12 (982783)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семестр 4. Лекции 12.Лекции 12. Зонная теория твердых тел.Электроны в периодическом поле кристалла. Модель Кронига - Пенни.Образование энергетических зон для электронов в кристалле. Зонная структура в металлах, полупроводниках и диэлектриках. Проводимость металлов.Сверхпроводимость.Типы связей между атомамиИонная связь между атомами разных химических элементов существует в том случае,когда атом одного элемента забирает валентные электроны у атома другого элемента.При этом электронные конфигурации образовавшихся ионов обладают устойчивостью. Например, одновалентный натрий отдаёт электрон со своей внешней оболочки семивалентному хлору.

Ион натрия с положительным зарядом обладает устойчивостью, т.к. для последующей егоионизации требуется значительная энергия. Образовавшийся отрицательный ион хлора навнешней оболочке имеет 8 электронов и эта оболочка полностью заполнена. Обе конфигурацииобладают устойчивостью. Но два иона притягиваются электростатическими силами, образуямолекулу поваренной соли NaCl. Эта молекула, являясь электрическим диполем, взаимодействует с другими подобными молекулами, в результате чего образуется кристалл соли.Возможен тип связи, при которой между молекулами возникают так называемые силыВан-дер-Ваальса. Эти силы можно охарактеризовать как усреднение взаимодействия между полярными молекулами.

Такой тип связи наблюдается, например, у кристаллических Н 2, O2 , СН4и т.д.Ковалентная связь образуется в случае, когда два атома постоянно обмениваютсядвумя валентными электронами с противоположно направленными спинами. В результатетакого обмена каждый из электронов одновременно находится в каждом из атомов. Такой типсвязи, например, у атомов решётки алмаза, германия.Возможно образование такой связи между атомами, при которой все атомы объединяютсвои валентные электроны. Т.е. валентные электроны одновременно принадлежат всем атомами поэтому свободно могут перемещаться от одного атома к другому.

Такие электроны называютсвободными, а такой тип связи – металлическим типом связи. Оказывается, что для атомовтипичных металлов металлический тип связи между одинаковыми атомами энергетически более выгоден (при обычных условиях) в случае, когда они располагаются в структуры с пространственной симметрией. Какговорят, атомы образуют кристаллическую решетку, обладаюЕщую определённой пространственной симметрией.Рассмотрим движение частицы в бесконечно глубокойпотенциальной яме, в которой имеется потенциальный барьерконечной высоты U0, разделяющий яму на две одинаковые части.

Энергия частицы меньше высоты барьера: E < U0. Оказывается, что в этом случае каждый из уровней энергии частицыв одной яме расщепится на два близких подуровня.ОднаДвеСоответственно, если рассматривается задача о нахожденииямаямычастицы в N ямах, то уровни энергии расщепляются на Nподуровней.В кристалле такое расщепление вызвано влиянием соседних атомов. При этом количество подуровней равно количеству атомов. Действительно, в одинаковых атомах одинаковыеэлектроны не могут находиться в одинаковых состояниях.

Поэтому соответствующие одинаковые уровни энергии в системе взаимодействующих атомов «слегка» смещаются на небольшиезначения, т.е. как бы расщепляются уровни энергии свободных атомов.1Семестр 4. Лекции 12.Потенциальная энергия взаимодействия электрона с атомом на большом расстоянии вы1 e2ражается как энергия в водородоподобном атоме: U  . Если электрон находится бли40 r1 Ze2(Z – зарядовое чис40 rло). Т.е. энергию взаимодействия электрона можно рассматривать как потенциальную яму.же остальных электронов к ядру, то энергия принимает вид: U  Рассмотрим одномерную модель кристалла, в которой кристалл состоит из одинаковыхатомов, расположенных вдоль одной прямой линии.

Уравнение Шрёдингера для стационарногосостояния:d 2  2m 2  E U    0 .dx 2Предположим, что потенциальная энергия является периодической функцией с периодомa, т.е. U  x   U  x  n  a  , где n – целое число. Тогда плотность вероятности тоже должна бытьпериодической функцией:   x     x  na  .22Метод Блоха состоит в том, что пси-функцию записываем в виде:   x     x   eikx , где  x     x  n  a  - периодическая функция. Т.е. волновая функция в соседних ячейках кристалла отличается фазовым множителем:  x  na     x  na   eik  x na     x   eikx  eikna    x   eikna .Поэтому для поиска функции   x  достаточно рассмотреть одну ячейку кристалла.d 2 d 2 ikxd  ikxd  d   e  d  ikxТ.к. e  ik   eikx и 2  e  2ik  e  k 2   eikx ,2dxdxdxdxdxdxто уравнение Шрёдингера примет вид (после сокращения на множитель eikx ):d 2d 22m 2ik  k    2  E U    0 .2dxdxikx2Вводим обозначение: Ek k 2 и переписываем уравнение в виде:2md d  2m 2ik  2  E  Ek  U    0 .2dxdx2Одномерная модель Кронига-ПенниUabВ этой модели периодическое поле кристалла представляется ввиде периодических прямоугольных барьеров высотой U 0  E :xU 0 ,  n  1 a  b   a  x  n  a  b .U 0,  n  1 a  b   x   n  1 a  b   aПоэтому в яме (область I) уравнение Шрёдингера имеет вид:d 2 Id2m 2ik  I  k 2I  2 EI  0 .2dxdxВводим обозначение:  2 2m2E .

