Операция матан-все серьезно (974189)
Текст из файла
1. Сформулируйте и докажите теорему Ролля. [Л. 18]Теорема (Ролля). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема наинтервале (a,b), и пусть f (a) = f (b). Тогда на интервале (a, b) найдётся точка c такая, что f (c) = 0.\Доказательство:Пусть дана функция y = f (x ) .1. Определена и непрерывна на отрезке [ a; b] .2. Дифференцируема на интервале ( a; b) .3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения. f ( a ) = f (b) .Тогда найдется, по крайней мере, 1 (•) E , принадлежащая интервалу ( a; b ) : f ′( E ) = 0 .Доказательство: Т.к. функция f (x ) непрерывна на отрезке [ a; b] , то согласно 2 теоремеВейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.m = min f ( x ) , x ∈ [ a; b] ,M = max f ( x ) , x ∈ [ a; b] .Случаи:m = M ⇒ f ( x ) = const , E - любое из интервала ( a; b)m ≠ M ⇒ в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального илимаксимального достигается функцией во внутренней точке интервала ( a; b) .Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале ( a; b) влюбой точке, то по теореме Ферма существует E : f ′( E ) = 0 .1.2.2.
Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа. [Л. 18]Теорема (Лагранжа). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема наинтервале (a, b). Тогда на этом интервале существует точка c такая, что f (b) − f (a) = f (c) · (b − a).Доказательство:Пусть функция y = f (x) .1. Определена и непрерывна на отрезке [ a; b] .2. Дифференцируема на интервале ( a; b) .Тогда существует E из интервала ( a; b ) : f (b ) − f ( a ) = f ′( E ) ⋅ (b − a ) .Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функциюF ( x ) = f ( x ) − λ ⋅ x , где λконстанта.λ : F (a ) = F (b)f (a ) − λ ⋅ a = f (b) − λ ⋅ bλ=f (b) − f (a )b−a1. Она непрерывна на [ a; b]2.
дифференцируема на ( a; b) .Все условия теоремы Ролля выполняются ⇒ существует E из ( a; b ) : F ′( E ) = 0F ′( x ) = f ′( x) − λ ⇒ f ′( E ) = λ =f (b ) − f ( a )b−a-3. Сформулируйте и докажите теорему Коши. [Л. 18]Теорема (Коши). Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы наинтервале (a, b), причём g (x) отлична от нуля в каждой точке этого интервала. Тогда на (a, b)найдется точка c такая, чтоf (b) − f ( a ) f ′(ξ )=, ξ ∈ ( a, b) .g (b) − g ( a ) g ′(ξ )Доказательство:Пусть функции f(x) и g(x): 1) определены и непрерывна на [a,b]; 2) дифференцируемы наинтервале (a,b); 3) g ′( x ) ≠ 0∀x ∈ ( a , b ) тогдаf (b) − f ( a ) f ′(ξ )=, ξ ∈ ( a, b) .g (b) − g ( a ) g ′(ξ )Доказательство: g (b) ≠ g ( a ); Вводим вспомогательную функциюf (b ) − f ( a )* ( g ( x) − g ( a )) .
Эта функция удовлетворяет всем условиямg (b ) − g ( a )теоремы Ролля: 1) F (x ) непрерывна на [a,b]; 2) F (x ) дифференцируема на (a,b); 3)F ( a) = F (b) = 0 .F ( x) = f ( x) − f ( a) −∃ξ ∈ ( a, b) : F ′(ξ ) = 0 (по теор. Ролля). f ′(ξ ) −f (b ) − f ( a )* g ′(ξ ) = 0 .g (b ) − g ( a )f (b) − f ( a ) f ′(ξ )=, ξ ∈ ( a, b) .g (b) − g (a ) g ′(ξ )4. Сформулируйте и докажите теорему Ферма. [Л. 18]Теорема (Ферма). Пусть функция f (x) определена на промежутке I и в некоторой внутренней точкеx0 этого промежутка принимает наибольшее (или наименьшее) значение на этом промежутке.Тогда, если существует производная f (x0 ), то эта производная равна нулю.Доказательство:(Для наибольшего значения). Пусть f (ξ ) > f ( x ), ∀x ∈ ( a; b).
