Линейные операторы (956849), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(х, В'А'у) = (Вх, А'у) = (АНх,у) = (х,(АВ)'у). Определение. Линейный оператор А: Е -+ Б, действующий в евклндовом пространстве Б, называется самосопряженным, если АА=А,т,е.Чх, уЕЖ (Ай;у) =(х, у) Определение. Матрица А, совпадающая со своей транспонированной Ат, называется симметрической.
Теорема. Матрица самосопрзженного оператора в любом орта- нормированном базисе является симметричесюй. Бслн матрица линейного оператора в неютором ортонормированнном базисе является слмметричесюй, то этот оператор — самосопряженный. Теорем». Все юрки характеристнчесюго уравнения самосопряженного оператора вещественны. Следочке. Бели А — ' вещественная симметрическая матрица, то все юрин ее характеристичесюго уравнения без(А — ЛЕ) = О вещественны. Теорема Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Определение. Базис пространства Х, образованный собственными векторами линейного оператора А: Х -+ Х, называется собственным базисом оператора А Теорема.
Всякий самосопрвкенный оператор в и-мерном евклидовом пространстве имеет собственный ортонормированиый базис, при этом каждому юршо кратности Ь его характеристичесюго урявнения отвечает Ь различных векторов этого базиса Сладсжвяа. В собственном ортонормированном базисе матрица самосопряженного оператора имеет диагональный вцд.
На ее пивной диагонали стоят юрии характеристичесюго уравнения, юждый из юторых повторяется отолью раз, какова его кратность. Пример 41. Найти собственный ортонормированный базис оператора А, заданного в неютором ортонормировзнном (исходном) базисе матрнцей .А= 2 3 2 Решение, Посютьку матрица А симметричесия, оператор А самосопряженный, следовательно, поставленная задача имеет решение. Запишем харжтеристичесюе уравнение без 2 3 — Л 2 = О. 2 2 3 — Л раскрыв определитель по первой отроке н вынеся общий множитель 1 — Л, приведем характернстичесюе уравнение к виду (1 — Л)г(7 — Л) = О.
Корни харакгернстнчесюго уравневия: Л1 = Лг = 1, Лз = 7. Найдем координаты х1, хг, хз (в исходном базисе) собственных векторов оператора А, отвечающих собственным значениям Л,, как решения однородных систем линейных уравнений с матрицами А — Л,Е, з = 1, 2, 3, где Š— единичная матрица. Для двукратного корня Л1 = Лг = 1 соответствующая система имеет вил О; — О; — О 2хг+ 2*э+ 2хз 2хг+ 2хг+ 2хз 2хг + 2хг + 2хз Эта систем» эквивалентна любому нз своих уравнений. Взяв в качестве базисного неизвестного х1 и присвоив свободным неизвестным хг, хз произвольные значения а, Ь соответственно, получим общее решение хг = -а — Ь„хг = о, хз = Ь, юторое представим в виде (х1,хг,хз) = а(-1,1,0)+Ь(-1,0,1).
Это означает, что всякий ненулевой вектор, лежащий в подпространстве, порождаемом векторами у1 — — (-1, 1, 0) и дг = (-1, О, 1), будет собственным вектором, отвечающим собственному значению Л = 1, Взаимно ортогональные собственные векторы, отвечающие собственному значешпо Л = 1, можно получить, применив процесс ортогоналюации к линейно независимым векторам Уг* Уг. 1 У вЂ” ~~ У вЂ” О +~ — (р рз)/Ьый ) — —, 1 1 откуда7а = ( — -- 1).
Для определения координат хь хз, ха собственного вехтора 7з, отвечающего простому корню Лз = 7, решаем систему уравнений -4х1+2хз+2хз = О; -2х1 — 4хз + 2хз = О; 2х1 + 2хз — 4хз = О. Выбрав в качестве базисных неизвестных хь хз, вычеркнув первое уравнение и присвоив свободному неизвестному хз произвольное значение с, придем к системе уравнений < х1 — 2хз = -с; ха+ хз = 2с с единственным решением х1 — — хз = с.
Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид (хьхз>ха) = с(1,1,1). Собственный вектор 7з —— (1, 1, 1) ортогонален собственным векторам Уь 7з, как отвечающим другому собственному значению. Собственный оргоиормированный базис (еа) получается в результате нормирования собственнь1х векторов Д,,7з,7а % = Х;/~Щ,4 = 1,2,3, (1 ~4з'4з'~гз ' В зтом базисе матрица оператора А имеет диагональный вид, на главной диагонали стоят значения Аь Аз, Лз: Замечание.
Вектор ез ортонормнрованного базиса (еД можно найти как векторное произведение ранее построенных базисных векторов: ез = (вь ез) (проверьтесь), Определение. Линейный оператор 'Р: Е -а Е в евклидовом пространстве Е называется ортогональным, если Чх, у е Е (Рх,РО) = (а,р). Определение. Операгор А а: Х -+ Х называется обратным к оператору А: Ь вЂ” ~ Х, если А гА = АА ~ = Е, где Е: Х -+ Х— единичный оператор. Теорема, В любом фиксированном базисе пространства Х, матрицы операторов А и А а взаимно обратньь Пример 42. Показать, что линейный оператор Р: Е -+ Е в свклидовом пространстве Е является ортогональным тогда итолько тогда, когда'Р' = 'Р 1.
Решение: Чх, и в: Е равенства справедливы тогда в толью тогда, когда Е = Р''Рй'ч7 6 Е, 'по равносильно 'Р'Р = Е (Š— единичный оператор), что, в свою очередь, зквивалентно 'Р' = 'Р ~. Замечание, Отсюда следует, что линейный оператор 'Р: Е -+ Е является ортогональньве, если в иеютором ортонормированном базисе его матрица Р обладает свойспит Ра = Р, а. Матрица Р ортогонального оператора Р: Е -+ Е обладает свойством Р~ = Р ~ в любом ортонормироваином базисе. Определение. Матрица Р, для апторой Р~ = Р ~, называется ортогональной. Теорема, Матрица Р является матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису тогда и только тогда, когда она ортогональная. Пример 43.
Показать, что если Р— ортогональная матрица, то ~бвФР1 = 1. ею46. Пусть я — едн 1провзведения матриц равен ггро лей и определитель матрицы не меняется при ее транспонированни, справедшша цепочка равенств 1 = йеФВ = бее(РР ~) ье без(РР~) = йеЬРбеЗР~ = (ЙеЬР)з, из которой вытекает требуемое утверждение. На рассмотренных свойствах самосопряженнык и оргогонзльных операторов основана процедура приведения сшгметричесиФ матрицы к диагональному виду ортогональным преобразованием. Теорема.
Если А — симметрическая матрица„то существуетортогональная шприца Р такая, что РтАР— диагональная матрица. Доксзательство, Симметрическая матрица А может рассмагриватъся как матрица самосопряженного операгора А в некотором ортонормировалном базисе (еД. Самосапряженаый оператор А имеет собственный ортонормнрованный базис (уД, в котором его матрица А' диагональна, и, поскольку матрица перехода Р от базиса (е) к собственному базису фД ортогональная (Р 1 = Рт'), матрица А' связана с матрицей А законом преобразования Р-1АР РтАР 1 1'1 "=~у д'Уз! ащгого базиса к Р резеда от исходного орто~~~рмнро о миромцному базису име" внд иному ортонормиро Р= д ~7б Л д А к диагональному виду: теристнческпго еского уравнения оператора А, найденные в примере повторяясь отолью раз, какова ик кратность: О1О, ЗАДАЧИ ТИПо~о1'О жАСЧ~*А Пример 44.
Привести и А= 2 3 — — —,—,О; ез= З1 зо к диагональному виду ортогональным преобразованием. Указать соответствующую матрицу перехода. Раиеиие. Рассматривая симметрическую матрицу А как матрицу самосопряиенного оператора А в неютором нсищном оргонормировавном базисе, определяем векторы его собственного ортонормированного базиса (см. пример 41) з.рз в линейности оператора А: Ж -+ Й, Задача 1. Убедившись в лине о: Й водящего вектор ж = (х1, хз, жз) р I ) в вектору = перево о ованном базисе а, у, й: трипу этого оператора в ортонормир 1) р = (х1 — хз,юг+ хз,жт — ха+ха)." 2)7= 1х,а1, а = (1,2,3); 3) р = (х, а)а, с = (1, 2, ); 4) у = (2х1 +же,х1 +жз,хз — хз); 5)Д= (ж,а), а = (3,2,1); б) у = (ж, а)а, а = (3,2, ); 7) у = (4жз,х1 — хз,ха+ хз); 8)у = (х,а~, а= (-2,3,-1); 9) у = (х, а)Ц, а = (-2,3, -1)„ 10)у = (-хт + хз, жз+ ха,х1 +2хз+ Зхз); 28) 27) -2 29) -2 -1 28) 0 3 О 2 -1 — 1 зю) СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1.
Каншпников А.Н, 1фмщвкко А.Л. Линейааа алгебра. Мз Изд-во МГТУ им. Н.Э, Баумана, 1998. 336 с 2. Сборник залог ло линейной алгвбрег' Под рел. СХ Соболева. Мз Изд-зо МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1991, 155 с. 3. Ивьил В,А., Лозняк ЭоС Лннейнаа алгебра. Мс Наука, 1984. 29б с, 4. БвклеииииеДЗ. Курс «щцппичесаой геометрии и линейной алгебры, М.: Наука„1987.
320 с. 5. ХЬаоеина ЛИ Линейнаа «згебра н некогорые ее прнложеиаа. М,У НЕка, 1985,392 с. 1. Определение и примеры линейных и нелинейных операторов. 2, Матрица линейного оператора,...... „.......,.......,....., 3; Преобрааование матрицы линейного оператора при переходе к новым бависам,....,, 4, Действия с линейными операторами... „...... „...,......,. 5. Собственные векторы и собственные знанения линейного оператора .. 6, Линейные операторы в евклидовых пространствах.........., 7, Задачи типового расвете. Список рекомедуемой литературы........,...,...........,,, „, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
