7 (982761)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семестр 4. Лекции 7.Лекции 7. Представление физических величин операторами.Основные постулаты квантовой механики. Операторы координаты,импульса, момента импульса, потенциальной и кинетической энергии. Гамильтониан квантовой системы как оператор полной энергии. Вероятностный характер результатов измерений в квантовой механике. Вычислениесредних значений физических величин в квантовых системах.Квантовая механика принципиально отличается от классической механики в подходе квопросу о результатах измерения физических величин в квантовых системах. Прежде всего, вквантовой механике физическая величина может иметь дискретный спектр значений, тогда как в классической механике все физические величины изменяются непрерывно.

Крометого, результаты измерения физических величин в квантовой системе имеют вероятностный характер. Это означает, что в общем случае в процессе измерения наблюдаемой физической величины в квантовой системе с определённой вероятностью может реализоватьсяодно из нескольких возможных значений этой величины. Говорят, что в таком квантовом состоянии физическая величина не имеет определённого значения. В таком случае, зная волновуюфункцию, описывающую квантовое состояние, мы должны уметь предсказывать среднее значение наблюдаемой физической величины, полученное из ряда измерений.Такой подход к вопросу о результатах измерения наблюдаемых физических величин вквантовой механике базируется на представлении физических величин операторами и разработке адекватного математического аппарата.Основные постулаты квантовой механики.1.

Каждому состоянию квантовой системы соответствует волновая функция( x, y, z, t ) , определяющая это состояние. Волновая функция находится из решения уравнения Шрёдингера.2. Каждой наблюдаемой физической величине f в квантовой механике ставится всоответствие некоторый линейный самосопряжённый (эрмитов) оператор Ф̂ , действие которого на волновую функцию задаётся при его определении. Соотношения междуквантово - механическими операторами аналогичны соотношениям, связывающим в классической механике соответствующие физические величины3. Единственным возможным результатом измерения наблюдаемой физическойвеличины f может быть только собственное значение f n соответствующего ей оператора Ф̂ .Собственные значения оператора Ф̂ находятся из решения уравнения:Фˆ  n  f n  n .Это уравнение имеет набор собственных функций  n и собственных значений f n . В случаедискретного спектра физической величины этот набор представляет собой счётное множество(n = 1,2,…).Система собственных функций оператора любой физической величины представляетсобой полную ортонормированную систему функций.

Поэтому любую волновую функцию всегда можно разложить в ряд по этим собственным функциям:   Cn  n ,nпричём коэффициенты этого разложения определяются по формуле:Cn   n dV .RN1Семестр 4. Лекции 7.Здесь интегрирование производится по всей области R N изменения пространственных переменных размерности N. При использовании декартовой системы координат в одномерных задачах dV  dx для N  1, в двумерных задачах dV  dxdy для N  2 и в трёхмерных задачах dV  dxdydz для N  3 .Если для некоторого квантового состояния волновая функция  не является собственной функцией оператора Ф̂ , то в этом квантовом состоянии физическая величина f не имеетопределённого значения.

Вероятность Pn того, что при измерении физической величины f вэтом квантовом состоянии будет получено численное значение f n , находится по формуле:Pn  Cn ,а среднее значение (математическое ожидание) физической величины по результатамбольшого числа измерений можно определить следующим образом: f    Pn f n     (Фˆ  )dV .2nRNУчитывая важность этой формулы, её часто рассматривают как четвёртый постулат квантовой механики.Необходимым и достаточным условием возможности одновременного точного измерения двух физических величин a и b является коммутативность соответствующихим операторов Â и B̂ , т.е. выполнение равенства:ˆ ˆ  BAˆ ˆ  0. Aˆ , Bˆ   ABЕсли же коммутатор  Aˆ , Bˆ  двух операторов не равен нулю, то соответствующие имдве физические величины не могут быть измерены одновременно точно. Для таких физическихвеличин справедливы соотношения неопределённостей вида: a b  0 , утверждающие, чтообе неопределённости a и b не могут одновременно стремиться к нулю.Операторы основных физических величин квантовой механики.В работах М.

Борна, П. Дирака и других учёных был сформулирован второй постулатквантовой механики, утверждающий, что каждой физической величине соответствуетопределённый оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике.Оператор – что это такое? Оператор – это математическое правило, следуя которому можно преобразовать одну функцию в другую. Задать оператор – значит определитьрецепт этого преобразования. Такое преобразование может быть простым умножением исходной функции на число или известную функцию, дифференцированием функции, перестановкой аргументов функции и др.В квантовой механике в качестве символа соответствующего оператора используетсяклассическое обозначение физической величины со «шляпкой» над буквой в виде значка «  ».Например, x̂ - это оператор координаты, pˆ x - оператор проекции импульса на ось x, Û - оператор потенциальной энергии и т.

д. Оператор предполагается действующим на написанную заним функцию. В качестве таких функций в квантовой механике выступают волновые функции.Определим операторы основных физических величин в квантовой механике.Оператор координаты. Действие этого оператора на волновую функцию сводится к умножению её на соответствующую координату, т.

