– A19 ^– F5

BC A20

3. Умножение:

A0F FFA3

^ 1A ^ DE

6496 DFAEA

A0F CFB47

10586 DDAF5A

4. Деление:

D DAF5A FFA3

^– CFB47 DE

DFAEA

DFAEA

0

Выше рассмотрены таблицы сложения и умножения для двоичной и шестнадцатеричной систем счисления. Приведены примеры использования их при выполнении арифметических операций. Аналогично строятся таблицы и осуществляются арифметические операции и для других позиционных систем счисления.

3. Перевод чисел из одной позиционной системы

счисления в другую

В дальнейшем изложении при записи чисел основание системы счисления будем записывать в виде нижнего и индекса справа от числа, например:

101₂ 83₁₀ 2AF,5Е₁₆

Существует несколько способов перевода чисел из одной системы счисления в другую. Наибольшее распространение получили два из них. Первый способ основывается на выполнении арифметических операций в новой системе счисления, второй – в старой.

3.1. Основные способы перевода чисел

Ниже рассматриваются указанные способы перевода чисел из одной системы в другую и формируются общие правила перевода чисел.

1-й способ.

Прежде чем дать формулу перевода в общем виде, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Число 254_6, заданное в шестеричной системе счисления, перевести перевод 6 10. Представим это число в виде полинома в соответствии с формулой (1):

254₆ = 26²+56¹+46⁰,

в котором каждая цифра записана в новой системе счисления (в данном случае в десятичной). Выполнив требуемые вычисления, получим:

254₆ = 106₁₀.

Пример 2. Число 254,24₈, заданное в восьмеричной системе счисления, перевести в двоичную систему счисления, т.е. сделать перевод 82. Представим это число в виде полинома:

254,24₈ = 28² + 58¹ + 48⁰ + 28^-1 + 48^-2,

в котором затем каждую цифру запишем в новой системе счисления (в данном случае в двоичной). Получим:

101000¹⁰ + 1011000¹ + 1001000⁰ + 101000^-1 + 1001000^-10.

Выполнив вычисления в новой системе счисления, будем иметь

254,24₈ = 10101100,010100₂.

Так как арифметические операции определены однозначно во всех системах счисления, то каждому числу в заданной системе счисления Q соответствует одно и только одно число в новой системе счисления P.

Рассмотренный способ перевода числе из Q-ичной системы счисления в P-ичную сводится к следующим правилам:

1. записать переводимое число в виде полинома в старой системе счисления (Q);

2. в полученном полиноме заменить основание Q и все коэффициенты числами в новой системе счисления;

3. выполнить арифметические операции в новой системе счисления.

Пример 3. Дано число 9В3₁₇ . Представить его в десятичной системе счисления:

9В3₁₇ = 9Q² + BQ + 3 = 917² + 1117 + 3 =2791₁₀.

При необходимости перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую (10Q) вычисления удобнее выполнять в десятичной системе счисления, поэтому первый способ перевода становится неудобным.

2-й способ.

Вычисления требуется выполнять в старой системе счисления. Сначала разберем несколько примеров.

Пример 4. Представить десятичное число 941 в шестнадцатеричной системе счисления. Искомое число имеет вид:

(q_nq_n-1…q₁q₀)₁₆.

Задача сводится к определению q_i, принадлежащих базису шестнадцатеричной системы счисления. Используя представления числа в виде полинома, будем иметь:

941₁₀=q_n16ⁿ₁₀+ q_n-116^n-1₁₀+…+q₁16+q₀.

Числа 941 и 16 заданы в десятичной системе счисления. Легко видеть, что при делении 941 на 16 полученный остаток, выраженный соответствующей цифрой базиса шестнадцатеричной системы счисления, равен последнему слагаемому нашего многочлена:

941 16

80 58

141

128

13

Следовательно,

q₀=13₁₀=D₁₆ и

941₁₀=(q_n16^n-1₁₀+q_n-116^n-2₁₀…+...+q₁)16₁₀+q₀;

58₁₀ = q_n16^n-1₁₀+q_n-116^n-2₁₀+...+q₁.

Рассуждая аналогично, получим

58 16

48 4

10

Следовательно, q₁ = 10₁₀ = A₁₆; q₂ = 4.

Таким образом, 941₁₀ = 4AD₁₆.

Пример 5. Представить десятичное число 0,50390625 в шестнадцатеричной системе счисления. Искомое число будет иметь вид:

(0, q_-1 q_-2 ...… q_-v…)₁₆.

Наша задача сводится к определению q_i, принадлежащих базису шестнадцатеричной системы счисления. Используя представление числа в виде полинома, получаем:

0,50390625₁₀ = q_-116^-1₁₀+q_-216^-2₁₀+...…+q_-v16^-v₁₀…

Умножив обе части этого равенства на 16, получим

160,50390625₁₀=q_-1+q_-216^-1₁₀+…...+q_-v16^-v+1₁₀…

Очевидно, что полученная при умножении 0,50390625 на 16 целая часть, замененная соответствующей цифрой базиса шестнадцатеричной системы счисления, равна q_-1, т.е. найдена первая цифра в представлении искомого числа. В данном случае:

0,50390625

^ 16



3 02343750

⁺ 5 0390625



8,06250000

и q_-1=8.

