Линейные операторы (956849)
Текст из файла
Московский гасударственный технический университет имени Н.Э. Бауиана ~ Линеиные операторы , '2003 В-В7 Методические укизииия к аьволиеиию жипоюго расчета ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обозначенного здесь срока 2 ь Ф ь Ю ~~ "Ийа е :. ~~йййЭй~~у ~й аз~ Изда стао Ж'ТУ им, Н,Э, Баумана „: ЕЛЕЕ;;, Ъ";1К 517.1 БЬК ) 51.5 Нво !ЗВН 5.701» 2276-9 'ЩК 517Л ББК 22.151 Я аизраа Таймуразавич Нльичсв Ва.житии Гаорзисвич Краиотиии зытексаилр Сартаавич Савва лннкйньгк онкглтогы 1'сзактор Ссзь' Ксрозсаа Коррсатор,7.11. Ьйыкликао Рсисзысзтты: ГА.
Локомукаааь КК Чадов Ииьичса Л.Т Красоткин Вд'., Савин А.С. Нла Ниик йиыс оисраторы: Мстоличсскис указаиик квыиовисиизо твиовото Гьм к..та. — М Изх.ао МГГУ им. Н.Э. Баумаиа, 2003, — Зб сс ил. Дамы оирсзсзсиил и сформулировавы теоремы о лиисйвых оосраторах ь мчмчиомсримх зиисйиых иростраитввх. Полробио рвзобравыиримары и ьзиачи об осиовиых свойспех лиисйиых оиерашров, лсйсзавзх иал ив ма, мкзри оьж ирслс| ваасиии лииойиооз оосратора, со6ствсииых всхторах и,~,о«1тк ииык зиачсииах и свойствах лиисйиык овсрыоров в аещсссасвиом сакли.веем ор'1«траиствс. 1!ривсксиы залачи тико вота раската.
Дла .тз асимов 1 курса всех факультатив. Ьиазиаср 5 ваза. з.:в-. ьм ь жчать 2001оь Форьит бок$4лб. Бумывофссзиаа. Нсч .-..' ."' УЬа зМЧ З. 2,03,УЧ:ВЗЬ. ая,95. 1к;.мм 1оо ььч нзх. лз 57. Змазз т Ньзктсзь зио уи1 ТУ им. Н:1 Бауиаиа. ,и~а 5 Ь1, кьз,а 2„а Батмаисим,5, 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ Опракелеиве. Пусть Х и У вЂ” два множества, Говорят, что определено отображение,Г: Х -з У, если каждому злементу и б Х поставлен в соответствие один и толью один элемент Х(к) б У, иными словами, если рЖ Ф у(ыз), то ы1 Ф вз, Замечание. Понятие «отображение» являетс» одним из центральных во всей математике.
Однако в различных ее разделах, по установившейся традиции, вместо термина «отображение» могут употребллтъсл другие. Квх правило, зто зависит от природы множеств Х и У. Например, если Х и У вЂ” числовые множества, то отображение У: Х -з У назьзввзот числовой функцией, определенной на мнсскестве Х; отображение А: Х -1 М линейного пространства Х в линейное пространство М навык»тот оператором, действующим нз Х в М.
Оперкпзр А: Х -+ Х иногда нвзыввкзт преобразованием пространства Х. Определение. Пусть Х и М вЂ” действительные линейные пространства, И вЂ” множество всех вещественных чисел. Оператор А .. Х -~ М нвзываетсл линейным, если!а,К Н Хч Ус ~ Евыполнкются условию А(Ф+зв') = А!К+ АР (адднтивность оператора); А(св) = сАУ (однородность оператора). Замечание. Оператор А: Х -+ М является линейным тогда и ТОЛЬЮ тОГда, Юща Ч51, и Е Хь 'ОЬ, С Н В ВЫПОЛНЕНО раВЕНСтВО Отсюда по индукции следует, что линейность оператора А зквньх- лентна условию А ~ь'сьх, =~~1;с1А*О Ъх1! ...,хьюг Х, Чс1,...,сь ЕК.
