Линейные операторы (956849), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть действие операторов А: Жз -+ Жз, В: жз -+ мз, С: Из -+ Кз на произвольный вектор с коордныатами х, у, з определено в некоторых фиксированных базисах про,г аис 1ез Щз А(х, у, з) = (х+ д+ з, х + д); В(х, у, з) = (2х + х, х + у) "С(х,у,х) = (2у,х). Убеднвгпнсь в линейности операторов А, В, С, показать, что они линейно независимы (как элементы пространства линейных опера. торов, действующих нз йз в йз). Решение.
Линейность операгоров А, В, С проверяется самостоятельно. ПустыхА+ ДВ + ТС = 6 — нулевой оператор. Тогда (а,А+,ВВ+7С)(х,у,з) = аА(х,у,з)+Щх,у,з)+ 7С(х,у,х) = = гъ(х+ у+ х„х+у)+ Д2х+ х,х+ у) + у(2у,х) = (О,О) нли покомпонентио с гз(х + у+ з) + )3(2х + х) + я(2у) = 0; а(х+д)+,8(х+у)+ух = О. Эти равенства должны выполняться для любых х, у, х. В частности, положив х = 1, у = -1, х = -2, получим а = 7 = О, Положив х = О, у = х = 1, найдем ~3 = О.
Таким образом, операторы А, В, С линейно независимы, 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА Определение, Ненулевой вектор ж а Х называется собственным вектором линейного оператора А: Х -+ Х, если существует такое число Л, что Аж = Лж. Число Л называется собственным значением оператора А, соответствукяцим собственному вектору ж, Замечание.
Собственнью векторы опредвзпотся с точностью до ненулевых числовыхмножителей. Белие — ' собственный вектор линейного оператора А, соответствующий собственному значению Л, то ~% ф О вектор Йж также является собственным вектором оператора А, соответствующим собственному значению Л, поскольку Аж = Лж =е А(йВ) = Л(йй).
Теорема; Собственные векторы, отввчаюгцие различным собственным значениям линейного оператора А, линейно независимьь Пример 31. Пусть Е: Х -~ Х вЂ” единичный оператор, тогда Уж 6 Х бж = 1 ° Ж, т, е, всякий ненулевой вектор ж б Ь является собственным вектором оператора б, соответствующим собственному значению Л = 1.
Пример 32. Пусть И: Вз -+ Вз — оператор поворота каждого вектора нз Вз на угол р = ~г/2. Этот оператор линейный, но ни один ненулевой вектор ж б Вз не преобразуется нм в вектор вида Лж,жо означает отсутствие у оператора И собственных векторов и собственных значений. Пример 33. Пусть И .. Вз -~ Кз — оператор поворота каждого вектора из Вз на угол у = ~г, Очевидно, что действие оператора И определяется равенством Иж = -ж = (-1) ж, из которого следует, что всякий ненулевой вектор нз В является собственным век~~ром оператораИ, соответспзующим собственному значению Л = -1. б Пример 34.
Пусть Тз =' —: С (В) -+ С"(Е) — операгй тор дифференцирования в линейном пространстве бесконечно диффвренцируемьгх иа всей числовой прямой функций, тогда функция Д1) = вм 6 С~(В), Л ЗЬ 0 моЖет рассматриваться кзк собствен- ный вектор оператора Р с собственным значением Л, поскольку З~ = ЛУ. Теорема. Пусть линейный оператор А: Х -+ Х действует в конвчномерном линейном пространстве, А = М[А, Вг., Вг) — матрица оператора А в некотором базисе Вг., тогда собственные значения оператора А н толью они являются вещественными корнями " уравнения без(А — Л.Е) = [А — Л Е[ = О, где  — единичная матрица. Определение, Многсчлен Р(Л) = бв$(А — ЛВ) = [А — ЛВ[ называется характеристическим многочленом матрицы А. Уравнение [А — ЛВ[ = О называется характеристическим. Пример 35.
Показать, что харжтеристический многочлен матрицы линейного оператора А: Х -+ Х не зависит от базиса. Реиенив. Если А = М[А, Вь, Вг.) и А' = М[А,В~ь, ВД вЂ” ья~- трицы оператора А в базисах Вг. и В~ соответственно, Р— мнгрица перехода от базиса Вь к базису В', то [А' — Л.Е[= [Р ~АР— ЛВ[= [Р гАР— Р 'ЛЕР[= = [Р ~(А — ЛЕ)Р[ = [Р г[[(А — ЛВ)ЦР[ = [А — ЛВ[. Таким образом, характеристические многочлвны матрицлннейного оператора А: Х -+ Х в произвольных базисах пространства Х совпадают. Определение, Характеристическим многочленом линейного оператора А: Х .-+ Х называется характеристический многочлен вго матрицы в каком-либо базисе.
Замечание. Если оператор А; Х -+ Х действует в п;мерном пространстве, то его характеристический многочлен имеет вид сЫ(А — ЛВ) = а„Л" + а ~Л" ~ +... + ас. Коэффициенты характеристического многочлена не зависят от базиса, т,е, являются инварнантами оператора А В частности, ас = беФА, а„1 = (-1)" 1й" А, а„= (-Ц", позтому характеристический многочлен оператора А, действующего в двумерном пространстве, имеет внд бвс(А — ЛЕ) = Лз — (гг А)Л+ беФА. базисе магРицой А= 2 1 -2 4 — Л. -1 -2 Йе» 2 1 — Л -2 = О. 1 -1 1 — Л (1 — л)(л' - бл+ 6) = о.
г я (4 — Л,)хя — хз — 2хз = О; 2х1+ (1 — Л;)хя — 2хз = О," хт — ха + (1 — Л;)хз = О. Зхг — хз — 2хз = 0; 2х1-2хз = 0; хг -хз = О. с (1-Л)х;+2хз=О; бх1+ (4- Л;)хз = О, < 2хг — — 2хз; х1 — хз = О, Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов: 1, Найти собственные значения Л, как вещоственные корни характеристического уравнения бе»(А — ЛЕ) = О, 2. Для каждого Л; репппь однородную систему линейных уравнений с матрицей А — Л;Е.
Решения этих систем представшпот собой юординаты собственных векторов, отвечающих собственным значениям Л,, в том базисе, в ютором задана матрица А оператора А. Пример 36. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора А: 6»з -+ мз, заданного в иеютором базисе В матрицей Решение. Запишем характеристичесюе уравнение »'1- л де»(А — ЛЖ) = дв» ~ Л б 4-Л) =Лз — (» ~)Л+ ~ ~=Ля — бл — 6=0 Найдем корни характеристичесюго уравнения: Л1 = 6, Лз = — 1. Координаты хы хз собственных векторов в базисе В определяются яак решения систем уравнений Посюльку определители зтих систем равны нулю, калщая из них зквивалентна одному из своих уравнений, При Л1 = 6 из люх1 2 бого уравнения системы следует, что — = —, соогаетствущий собхз 5' ственный вектор имеет вид о1 = (2сг,бгя), гдо а ф О.
При Лз ее — 1, — = -1 соответствующий собственный вектор оз = (,6, —,6), где хя ,6~ О. Пример 37. Найти собственньш значения и собственные векторы линейного оператора А: Из -+ Нз, заданного в некотором реиление. Запишем характеристичосюо уравнение Раскрыв опредошпель по первой строке, приведем харяктеристичесюе уравнение к виду Корни характеристнчесюго уравнения: Л1 = 1, Лз = 2, Лз = 3. Координаты х1, хз, хз собственного вектора оп отвечающего собственному значению Л;, » = 1, 2, 3, находятся из однородной системы линейных уравнений Для случая Лт = 1 зта система имеет вид Взяв в качестве 6~вислых неизвестных х1, хз и вычеркнув первое уравнение системы, что возможно в силу отличия от нуля определителя матрицы, составленной из козффициевтов при неизвестных хг, хз во втором и третьем уравнениях, получим систему двух уравнений где жз — свободное неизвестное, которое может принимать произвольное значение а.
Нетривиальное решение этой системы имеет внд хт — — хг = аз = се, где а — любое число, отличное от нуля. Следовательно, собственным вектором, отвечающим собственному значению Л> = 1, будет лгобсй вектор вида а> = (а> з,>з), >з ф О. Аналогично находим собственный вектор аг = 1Р, О„В), ~3 ф О, отвечающий собственному значению Лг = 2, н собственньгй вектор аз = 1 у> О, О), у ~ О, отвечающий собственному значению Лз = 3. Пример 38. Найти собственные значения н собственные векторы линейного оператора А: мз -+ Жз, заданного в некотором базисе матрицей А= -2 1 О Решение.
Запишем характеристичесюе уравнение -3 — Л 2 0 бей -2 1 — Л 0 = О. 15 -7 4 — Л Раскрыв олределигеяь по первой строке, приведем характернстиче- сюе уравнение к виду (4 л)Р+1)' = о Корни харяктеристичеоюго уравнения: Л1 = 4, Лг = — 1. Координаты ж1, жг> жз собственного вектора а>ь отвечакяцего собственному значению Л,, г = 1, 2, находятся из однородной системы линейных уравнений с матрнцей — 3 — Л; 2 0 А-Лж- -2 1-Л; О 15 -7 4 — Л> При Лг = 4 система уравнений имеет вид -7ж1+2лг+О жз = 0; -2ж1 — 3жг + 0 ° аз = 0; 15жг-7жг+О жз = О, Поскольку определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных жп аг в первом и втором уравнениях, отличен от нуля, неизвестные ж1, жг примем за базисные, а неизвестное жз — за свободное, которое макет принимать произвольное значение а.
Вычеркнув третье уравнение, придем к сднородной системе линейных уравнений относительно неизвестных зы хг с отличным ст нуля определителем. Бдииственное решение таюй системы: х1 = жг = О. Следовательно, собственным вектором, отвечающим собственному значению Л> = 4, будет а1 = (О,о,а), сг ф О.
Аиажгично находим собственный веки>р аг = (5,8,5~3, -б,б),,6 за О, отвечающий собственному значению Лг = -1. Пример 39. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора 4: Кз -+ 'мз, заданного в неютором базисе мкгрицей А= 1 2 -1 Решение. Зашппем характеристичесюе уравнение 4-Л бес 1 2 — Л -1 = О. 1 -1 2 — Л Раскрыв определитель по первой строке и' вынеся общий множи- тель 3 — Л, приведем характеристическое уравнение к виду (3 — л)'~2 — л) = о. Корни характеристичесюгоуравнения: Л> = 2, Лг = 3. Координаты жы аг, хз собственного вектора а;, отвечающего собственному значению Л;, з = 1> 2, находятся из однородной системы линейных уравнений с матрицей 4 — Л> -1 -1 А-лж= 1 2-Л, 1 -1 .2 — Л,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
