Операция матан-все серьезно (974189), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Сформулируйте и докажите теорему о знакопостоянстве функцииимеющей не нулевой предел.Если предел f(x)=b(>0), (x->x0), то существует g(x0) в пределах которой, ф. f(x)>0.Доказательство: b>0 и b=lim f(x) (x->x0) для всех E>0, существует q=q(E), 0(x-x0)<q, |f(x)-b|,<E-E+b<f(x)<E+b,E=b 0<f(x)<2bb>011. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом условии возрастаниядифференцируемой функции.Для того, чтобы f (x ) , определённая и дифференцируемая на интервале (а;b) была возраст. на этом интервале,необходимо, чтобы , f ′( x ) ≥ 0 .Дано:f(x)-возраст.Док-ть: f ′( x ) ≥ 0 .→ f ( x) ≥ f ( x0 ) ;Доказательство: из опред. возраст.
ф-ции ⇒ ∀x ∈ (a, b) : x > x0 ∀x ∈ (a, b) : x < x0 → f ( x) ≤ f ( x0 ) ;f ( x ) − f ( x0 )f ( x ) − f ( x0 )≥ 0 . Т.к. f(x) – диф-ма, то ∃ lim= f ′( x0 ) .x→ x0x − x0x − x0По св-ву сохранения знака нестрогого нер-ва при предельном переходе : f ′( x0 ) ≥ 0 .⇒ если x ∈ ( a, b)( x ≠ x0 ) , то(2 дост.- по т. Лагранжа).12. Сформулировать определение числовой последовательности.Предел числовой последовательности-предел последовательности элементов числовогопространствачисловое пространство- это метрическое пространство, расстояние в котором определяется какмодуль разности между элементами13. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела.ε = (a – b) / 314. Сформулируйте и докажите теорему о достаточном условиивозрастания дифференцируемой функции.15. Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения.16.
Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. [Л. 14]Теорема. Пусть ф-ция F(x) определена вU (a)и имеет вU (a)производные до (n+1)-гопорядка включительно. Пусть x – произвольное значение аргумента ф-ции изU (a) , тогда дляпроизвольного значения P, p>0 ∃ξ , расположенная между a и x, такие что справедливаследующаяf ( x) = f (a) +Rn ( x ) = (формула:f ′(a )f ′′( a )f (a)* ( x − a) +* ( x − a ) 2 + ... +* ( x − a ) n + Rn ( x) .1!2!n!(n)x − a p ( x − ξ ) n+1) **fx −ξn!* pn +1(ξ ) .
Формула называется формулой Тейлора с центром вточке a; Rn (x ) - остаточный член в формуле Тейлора в общем виде.< Pn ( x, a ) = f (a ) +f ′( a )f n (a)* ( x − a ) + ... +* ( x − a ) n эта функция – многочлен степени n1!n!– многочлен Тейлора с центром в точке а.Обозначим f ( x ) − Pn ( x, a ) = Rn ( x ) . Рассмотрим вспомогательную функцию ψ (t ) .ψ (t ) = f ( x ) − Pn ( x, t ) − ( x − t ) p * Q ( x ) , где Q( x) =Rn ( x ).
Покажем, что на [a;x] ψ (t )( x − a) pудовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:1) непрерывность на [a;x];2) дифференцируема на (a;x);3) ψ ( a ) = f ( x ) − f ( a ) − f ′( a ) * ( x − a ) − ... −f(n)(a)* ( x − a) p − ( x − a) p .n!Rn ( x )= Rn ( x) − Rn ( x) = 0 n!p( x − a)ψ ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 ; ψ ( a) = ψ ( x) = 0 ; ∃ξ ∈ ( a; x ) : ψ ′(ξ ) = 0f ′(t )f ( n ) (t )* ( x − t ) − ... −* ( x − t ) n − ( x − t ) p * Q ( x ).1!n!f ′(t ) f ′′(t )2 f ′′(t )( x − t ) f ′′(t )f ( n+1) (t )2′′ψ (t ) = − f (t ) +−* (x − t) +−* ( x − t ) + ... −* ( x − t ) n + p( x − t ) p1!1!2!2!n!p −1( n +1)( n +1)p( x − ξ ) * Rn ( x) ff(ξ )(ξ )ψ ′(ξ ) = −* ( x − ξ ) n + p ( x − ξ ) p −1 * Q ( x ) = 0.=* (x − ξ )n ;pψ (t ) = f ( x) − f (t ) −n!Rn ( x ) =( x − a)n!f ( n +1) (ξ )( x − ξ ) n +1 x − a p*() >n! px −ξТеорема. Остаточный член в форме Тейлора представляет собой б.
м. более высокогопорядка малости, чем ( x − a ) n при x → a . R n ( x ) = o(( x − a ) n ) , x → a .Rn ( x )= 0.x →a ( x − a ) nДоказать: lim< limx→af ( x) − Pn ( x, a)= 0 ; ( f ′( x) − Pn′ ( x, a)) x = a =0;( x − a) n2 f ′′( a )n * f n (a )* ( x − a ) + ... +* ( x − a ) n−1 ;2!n!2! f ′′′( a )n * ( n − 1) f n ( a )Pn′′( x, a ) = f ′′( a ) +* ( x − a ) + ... +* ( a ); P ( n ) ( a, a ) = f ( n ) ( a );3!n!Rn ( x )f ′( x) − p ′n ( x, a)f n ( x ) − Pn( n ) ( x, a )lim= lim= n раз применяем пр.