Корни характеристического уравнения:   ik  i , поэтомуI  C1eik  x  C2eik  x .Внутри барьера (область II) уравнение Шрёдингера имеет вид:2Семестр 4. Лекции 12.d 2IId2m 2ik  II  k 2II  2 U 0  E  II  0 .2dxdxВводим обозначение: 2 2m2U 0  E  . Корни характеристического уравнения:  ik   , по-этомуII  C3eik  x  C4eik  x .Условия на границах (с учётом периодичности):dIddId I  a    II  a  , a   II  a  ,  I  0   II  a  b  , 0   II  a  b  ,dxdxdxdxi   k ai   k aik aik aC1e C2e C3e C4e,i    k  C1ei  k a  i    k  C2eik a     ik  C3eik a    ik  C4eik a ,C1  C2  C3eik  ab  C4eik  ab ,i    k  C1  i    k  C2     ik  C3eik  a b    ik  C4eik  a b  .Система четырёх однородных уравнений относительно четырёх неизвестных:eik aC1  eik aC2  eik aC3  eik aC4  0 ,i    k  ei  k aC1  i    k  ei k aC2    ik  eik aC3    ik  eik aC4  0 ,C1  C2  eik  abC3  eik  abC4  0 ,i    k  C1  i    k  C2    ik  eik  a bC3    ik  eik  a b C4  0 .Определитель этой системы должен быть равен нулю:ei  k aei  k aeik aeik ai    k  e i  k ai    k  ei  k a  ik  eik a   ik  eik a11e ik  a b eik  a b  0.i    k i   k   ik  eik  a b    ik  eik  a bИз полученного трансцендентного уравнения следует неоднозначная зависимость междуэнергией E и волновым числом k.

Если точнее, то существуют интервалы значений энергии,для которых полученное уравнение имеет решение: E(k). Такие интервалы получили название:разрешённые зоны энергии. Интервалы значений энергии, для которых нет решений у даннойсистемы, называют запрещёнными зонами энергии.Для свободного электрона зависимость между нерелятивистским импульсом и энергиейp2можно записать в виде: E . Если импульс свободной частицы записать через длину волны2mh 22де Бройля: p  - волновое число, то зависимость между энергией и k , где k  волновым числом будет иметь вид параболы: E 2k2 .2mВ периодическом поле кристалла появляются ограничения на значения энергии в виде разрешённых и запрещённых зон. Поэтому зависимость между энергией и волновым числом будет существовать только на определённых интервалах волновых чисел.

Эти интервалыназываются зонами Бриллюэна.3Семестр 4. Лекции 12.1-я зона Бриллюэна соответствует интервалу:  k  , 2-я зона - объединению инaa 2     2 тервалов: k    ;    ;  и т.д.a a a  a2-я зона Бриллюэна1-я зонаБриллюэнаEE22mk2Запрещённая энергетическая зонаРазрешённая энергетическая зонаk/a/a0/a/aВнутри конечного кристалла размером L могут двигаться свободно только частицы всостояниях, для которых длина волны де Бройля целочисленно кратна размеру ячейки:   l  a ,LLили, с учётом размера ячейки a  , где N – число ячеек, получаем, что   l  .

Откуда дляNN2 2 Nволнового числа следует равенство: k . Т.к. l  1,...,N , то в пределах одной разL lрешённой энергетической зоны существует N дискретных значений энергии. Поэтому расстояние между этими дискретными уровнями энергии в пределах одной зоны, обратно пропорционально числу ячеек в кристалле. Т.е. уровни энергии расположены настолько близко, что распределение энергии в пределах одной энергетической зоны можно считать квазинепрерывным.При рассмотрении реальных трёхмерных кристаллов используют теорему Флюге-Блоха овиде пси-функции для решения уравнения Шрёдингера в трёхмерных кристаллах.Пусть вектор R  n1a1  n2 a2  n3a3 - такой вектор, что наборы целых чисел  n1 ,n2 ,n3 определяют положения атомов в кристаллической решётке, тогдаi  k ,R  r  R   r  e,откуда следует, что сдвиг аргумента волновой функции в направлении вектора R аналогиченi  k ,R умножению функции на фазовый множитель e, где k - некоторый вектор.Поэтому решение уравнения Шрёдингера:2m  2  E  U    0в трёхмерных кристаллахследуетискатьв виде: r   r   e i k ,r, где функция r  R    r  , периодическая по кристаллу, называется функцией (или волной) Блоха.При поиске решения возникают соотношения между разрешёнными зонами энергии Е икоординатами вектора k   k x ,k y ,k z  .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций