Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (969549), страница 12
Текст из файла (страница 12)
для любых вещественных х1,...,х„. Здесь Дх (х~) — клотность вероятности случайной величиньг Х~, й =1,...,л. $2. Числовые характерисппси гг-мерной случайной величины В пределах первых двух моментов числовыми характеристиками и-мерной случайной величины являются следующие: 1. и математических ожиданий компонент Х; а-мерной случайной величины: гггг =МХ;, г = 1,...,гг, образующих ее центр распределения (т1,...,т„), т. е. точку п-мерного пространства, около которой группируются значения и- мерной случайной величины. 2. л дисперсий компонент и-мерной случайной величины: Х~ =М (Х; — х;), г=1,...,и, характеризующих ее рассеяние в направлениях координатных осей.
3. п(гг- 1) корреляционных моментов всевозможных пар Х;, Х компонент и -мерной случайной величины: К; =М](Х; — т)(Х вЂ” т )], г',~'=1,...,и; ги). Эти корреляционные моменты характеризуют взаимную связь между компонентами и-мерной случайной величины. Все корреляционные моменты и дисперсии удобно записать в виде матрицы: ~11 ~12 '" ~1л (1~~.,) ~'21 ~22 ..
1'2п !/ ~м1 ~л2 ." '~.ии которая называется ковариационной матрицей и-мерной случайной величины. По ее главной диагонали стоят дисперсии компонент, так как Кл — — О;, г =1,...,п. Ковариационная матрица — симметрическая; ее элементы, симметричные отно- сительно главной диагонали, равны: К, = К;, ~,~ =1,...,п. $3. Полнномнальное и л-мерное нормальное распределения и и ехр — ~~~~~~~~С:;~(х, — т;)(х — т ), (3.2) Ух ...х„(х1 "" х ) !=1 ~'=! где квадратический полином п и Ях~,...
х„) = ~ ~С, (х; -щ) ~х — т ), с=1 у=1 (3.3) 1~. Полиномиальиое расиределеиие задается формулой — — ~! ~2 ~в Р(Х, =~,,Х =~2,...,Х„=И„)= —...р,'р '...р„". (3.1) Здесь 1~+12+...+й„=т; О~й;(т; р~+р2+...+р„=1; 0<р, <1; т' =1,2,...,и. Это распределение возникает в следующей полиномиальной схеме т независимых испытаний с и исходами в каждом из них, Производится т независимых испытаний, в каждом их которых событие А, может появляться с вероятностью р; (г =1,2,...,п). Все эти события попарно несовместны и составляют полную группу.
Ставится задача — найти вероятность Р(Х~ =й~,...,Х„=й„) того, что в этих т испытаниях событие А~ появится точно й~ раз и так далее, событие А„, — точно й, ры, безразлично в каком порядке, Если случайная величина Х; означает число появлений события А; в этих т испытаниях 0 = 1, 2,..., и), то приходим к формуле (3.1).
Доказательство формулы (3.1) аналогично случаю биномиального распределения, в которое переходит полиномиальное распределение при л = 2. Полиномиальное распределение описывает распределение т изделий по и сортам, распределение частиц по зонам, распределение больных по группам ит. д. Пример 3. 1. Вероятности производства на предприятии изделий 1, 2, 3 сортов соответственно равны 0.6; 0.3; 0.1. Найти вероятность того, что из 10 изделий, поступивших на контроль, будет 6 изделий первого сорта, 3 — второго и одно — первого. ~ По формуле (3.1) получим Р(Х~ — -6, Х2 =З,Х3 =1)=...0.6 .0.3 01~ =84 0.0467 0.027=0,106.
4 2 . и -мерное нормальное распределение задается плотностью распределения вероятности коэффициенты которого удовлетворяют условию С„' = С;, является положительно определенным, Это означает, что он всегда неотрицателен и обращается в нуль только в точке (т1,..., т„). Знакам Л обозначен симметрический определитель„составленный из коэффициентов полинома Д: С11 С12 . ~1л С21 С22 '' ~ 2п (3.4) Для прояснения сущности величин, входящих в формулы (3.2), (3.3), приведем результат, содержащийся в теореме Сильвестра (англ., 1814-1897), относящийся к теории квадратичных форм алгебры.
Необходимыми и достаточными условиями положительной определенности квадратического полинома (формы) Д(х1,..., х„) являются неравенства. С,С, ...С, С21 С22 ... СИ >О, к =1,2,...,п. С'~1 С~2 ... С~~ В частности, отсюда следует, что С11>0 и Л >О. Можно доказать [8$ что компоненты Х; нормальной и-мерной случайной величины (Х1,..., Х„) распределены нормально с математическими ожиданиями МХ„=т, (1=1,2,...,л), а параметры С образуют матрицу (С )„„, являющуюся обратной по отношению к ковариационной матрице (К;;)„„, т.
е, %у')п,и Фц')п,л. Итак, и-мерное нормальное распределение полностью определяется ее центром (в1,...,т„) и корреляционной матрицей (К, )„„. 73 ГЛАВА 8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ Предельные теоремы выясняют асимптотические свойства сумм и средних случайных величии, когда их число стремится к бесконечности. Суммы и средние при этом теряют характер случайности; их поведение можно предсказать с вероятностью, близкой к единице. Предельные теоремы лежат в основе асимптотических методов математической статистики. $1.
Неравенства Маркова и Чебышева Неравенство А.А. Маркова. Если Х вЂ” неотрицательная случайная величина, имеющая конечное математическое ожидание тх, то для любого а > 0 имеет место неравенство Р(Х > а) < ~~~, (1.1) Е Оно дает оценку вероятности попадания случайной величины в промежуток 1а+ ). ~ Введем дискретную случайную величину /1 при Х>в, '(О при Х<в. Для нее М~Я=0 Р(Х<а)+1.Р(Х>а) =Р(Х>>а).
Далее, так как случайная величина Х вЂ” неотрицательная, то Х > Х 1', > е1; . Тогда М1Х1 >М1вУ,1= еМ1У,') = а Р(Х > в). Р~Х>е)< ~. 4 с Замечание 1.1. При доказательстве неравенства Маркова использовано свойство нестрогого возрастания оператора математического ожидания: Если Х>К,то МХ;>МУ. 1 Действительно, Х вЂ” У >О. Тогда М[Х вЂ” У1 =МХ вЂ” МУ ~ 0, т. е. МХ;>МУ. 4 Неравенство И.Л. Чебышева. Если случайная величина Х имеет конечные математическое ожидание тх и дисперсию Ох, то для любого а > 0 имеет место неравенство Оно следует из неравенства Маркова для случая неотрицательной случайной о величины 1Х ~их ! ~Х~ '(~'~") ='(~'~'-Ф"."=У Неравенство (1.2) дает оценку вероятности попадания случайной величины Х в область, лежащую вне промежугка ~вА- — в, т~ + к).
Неравенство Чебышева применяется непосредственно в математической статистике, а также для доказательства следующей теоремы Чебышева. $2. Теоремы Чебышева и Бернулли. Сходимость по вероятности Теорема 2.1 (Чебышева П.Л., 1886 г.) для случая одинаково распределенных слагаемых. Пусть случайные величины Х1,..., Х„иоиарно независимы, одинаково расиределены, имеют математическое ожидание и и дисиерсию В. Тогда имеет место предельное соотногиение 1 с Р—,7 Х~ — РП> — +О ('Фе > 0). и — Ьсо Теорема Чебышева носит также название закова больших чисел.
Вероятностный смысл ее в том, что арифметическое среднее случайных величин с увеличением числа слагаемых все менее вероятно отклоняется по модулю от своего общего математического ожидания т на любую величину в. 1 с 1' Рассмотрим случайную величину 1'„= — р Х~. По свойствам дисперсии и 1=! 0Г =0 — ~А~ = — 20 ~Х~ .= — ~ ЭХ~ = — пВ= —. 1 1 ! 1 В и ~ 1 и ~ и Далее по свойствам математического ожидания находим М~„=М вЂ” ~Х = — М ~Х = — ' МХ = — и =т. 1 1 1 1 и и и и 1=1 1=1 1=1 Используем неравенство Чебышева (1,2); Р(~т„-мг„~> )<,"= —, — — о. ОУ„О 1 2 и„ Это означает, что Р—,~ Х~ — т 1т и 1=1 ;>е — + О. 4 Р(~Մ— А~ив) — ео. (2.2) Более короткая запись РРՄ— +А или 1ип Х„= А. (2.3) П-+00 Х)-+оо Замечание 2.1.
Результат теоремы Чебышева удобно записать с помощью обозначений (2.3): и — Х), — +т. (2.4) и И вЂ” +Ос Теорема 2.2 Я. Бернулли. Относительная частота Р (А) события при и независимых испытаниях по схеме Бернулли стремится по вероятности к вероятности события А при и — + о: Р (А) — +Р(А). (2-~) Л-+СО ~ Теорема Бернулли есть следствие теоремы Чебышева.
Пусть р — число появлений события А в и независимых испытаниях, а Х~ — число появлений события А в й-м испытании. Это дискретная случайная величина, принимающая два значения: О с вероятностью а =1-р и 1 с вероятностью р=Р(А). МХь =0 о+1 р= о. Очевидно, что )ь= Хе. Р (А) = — = — ~Хе есть от- Р 1 П Л ~г=1 1=1 носительная частота появления события А в и испытаниях. События Х~ (й = 1,... тп) — независимые взаимно, тем более попарно, так как испьггания— независимые. Они одина;.(ово распределены, имеют конечное математическое ожидание р и конечную дисперсию ОХ~ =(Π— р) Ч+(1-р)~р=р Ч+Ч р=рЧ(р+Ч)=ХЧ.
В математической статистике результаты измерения случайной величины Х рассматриваются как одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины, Взяв их среднее арифметическое, можно сколь угодно близко приблизиться к искомому математическому ожиданию тх —— и с вероятностью, сколь угодно близкой к единице. Теорема Чебышева лежит в основе этого асимптотического метода математической статистики. Определение 2.1. Последовательность случайных иличин Х1, Х2,..., Х„,... называется сходящейся по вероятности к величине А (случайной или нет~, если для любого я > О имеет место предельное соот- ношение Видим, что события Х1,..., Х„удовлетворяют всем условиям теоремы Чебы- 1с шева, а потому Р— р Х~ — р > в -+ О, что можно записать в виде "~=1 П-ФсО Р (А) — +Р(А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