ъ=1 Пример 1. Нулевой оператор 9; Х -+ М, определяемый равенством егх = д, Ъх б Х, Ю вЂ” нулевой элемент пространства М, лип еен. Действительно, чх, у Е Х, 1уЬ, с Е К 1Э(Ьх+ с7) = 69х+ сбу, поскольку и правая, и левая часть этого равенства есть д. Пример 2. Единичный (тождественный) оператор (преобразование) Б: Х, -+ Х,, определяемый равенством Ех = х, 'чх б Х,, Действительно, 1ух, у б Х, ЧЬ, с Е И Е(ЬУ+ су) = ЬЕИ+ сбу, поскольку и прав»я и левая часть этого равенства есть ЬЙ+ ср. Пример 3. Пусть в пространстве Кз фиксирован неюторый базис, а действие оператора Р: Из -+ Й» на произвольный вектор г = (х, у, я) определено равенством 'Р(х,у, я) = (х,у,О), тогда оператор 'Р линейный.
Действительно, ч'а,Ь Е К Р(а(х1,у1,я1) + Ь(хг,уг,яг)) = уг(ах1+ 6хг,ау1+ Ьуг,а»1+ Ьяг) = (ах1 + Ьхг,ауг+ Ьуг, О) = = а(х1,у1, О) + 6(хг1уз, 0) = аР(х1, у1, х1) + Нг(хг,уг,яг). Пример 4. Пусть в некотором базисе пространства Кг действие оператора А: Йг -+ Кг на произвольный вектор и = (х, у) определено равенством А(х, у) = (ах + Ву, ух + Бу), где х, у — координаты вектора и; а, Д у, б — фиксированные числа.
Оператор А линеен, посюльку ча, Ь б К А((а(х1,у1) + +6(хг,уг)) =А(ах, +Ьхг,ауг+Ьуг) = (а( х1+Ьх,)+б(ау1+ +Ьуг), 7(ах1 + Ьхг) + Уау1 + Ьуг)) = (а(ах1 + Ру1) + Ь(ахг + +дуг), а(7х1 + су1) + 6(уаг + суг)) = а(1зх1 + оу117х1 + Ьуг) + +Ь(ах»+ Дуг, ух»+ Буг) = аА(хг,у1)+ ЬА(хг,уг). Пример 5. В пространстве У квадратных матриц фиксированного размера действие оператора У: T -ь У на произвольную матрицу В ~ У определено формулой ГВ = МВ, где М вЂ” фик-' сированная матрица из У. Операп1р Глннеен, поскольку ча, Ь Е И, ЧА,В б у' У(аА+ +ЬВ) = М(аА+ ЬВ) = аМА+ ЬМЬ = аУА+ ЬУВ. Пример б. В пространстве С (К) всех бесюнечно дифференцируемых на всей числовой прямой И функций действие оператора дифференцирования З = Н/Нх определено формулой Оператор дифференцирования линеен, поскольку Ча, Ь Е И, ту; д б с' (к) з(аУ+ьд) = (ау +ьд)' = аХ'+ьд' = аВх+62уд, что следует нз известных свойств производной.
Определение. Оператор .У: Х -+ К, отображающий элементы линейного пространства Х в числа, называется функционалом. Пример 7. Функционал,7, определенный на пространстве Н(а, 6) всех интегрируемых на отрезке (а, 6) функций равенством ь УУ = ) Х(х)1»х, линеен. Это следует из свойств интеграла.
Ча, 4 ЕК, ь ~Ч,д б В(а,Ь) У(ау' + ® = Ппй ) + Дд( )]Хх ь ь = а )' Дх)сй +,э )'д(х)йх = а.у у +,ОУд. Ю а Пример 3. Функционал К, определенный на пространстве гес( метрических векторов К» ревенством Ух = (х, а), где а — фикси- рованный вектор из Й», линеен. Это следует из свойств скалярного, произведения: Уа„д б И, Чх, у Е К У(аИ+ Щ) = (ся+,Оу, а) = = в(х, а) + /3(у, а) = аУ х + рУу. Пример У.Числовая линейная функция вида Х(х) = йх пред- ставляет собой линейный функционал г": И -+ К, посюльк)~ 1уа1,аг хмхг б К У(агх1 + агхг) = "(а1*1 + агхг) = а1уьх1 + азйхг = агу (х1) + агУ(хг). Определение, Оператор (функционал), не являющийся линей-, ным, называется нелинейным, Пример 10.
Оператор В '. Кз -+ мз, действующий по правилу Вх = (а, х) х, где а — фиксированный ненулевой вектор из И „нелинеен, Действительно, В(Лх) = (а, Лх)Лх = Лз(а, х)х = ЛзВх ф ф ЛВх, если Л ф О, 1. Это означает, что оператор В не обладает свойством однородности, обязательным для линейного оператора. Пример 11, Функционал Ф, определенньв1 на евклидовом пространстве равенством Л'х = ]]х]] (]] ]] означает обычную евклндову норму), нелинеен, посюльку, в силу неравенства треугольника, Ф(х+Р) = ]]х+Т4 < ]]х]]+Щ] = Лгх+АХр ипрн этомсуществуют элементы х, у, для которых это неравенство является строгим. Таким образом, функционал Ф не обладает свойством аддитивности, необходимым для его линейности.
Пример И, Числовая функция Х(х) = хз представляет собой нелинейный функционал У: Й -~ Ж, не обладающий вн свойством аддитивности, ни свойством однородности. Теорема (необходимый признак линейности оператора). Всякий линейный оператор А: Х -+ М преобразует нулевой элемент дь пространства Х в нулевой элемент ды пространства М, Доказажвяьство. Пусть х е Х, тогда Адь = А(0 х) = 0 Ах = = дм. Пример 13. Оператор А; Ь -+ Х сдвига на ненулевой вектор а Е Х, действующий по правилу АУ = Б+ а, нелинеен, посюльку преобразует нулевой элемент в ненулевой элемент а. Пример 14. Числовая функция Х(х) = Йх+ Ь, 6 ф О, называемая в элементарной математика линейной, представляет собой нелинейный функлнонал Х: й -+ и, посюльку Х(0) = 6 Ф О, 2.
МАТРИЦА ЛИНЖИНОГО О](П',РАТОРА оп .. агь ... ат„ А=М(А,В,В ]= аы ... а„ь ... а„ столбцы юторой образованы координатамн в базисе В„прострел ства И' образов базисных векторов нз Вь пространства У. Точнее, й-й столбец матрицы А образован коэффициентами ать,..., а разложення Авь = ацьдт+,. +а ~Д' вектора Ась (образабазисного вектора вь) по базису Вж . С помощью матрицы линейного оператора А = М(А, Вм, В~у] его действие на произвольный вектор х б T может быль представлено в юординатном виде как умножение матрицы А на столбец С]х, З~ ] координат вектора х в базисе Зм.
Если д = Ах, то столбец юординат вектора у в базисе Вн пространства Иг находится как произведение Сф, Вн ] = М]А, В~, Ви ] С(х, Ву] нлн в развернутом виде Найдем матрицы некоторых операторов. Пример 15. Нулевой оператор 9: Х -+ Ь. Линейность этого оператора установлена в примере 1. В произвольном бикнсе Вь = = (ез,..., е„), Ось = О, Й = 1,..., и, где д — нулеюй элемент пространства Х, имеющий в базисе Вь представление д = 0 е~+ . + +О е„. Поэтому Определение. Пусть 7; Ю' — действительные линейные пространства с базисами Вм = (ег, ..., е„) и Вх = (дт,., д ) соответственно.
Матрвцей А линейного оператора А: У -+ Иг относительно базисов Вь н Ву называется матрица О ... 0 О = М(~Э,Зь, Вь]— 0 ... 0 Пример 16. Единичный оператор Е . Х -+ Х. Линейность этого оператора установлена в примере 2, В произвольном базисе Вь = О ... О о о =оо' 10 -6 7ез =-ешс от+созе ез, 7 ез — — совр ег+ вшу ез, /'сое х — аш у'~ 1зшу созх / А ( тогда по условию задачи = (ег,...,е),беь = еь = О ° ег+...+1 еь+...+О е,поэтому Пример 17. Оператор Р: Вз -+ Кз проектирования на ось Ох.
Его линейность вытекает из известных свойств проекций. В каноннчесюм базисе (ег,йз) 7гег = ег = 1 ез + О ез, 'Рез = = У = О. аз+ О ез, позтомуметрицаоператораР имеетвид а вго действие на произвольный вектор г = (хг, хз) описывается как умножение матрицы Р на столбец юординат вектора р: Пример 13. Операшр 7: Вз -+ Вз поворота любого вектора на угол х. Установите его линейность самостоятельно из геометрических соображений.
В каноничвсюм базисе (ег, ез) следовательно, матрица оператора 7 имеет вид Пример Ю. Действие оператора А: Жз -~ Из на произвольный вектор у = (хг, хз, хз) нз пространства Жз определено равенством Ах, = (хз + хз, хг + хз), Оператор А линейный (доказываетск способом, изложенным в примере 4). В каноническом базисе ег = (1, О, О), ез = (О, 1, О), ез = (О, О, 1) Аег = (О, 1) Аез = (1, 1), . Аез -- (1, О).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