Для получения следующих цифр поступаем аналогично:

0,0625

^ 16



3750

⁺ 625



1,0000

Таким образом q_-2=1, и окончательно получаем:

0,50390625₁₀=0,81₁₆.

При переводе целых чисел выполнялись операции деления, а при переводе дробной части – операции умножения, следовательно, при переводе смешанных чисел следует отдельно переводить целую и дробную части числа.

Пример 6. Представить десятичное число 291,25 в восьмеричной системе исчисления.

1. Переведем целую часть числа в восьмеричную систему счисления:

291 8

^—24 36 8

51 –32 4

^—48 4

3

Получим 291₁₀=443₈.

2. Переведем дробную часть в восьмеричную систему счисления:

0,25

^ 8

2,00

Получим 0,25₁₀=0,2₈.

3. В итоге будем иметь 291₁₀=443₈.

Данный способ не всегда позволяет при переводе дробной части получить конечную величину. Например, при переводе десятичного числа 0,3 в восьмеричную систему счисления последовательно получаем

0,3 0,4 0,2 0,6 0,8 0,4

^ 8 ^ 8 ^ 8 ^ 8 ^ 8 ^ 8

2,4 2,4 1.6 4,8 6,4 3,2

т.е. имеем периодическую дробь 0,3₁₀=0,2(3146)₈.

Рассмотрим второй способ перевода чисел из системы счисления с основанием P (QP) в общем виде. Так как при переходе от одной системы счисления к другой следует переводить отдельно целую и дробную части, то опишем их перевод отдельно

3.2. Перевод целых чисел

Пусть дано целое число N_Q >=0. Требуется перенести в
Р-ичную систему счисления, т.е. найти N_p=(p_s p_s-1 . . . p₁ p₀), для чего определить p_i, принадлежащие базису (0, 1, 2–, . . ., P-1); i изменяется от 0 до s.

Перевод целого из Q-ичной системы счисления в Р-ичную сводится к следующим правилам.

1. Данное число разделить на основание (Р) новой системы счисления. Остаток от деления записать в новой системе счисления.

Это младшая цифра (p₀) искомого числа.

2. Если частное равно 0, то искомое число получено.

3. Если частное не равно 0, то разделить его на Р. Остаток от деления записать в новой системе счисления. Это предыдущая цифра искомого числа. Процесс получения цифр продолжать до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

Пример 7.

Дано число 2791₁₀ в десятичной системе счисления. Представить его в семнадцатеричной системе счисления.

2791 17 164 17 9 17

^– 17 164 153 9 ^–0 0

109 11=В 9

^– 102

71

^–68

3

Получим 2791₁₀=9В3₁₇.

3.3. Перевод правильной дроби

Пусть дано целое число X_Q (0 < X_Q <1). Требуется перенести его в Р-ичную систему счисления, т.е. найти X_p=0, p_-1 p_-2 . . . p_-t . . .. Для этого определим p_i, принадлежащие базису (0, 1, . . ., P-1); i принимает значения –1, –2, . . ..

1. Умножить данное число на Р – основание новой системы счисления. Цифра, получившаяся в целой части произведения, является первой цифрой после запятой в искомом числе.

2. Дробную часть произведения умножить на Р. Цифра, получившаяся в целой части произведения, является следующей цифрой в искомом числе.

Если дробная часть произведения равна нулю или достигнута заданная точность представления числа в новой системе счисления, то результат получен. Иначе повторить п. 2.

Пример 8.

Дано число 0.225₁₀. Перевести его в восьмеричную систему счисления, сохранив в результате четыре цифры после запятой:

0.225  8 = 1.800

0.800  8 = 6.4

0.4  8 = 3.2

0.2  8 = 1.6

0.6  8 = 4.8

Получим 0.225₁₀ = 0.1631₈

Пример 9. Дробь 0.31₁₀ перевести в двоичную систему счисления:

0.31 0.96

^ 2 ^ 2

0.62 1.92

^ 2 ^ 2

1.24 1.84

^ 2 ^ 2

0.48 1.68

^ 2

0.96

в результате 0.31₁₀  0.010011₂

Из последних примеров 8 и 9 следует, что перевод дробей может представлять собой бесконечный процесс, а результат перевода – приближённый.

Число цифр в числе, представленном в системе счисления с основанием p, определяется из условия, что точность числа в системе счисления с основанием q.

Перевод двоичной дроби в десятичную можно осуществлять сложением всех цифр со степенями 2, соответствующими позициям разрядов исходной двоичной дроби, в которых цифры равны 1.

Пример 10. Дробь, 0,11012 перевести в десятичную систему счисления.

Представить исходное число в виде:

0.1101₂=[1*2-1+1*2-2+0*2-3+1*2-4] ₁₀=[0.5+0.25+0.0625]₁₀=0.8125₁₀

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)