∃f ′(ξ ) = limx →ξf +′ (ξ ) = limx →ξ + 0f ( x) − f (ξ )≤ 0;x −ξ∃f ′(ξ ) ⇒ f +′ (ξ ) = f −′ (ξ ) = 0 .f ′(ξ ) = limx →ξ + 0f ( x) − f (ξ ).x −ξf ( x) − f (ξ )≥ 0 ; Т.к.x −ξ5. Сформулируйте и докажите теорему Бернулли -Лопиталя для пределаотношения двух бесконечно малых функций. [Л. 18]0Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы вx → a , причем g ′( x ) ≠ 0 вРассмотрим { xn → a, xn ∈x →∞f ′( x)0U (a) , представляют собой б.м.ф. приf ′( x)f ( x)f ( x)U (a) . Если ∃ lim g ′( x) ⇒ lim g ( x) , lim g ′( x) = lim g ( x) .Доказательство:x→ax→ax→ax→a0U (a) . Доопределим по непрерывности данные функции нулем в точке a (f(a)=0,g(a)=0). Тогда на [a, xn ] функции f(x) и g(x) непрерывны, на (a; xn ) f(x) и g(x) дифференцируемы.
По теоремеf ( x n ) − f (a) f ′(ξ n )f ( x n ) f ′(ξ n )=⇒=при n → ∞, x n → a ⇒ ξ n → a поg ( x n ) − g (a) g ′(ξ n )g ( x n ) g ′(ξ n )f ′(ξ n )f ( xn )f ( x)f ′( x)⇒ lim⇒ ∃ lim= limусловию теоремы ∃ lim>Замечание 1: точка а может бытьx → ∞ g ′(ξ )x →∞ g ( x )x →a g ( x)x → a g ′( x )nnКоши ∃ξ n ∈ ( a; x n ) :0бесконечной, тогда0U (a) = (b;+∞) или U (a) = (−∞; c). Формулировка: пусть f(x) b g(x) определены идифференцируемы на (b;+∞ ) и представл.
Б.м.ф. при x → +∞ , причем g ′( x ) ≠ 0, ∀x ∈ (b;+∞ ). Еслиf ′( x)f ( x)f ′( x)⇒ ∃ lim= lim. Замечание 2: если f ′(x ) и g ′(x) удовлетворяют всем условиям Бx → +∞ g ′( x )x → +∞ g ( x )x → +∞ g ′( x )f ′′( x)f ′( x)f ′′( x)f ( x)Л и ∃ lim, то ∃ lim= ∃ lim= limи т. д.x → a g ′′( x )x → a g ′( x )x → a g ′′( x)x →a g ( x )∃ lim6.Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе внеравенстве. [Л 5]Теорема (о предельном переходе в неравенстве).
Пусть функции f (x) и g(x) определены впроколотой окрестности U (x0 ) точки x0 , причем для любого x ∈ U (x0 ) выполняется неравенство f(x)>= g(x). Тогда, если эти функции имеют пределы a = (x→x0) lim f (x) и b =( x→x0) lim f (x), то a>=b.Пусть f 1 ( x ) при x → a имеет конечный предел А1, f 2 ( x ) при x → a имеет конечный предел А2, и00существует U (a) : f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) для ∀x ∈ U (a) , тогда A1 ≤ A2 . Доказательство:∃ lim f1 ( x ) = A1 ⇔ ∀{xn } n→ a , x n ≠ a ⇒ { f1 ( xn )} n→ A1→∞→∞x→a∃ lim f 2 ( x ) = A2 ⇔ ∀{xn } n→ a , xn ≠ a ⇒ { f 2 ( xn )} n→ A2→∞→∞x→a∀E > 0∃N1 ( E ) : ∀n > N1 ( E ) ⇒| f1 ( xn ) − A1 |≤ E∀E > 0∃N 2 ( E ) : ∀n > N 2 ( E ) ⇒| f 2 ( xn ) − A2 |≤ EA1 − E ≤ f1 ( xn ) ≤ f 2 ( xn ) ≤ A2 + E ⇒ A1 ≤ A2Пусть E <| A2 − A1 |2Это неравенство выполняется для любого n > 0 , N = max( N 1 ( E ); N 2 ( E )) отсюда A1 ≤ A27.
Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченностифункции, имеющей конечный предел.Теорема (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Для функции f (x), имеющей(конечный) предел при x → x0 существует проколотая окрестность этой точки, на которой даннаяфункция ограничена.Доказательство. Пусть a = (x→x0)lim f (x).
Тогда для положительного числа 1 найдется δ > 0такое, что при 0 < |x − x0 | < δ выполняется неравенство |f (x) − a| < 1. Отсюда |f (x)| = |f (x) − a +a|<= |f (x) − a| + |a| < 1 + |a|, т.е. |f (x)| < 1 + |a|, и мы видим, что f (x) ограничена в проколотой δокрестности (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) точки x0 .8.Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции.
[Л 5]Теорема (о пределе промежуточной функции). Пусть для всех x из некоторой проколотойокрестности U (x0 ) точки x0 выполняется двойное неравенство f (x)<g(x)<=h(x) , и пустьсуществуют пределы lim f(x) и lim h(x), равные од ному и тому же числу a. Тогда и lim (x→x0)g(x)= a.Доказательство:Пусть функции f 1 ( x ) и f 2 ( x ) имеет конечный предел А при x → a и пусть00∃ U ( a ) : f 1 ( x) ≤ g ( x) ≤ f 2 ( x), тогда ∃ lim g 1 ( x) = A, ∀x ∈ U ( a )x →aДоказательство:∃ lim f1 ( x) = A ⇔ ∀{xn } n→ a , x n ≠ a ⇒ { f1 ( x n )} n→ A→∞→∞x →a∃ lim f 2 ( x) = A ⇔ ∀{xn } n→ a , x n ≠ a ⇒ { f 2 ( x n )} n→ A→∞→∞x →a∀E > 0∃N 1 ( E ) : ∀n > N 1 ( E ) ⇒| f1 ( x n ) − A |< E∀E > 0∃N 2 ( E ) : ∀n > N 2 ( E ) ⇒| f 2 ( x n ) − A |< EРассмотрим N = max( N 1 ( E ); N 2 ( E )) , начиная с некоторого номера N { f 1 ( x )} и { f 2 ( x )} ,будут одинакого выполняться A − ε < f 1 ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f 2 ( x ) < A + ε , ∀n > N .
Значит,0| g ( x) − A |< ε ⇒ ∃ lim g1 ( x) = A, ∀x ∈ U ( a )x →a9. Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции. [Л. 6]Теорема (о пределе сложной функции). Пусть функция f (x) определена в проколотой окрестноститочки x0 и принимает значения в проколотой окрестности V (y0 ) точки y0 , причём lim(x→x0)f (x) = y0 .Тогда, если функция g(y) определена на V (y0 ), и lim(y→y0) g(y) = a, то и lim (x→x0)g(f (x)) = a.Доказательство.
Пусть задано ε > 0. Т.к. lim g(y) = a, то для ε найдётся δ = δ(ε) > 0 такое, чтопри 0 < |y − y0 | < δ выполняется неравенство |g(y) − a| < ε. Для положительного числа δ в силуравенства lim (x→x0)f (x) = y0 существует число η = η(δ) > 0 такое, что при всех x, 0 < |x − x0 | < η,имеет место неравенство |f (x) − y0 | < δ; при этом в силу того, что f (x) ∈ V (y), и,следовательно, f (x) = y0 , выполняется также неравенство |f (x) − y0 | > 0. Таким образом, позаданному ε > 0 мы нашли η > 0 такое, что при всех x, 0 < |x−x0 | < η, выполняется неравенство0 < |f (x) − y0 | < δ; в таком случае для всех указанных x выполняется неравенство |g(f (x)) − a| <ε. Это означает, что lim(x→x0)g(f (x)) = a.10.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