Б-Л.= lim= 0.x→a ( x − a) nx →ax →an!n * ( x − a) n −1Pn′ ( x, a ) = f ′( a ) +Такую запись остаточного члена называют ост. Чл. В форме Пеано: R n ( x ) = o(( x − a ) n ) .17. Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции.18. Сформулируйте и докажите теорему о пределе суммы.19. Сформулируйте и докажите теорему о достаточном условиисуществования экстремума функции по первой производной. [Л. 15]20.
Сформулируйте и докажите теорему о достаточном условиисуществования экстремума функции по второй производной21. Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции.22. Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции.23. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом условиисуществования точки перегиба.24. Сформулируйте и докажите теорему о достаточном условиисуществования точки переги25. Сформулируйте и докажите теорему о пределе частного.26. Сформулировать теорему Ферма.Теорема (Ферма).
Пусть функция f (x) определена на промежутке I и в некоторойвнутренней точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (или наименьшее) значениена этом промежутке. Тогда, если существует производная f (x0 ), то эта производная равнанулю.27. Сформулировать теорему Бернулли-Лопиталя.28. Сформулировать теорему Коши.Теорема (Коши).
Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] идифференцируемы на интервале (a, b), причём g (x) отлична от нуля в каждой точке этогоинтервала. Тогда на (a, b) найдется точка c такая, чтоf (b) − f ( a ) f ′(ξ )=, ξ ∈ (a, b) .g (b) − g ( a ) g ′(ξ )29. Сформулировать теорему Лагранжа.Теорема (Лагранжа). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a,b). Тогда на этом интервале существует точка c такая, что f (b) − f (a) = f (c) · (b − a).30. Сформулировать определение непрерывности функции в точке.Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если- функция определена точке а и в ее окрестности-существует конечный предел-этот предел равен значению функции в точке а, то есть предел f(x) (x---a)=f(a)31.
Сформулировать теорему о достаточном условии существованияэкстремума функции по её первой производной.32. Сформулировать теорему о достаточном условии существованияэкстремума функции по её второй производной.33. Выпишите второй замечательный предел. Выпишите первыйзамечательный предел.sin x= 1 lim = (1 + 1 / x )^ x = ex → oox→0xlim34. Сформулировать теорему о достаточном условии выпуклости дваждыдифференцируемой функции.35.
Сформулируйте определение точки разрыва функции и дайтеклассификацию точек разрыва.Функция непрерывна в точке a если:1. Определена в окрестности a2. Ǝ конечный lim f(x) x a = A3. A = f(a)В противном случае а называется точкой разрыва:1. Устранимого разрыва, если Ǝ конечный lim f(x) x a = A, но либо функция не определена ва, либо f(a) ≠ A;2. Разрыва 1 рода, если правый и левый пределы в точка а конечны, но не равны междусобой.3. Разрыва второго рода, если хотя бы один из пределов в точке а не существует илибесконечен.36.
Сформулируйте теорему о необходимом условии существования точкиперегиба.37. Сравнение бесконечно малых функций ( и соответствующие определения).- две б.м функции называются бесконечно малыми одного порядка малости при х--а, еслипредел отношений этих функций равен С-если предел отношений равен нулю, то числитель является б.м функцией более высокогопорядка-если предел равен бесконечности, то числитель является б.м функций более низшего порядка38.
Сформулируйте теорему о достаточном условии существования точкиперегиба.39. Сформулируйте и докажите теорему о связи между бесконечно большой ибесконечно малой.Возьмём ε < 1/E, где Е – беск. большое число. |g(x)| < ε => |f(x)| = |1/g(x)| > 1/ε = E.40. Геометрический смысл дифференциала функции.Дифференциал функции в точке а равен приращению ординаты касательной, проведенной кграфику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента z.41.
Сравнение бесконечно больших функций ( и соответствующиеопределения).Две бесконечно большие функции называются сравнимыми если существует lim A(x)/B(x)…x>(oo)..=c.C=const, то одного порядкаC=0, то B(x)–более высокогоC=oo, то A(x)–более высокогоC=1,то A(x) эквивалентна B(x)42. Сформулируйте теорему о производной обратной функции.43. Сформулируйте и докажите теорему о связи дифференцируемости Инепрерывности функции.44. Сформулировать теорему о связи двустороннего предела функции содносторонними пределами.Если функциячислуимеет оба односторонних предела при, то существует двусторонний пределсуществует двусторонний пределони равны числу .и эти пределы равны одному и тому же, который также равен; наоборот, если, то существуют оба односторонних предела и оба45. Сформулировать свойство функции непрерывной на отрезке.Функция называется непрерывной на отрезке [a,b] , если она непрерывна на интервале [a,b] иявляется непрерывной справа в точке a и непрерывной слева в точке b.46.
Сформулировать определение производной функции в точках.Производной от функции f(x)=y в точке х0 называется предел отношения DeltaY: DeltaX, DeltaX->0:производная y(x0)=производной f(x0)=lim (f(x)-f(x0+DeltaX))/(x-x0)…x->x0+DeltaX..=производнойf(x0+DeltaX)=производной f(x0).47. Сформулировать теорему об эквивалентных бесконечно малых функций.Бесконечно малыми функциями a(x) и b(x) называются эквивалентными, если они бесконечно малыеодного порядка, при x->a, если lim(a(x)/b(x))=1…(x->a).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