е.ẑ     z   .x̂     x   ,ŷ     y   ,В символической операторной форме записи эти операции имеют вид:xˆ  x, yˆ  y, zˆ  z.2Семестр 4. Лекции 7.Объединяя эти формулы, можно ввести векторный оператор r̂ , соответствующий радиусвектору r в классической механике. Такой оператор формально рассматривается как некоторый вектор, имеющий в качестве компонент в декартовой прямоугольной системе координатоператоры xˆ, yˆ , zˆ.

Поэтомуrˆ  e xˆ  e yˆ  e zˆ ,xyzгде ex , ey , ez - единичные орты координатных осей.Найдём коммутатор операторов координат разных координатных осей, например,осей X и Y: xˆ, yˆ      xˆ  yˆ     yˆ  xˆ     x  y    y  x    0 , т.е.  xˆ, yˆ   0 .Так как коммутатор операторов этих координат равен нулю, следовательно, координаты могутбыть одновременно измерены с любой точностью.Собственные числа оператора координаты – это значения координат. Очевидно,что эти значения - действительные числа.

Оператор координаты обладает непрерывным спектром, поэтому среднее значение, например, координаты x определяется равенством2x   * ˆx    dV   * xdV   x  dV .VVVОператор импульса. С помощью операций дифференцирования по координатам определимоператоры проекций импульса на оси декартовой системы координат:, p̂ y    , p̂z    .p̂x    i yi xi zВ символической операторной форме записи эти операции имеют вид:.pˆ x  i, pˆ y  i, pˆ z  ixyzКоммутатор операторов проекций импульса на разные координатные оси:       ˆpx , ˆp y      ˆpx  ˆp y      ˆp y  ˆpx       0.i x  i y  i y  i x Т.е.

в этом случае проекции импульсов могут быть измерены одновременно с произвольнойточностью.Найдём коммутатор операторов координаты и проекции импульса на одну и ту жеось: x . x   x  ˆpx ,xˆ      ˆpx  ˆx      ˆx  ˆpx      xi xi xi x i i x  iТаким образом,  ˆpx ,xˆ   i  Iˆ , где Î - единичный оператор, т.е.

Î      .С учётом того, чтоÎ  1 для импульса вдоль оси Х и координаты х можно написать соот-ношение: x  px . Т.е. эти величины являются канонически сопряжёнными.2Найдём коммутатор операторов координаты и проекции импульса на разные оси:  y     y  ˆpx , ˆy      ˆpx  ˆy      ˆy  ˆpx       0.i x i x Т.е.

эти величины не являются канонически сопряжёнными и могут быть измерены одновременно точно.Собственные значения оператора проекции импульса – это значения проекции импульса. Найдём собственные функции оператора проекции импульса на ось. Для этого надоразрешить операторное уравнение p̂x     px   . С учётом определения оператора получаем3Семестр 4. Лекции 7.обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка: px   , которое решаемi xi x xpdметодом разделения переменных:, где С не зависит от х. i x  dx , откуда   C  eОператор вектора импульса:ˆp     e ˆp     e ˆp     e ˆp      e   e   e   ,x xy yz zxyzi xi yi ziгде оператор «набла» в декартовых координатах задаётся в виде:  ex ey ez .xyzВ символической операторной форме оператор вектора импульса запишем какpp̂  i  .Используя соотношение классической механики для квадрата импульса:p 2  px2  py2  pz2  px px  py p y  pz pz ,определим оператор квадрата импульса: 222 pˆ 2  ( pˆ x )2  ( pˆ y )2  ( pˆ z )2   2  2  2  2  . x y z Используя символ оператора Лапласа, запишем предыдущее соотношение в более компактномвиде:p̂ 2   2  .Оператор момента импульса.

Для построения оператора квантовой механики, соответствующего некоторой динамической переменной в классической механике, следует сначала записатьклассическое выражение этой величины через импульс и координаты, а затем заменить импульси координату соответствующими операторами.В классической физике вектор момента импульса относительно некоторой точки определяетсяex ey ezвыражением: L  R  p  xyz  ex  ypz  zp y   e y  zpx  xpz   ez  xp y  yp x  ,pxpypzгде ex , e y , ez - орты декартовой системы координат.Тогда вектор-оператор момента импульса должен принять видˆ ˆˆ z  ˆzpˆ y   ey  ˆzpˆ x  ˆˆˆ x.L  R  ˆp  ex  ˆypxpz   ez  ˆˆxp y  ˆypОператоры проекций момента импульса на координатные оси:  ˆ ˆ z  zpˆ ˆ y  i  y  z  ,Lˆx  ypy  z  ˆˆ z  i  z  x  ,ˆ ˆ x  xpLˆ y  zpz  x  ˆˆ y  ypˆ ˆ x  i  x  y  .Lˆz  xpx  yОтметим, что задачи квантовой механики, описывающие системы со сферической симметрией,удобнее решать не в декартовой прямоугольной, а в сферической системе координат: (r , ,  ) .Переходя от декартовых координат к сферическим, по обычным правилам замены переменных: x  r sin  cos  , y  r sin sin  , z  r cos  , запишем операторные соотношения, определяющие операторы проекций момента импульса:4Семестр 4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций