5-6 (982757)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семестр 4. Лекции 5-6.Лекции 5 - 6. Стационарные задачи квантовой механики.Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Частица в трёхмерномпрямоугольном потенциальном ящике. Понятие о вырождении энергетических уровней.Одномерный потенциальный порог и барьер. Туннельный эффект. Сканирующий туннельный микроскоп. Гармонический осциллятор.Задача о бесконечно глубокой потенциальной яме.Частица массы m находится в ограниченной одномерной области, за пределы которойона проникнуть не может. Внутри области нет потенциальной энергии: (U=0), а снаружи потенциальная энергия принимает бесконечно большие значения.

Поэтому на границе области на частицу действует бесконечно большая возвращающая сила. (Говорят, что стенки ямы непроницаемые для частицы).Математическая постановка задачи:Область    x 0  x  a .UU0, x  Потенциальная энергия: U  x    , x  Т.к. частица не может выйти из ямы, то волновая функциячастицы вне ямы равна нулю:   x   0 при x  .Следовательно, на границе ямы волновая функцияxдолжна обращаться в нуль:0a  0  0 и   a   0 .Поэтому и координатная часть волновой функции тоже обращается в нуль в граничныхточках:  0  0 и   a   0 .Координатная часть является решением уравнения Шрёдингера для стационарного со2mстояния:   2  E  U     0 , которое в одномерном случае для области внутри ямы приметвид:d 2  2m 2 E   0.dx 2d 22m2Если ввести обозначение: k  2 E , то уравнение k 2    0 имеет решение в виде:2dx  A  sin  kx    .Для поиска значений постоянных k и  в решение подставляем граничные условия:  0  A  sin     0 , откуда следует, что можно принять   0 ,  a   A  sin  ka   0 .

Это значит, что ka  n , где n  1, 2,3,... , т.е. k Поэтому решение примет вид:n.a n   A  sin x . a aДля поиска значения А используем условие нормировки: P  0  x  a     dx  1 .20Ноa0a2dx  0 2n a1  cos x22A Aa22a  2n  2  n A  sin  x  dx  A  dx xsin x a.22 2n  a   02 a 0a1Семестр 4. Лекции 5-6.2. В данной задаче нет комплексных чисел, поэтому можно считать, что числоa22 n А является действительным и положительным, т.е. A .

Тогда  n  sin x.aa a Поэтому A 2Значения энергии частицы определяются из соотношения: k 22m2 n E    , т.е. a 22 2 2n - энергия зависит от номера n. Целое число n, определяющее значение энергии2ma 2частицы, называется главным квантовым числом.2 n В итоге, любому натуральному числу n соответствует решение  n sin x  и значеa a Ei n t2 2 2ние энергии En .n .

Пси-функция:  n   n e2ma 2Энергия частицы в бесконечно глубокой яме принимает дискретные значения, или,как говорят, квантуется.Случай n = 0 не рассматриваем, т.к. при n = 0 получаем, что  0  0 , т.е. частицы нет вяме.Состояние частицы с минимальным значением энергии (n=1) называется основнымсостоянием. Остальные состояния (для n>1) называются возбуждёнными: n=2 – первое возбуждённое состояние, n=3 – второе возбуждённое состояние и т.д.Разностьсоседнихуровнейэнергииприбольшихзначенияхn:2 22 22 22 22E  En 1  En n  1 n2 2n  1 n2 22 2ma2ma2mama 2пропорциональна номеру n.Для молекулы газа с массой m  1027 кг в области с размером a  0,1 м эта разностьравна E  1038 n Дж или E  1019 n эВ.

Учитывая, что при Т=300 К энергия тепловогодвижения порядка ET  1021 Дж, то дискретностью уровней энергии частицы можно пренебречь.Но для электрона m  9,11031 кг в области a 1010 м (порядок размера атома)E 1017 n Дж, что уже соизмеримо со значением тепловой энергии.Замечание. Найдём вектор плотности потока вероятности для частицы в яме:ijgrad *  * grad   .2mi  *  *Т.к. задача одномерная, то j   jx ,0,0  , где jx .2m xx EИз соотношения для пси-функция:  n   n eiEntследует: jx  n i  * n * n n.2m xx 2 n sin  x  следует, чтоa a * n i   njx  * n n  0,2m xx т.е.

вероятность нахождения частицы в яме не изменяется.Из вещественности решения:  n  * n 2Семестр 4. Лекции 5-6.Частица в трёхмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками.Частица массы m находится в трёхмерной области, за пределы которой она проникнутьне может. Внутри области нет потенциальной энергии: (U=0), а снаружи потенциальная энергия принимает бесконечно большие значения. Поэтому на границе области на частицу действует бесконечно большая возвращающая сила.Математическая постановка задачи.Область   x, y,z  0  x  a, 0  y  b, 0  z  c .0,  x, y,z   .U  x, y,z    ,  x, y,z   Т.к.

частица не может выйти из ямы, то волновая функция частицы вне ямы равна нулю:  x, y,z   0 при  x, y,z   .Следовательно, ввиду непрерывности волновой функции, она должна обращаться внуль на границе ямы:  0, y,z   0 и  a, y,z   0 ;Потенциальная энергия:  x,0,z   0и  x,b,z   0 ;  x, y,0   0 и   x, y,c   0 .Поэтому и координатная часть волновой функции тоже обращается в нуль в граничныхточках.Координатная часть является решением уравнения Шрёдингера для стационарного со2mстояния:   2  E  U     0 , которое в трёхмерном случае для области внутри ямы приметвид: 2   2   2  2m 2 E   0.x 2 y 2 z 2Решение ищем в виде произведения трёх функций, каждая из которых зависит только от однойиз координат:   A  X  x   Y  y   Z  z  .

После подстановки  в уравнение, получаем:A  X xx  Y  Z  A  X  Yyy  Z  A  X  Y  Z zz 2m2E  A  X Y  Z  0 ,теперь разделим на A  X  Y  Z . Тогда в полученном уравнении видим:X xx Yyy Z zz 2m 2 E  0.XYZПервые три слагаемые зависят от трёх разных аргументов, но сумма является постоянным числом. Это возможно, если каждое из слагаемых – постоянное число. Например,YyyX xxZ zz k22 , k12 ,  k32 .YXZТогда исходное уравнение от трёх переменных распадается на три одномерных уравнения, ирешения этих уравнений должны быть ограниченными. Решая их с учётом граничных условийкак в предыдущем случае, получаем решения:nnnk1  1 , k2  2 , k3  3 .abc222n  n n  X sin  1 x  , Y  sin  2 y  , Z  sin  3 z  .abc a  b  c 8n  n n   sin  1 x   sin  2 y   sin  3 z  .abc a  b  c 3Семестр 4.

Лекции 5-6.Из равенства: k12  k22  k32 2m2E0находим выражение для энергии:2 2  n12 n22 n32    .2m  a 2 b 2 c 2 Откуда видно, что и в этом случае энергия принимает дискретные значения.Предположим, что яма является кубической, т.е. a  b  c . Тогда из выражения для энергии2 2 2En  n22  n32 2  12maвидно, что возможны случаи, когда одному значению энергию соответствуют различные псифункции.Определение.

Совокупность (различных) состояний, в которых частица имеет одинаковоезначение энергии, называется вырожденным состоянием. Количество таких состояний(для одного и того же значения энергии) называется кратностью вырождения уровня энергии. Если кратность уровня энергии равна единице, то говорят, что уровень энергии не вырожден.Пример. Найдём кратность вырождения уровней энергии (с 1-го по 6-й) в кубической потенциальной яме.Вид пси-функции определяется набором трех натуральных чисел  n1 ,n2 ,n3  :E2k2m21 k22  k32  8n  n n   sin  1 x   sin  2 y   sin  3 z  ,abc a  b  c а значение энергии зависит от «квадрата длины набора»  n12  n22  n32  :2 2 2n  n22  n32  .2  12maЗначения энергии в приведённой ниже таблице упорядочиваем по величине.EКратность вырождения равна числу наборов «одной длины».№Наборы чисел  n1 ,n2 ,n3 Значение энергииКратность вырождения11,1,112 2,1,1 , 1,2,1 , 1,1,23 2,2,1 , 1,2,2 ,  2,1,24 3,1,1 , 1,3,1 , 1,1,35 2, 2, 2 61,2,3 ,  2,1,3 , 1,3,2 , 3,1,2 ,  3,2,1 ,  2,3,132 22ma 232 2E2 ma 29 2 2E3 2ma 2112 2E4 2ma 26 2 2E5 ma 27 2 2E6 ma 24E1 33316Семестр 4.

Лекции 5-6.Падение частицы на потенциальный порог.IIIU0E0x1. Частица массы m с энергией Е движется вдоль оси Х,сначала в области I, где потенциальная энергия меньшеэнергии частицы, и налетает на область II (на порог), вкоторой потенциальная энергия больше энергии частицы: U0>E (высокий потенциальный порог). Пустьдля области I x < 0, а для области II – x > 0.Примем зависимость потенциальной энергии в виде:0 , x  0U  x  .U 0 , x  0Уравнение Шрёдингера для стационарного состояния в области I:d 2  I 2m 2 E  I  0 .dx 2Соответственно, решение этого уравнения: I  C1eik1x  C2eik1x , где k12 2m2E.В области I решение является суперпозицией падающей на порог и отражённой от порогаволн:. I   IПАД  ОТРIТ.к. уравнение падающей (распространяющейся в положительном направлении оси Х) на порогволны де Бройля должно иметь вид: ПАД  C1  eE i  n t  k1x  C1  eik1x  eiEnt,то в решении для области I падающей волне соответствует координатная часть:  IПАД  C1eik1x .Соответственно, отражённую волну де Бройля описывает пси-функция, координатная частькоторой имеет вид: ОТР C2 eik1x .IУравнение Шрёдингера для стационарного состояния области II:d 2 II 2m 2 U 0  E    II  0 ,dx 22mU  E .его решение имеет вид:  II  C3e k2 x  C4ek2 x , где k2 2  0Оставляем только решение, убывающее при x + .

(Этому соответствует условие того,что вероятность нахождения частицы внутри барьера убывает с глубиной.) Поэтому прошедшаяволна:  IIПРОШ  C3e k2 x .Граничными условиями являются непрерывность функции  и её первой производной x на границе порога при x  0 :dId I  0    II  0  , 0   II  0  ,dxdxC 1  C2  C3откуда получаем систему для определения коэффициентов: .ik1C1  ik1C2  k2C3Решение этой системы имеет вид: C2  k2  ik1  C , ik1  k2  1C3 2ik1C. ik1  k2  15Семестр 4.

Лекции 5-6.Эффективной глубиной L проникновения частицы в область порога называется расстояние от границы порога, на котором плотности вероятности обнаружения частицыуменьшается в е раз.Найдём L. По определению:откуда:e2k2 L  e , IIПРОШ  0 2 IIПРОШ  L 22k 2 L  1 ,LC32C3e k2 L2 e,211.2k2 2 2m U 0  E Замечание. Из последней формулы следует, что при увеличении «высоты» порога: U 0  эффективная глубина проникновения уменьшается: L  0 .Для нашей одномерной задачи вектор плотности потока вероятности имеет толькоодну составляющую вдоль оси X. Найдём её для падающей волны:ik1 x *ПАД *ПАД Ce  C1eik1x  *ii1ik1 xik1 x *ПАДПАДПАДjx   C1e  C1e 2mxx2mxx .ii2C1C1* eik1x  ik1  e ik1x   C1* C1e ik1x   ik1  eik1x  2ik1C12m2mПлотность потока вероятности отражённой волны: ik1 x *ОТР *ОТР Ce  C2e ik1x  *ii2 ik1 x ik1 x *ОТРОТРОТРjx   C2 e  C2 e 2m xx  2m xx .ii2C2C2* e  ik1xik1eik1x   C2* C2eik1x   ik1   e ik1x   2ik1C22m2mКоэффициент отражения от порога равен:i2222ikCОТР12jC2k2  ik12mR  ПАД  1,i2C1ik1  k2j2ik1C12mт.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций