Линейные операторы (956849), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Отсюда находим матрицу оператора А Пример 20, Пусть в пространстве йз фиксирован некоторый баь зис (е~, ез,'. Известно, что линейный опврато~ А: Из -+ мз переводит векторы х = (2,3), у = (3,5) в ве торы Ах = (2, 0), АД = (О, 3). Найдем матрицу оператора А заданюм базисе (еы йз). ' Первый способ основан на непосредственном определении ко ординат образов базисных векторов. Так как х = Жг + Збз, у = Зег + Без, Ах = 2еп Аи = Зез, то Ах = А(2ег + Зез) = 2Аег + ЗАез = 2ет, Ар = А(Зег + без) = ЗАег + 5Аез = Зез. Эта система линейных уравнений относительно Аег, Аез разрег шама, посюльку, в силу линейной независимости векторов У, 7, ве определитель отличен от нуля. Отскда находим Аег — — 10ег— -9ез, Аез = -бег + без.
Коэффициенты этих разложений образуют столбцы матрицы А оператора А в базисе (еы ез): Второй сиособ основан на непосредственном определении матричных элементов. Пусть матрица оператора А есть с Н 3 0 ' с е* 5 3 с 2с+ЗН = 0; Зс+ 5Н = 3. < 2с+35=2; За+55= 0; «0 -6 б Т»~з = — саа х = — з(п х = -.~т. сх Н Щ = — ашх = саа х = уз, бх или юроче «0 Отсюда приходим к системе четырех уравнений, распадаклцейся на две: Эти системы уравнений имеют решения: а = 10, Ь = — 6, с = = -9, З = 6. В результате получаем матрипу оператора А Пример 21. Пусть линейньгй оператор днфференгшрованил б Т» = — определен на линейной оболочке Ь = Т,ф, уз) двух лнбх пейна независимых функций У~ —— вт х„уз = ссп х.
Очевидно, что Р: Ь -> Ь. Найдем матрицу оператора В в базисе (у1, Я. Имеем Таким образам, в базисе «,гг, Ь» Щ1 = (О, 1), Т»,гз = (-1, О), по- зтаму 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА ПРИ ПЕРЕХОДЕ К НОВЫМ БАЗИСАМ Определение. Матрицей перехода от (старого) базиса В = «ет,..., е,„) к (новому) базису В' = (а'г,...
„в'„) одного и того же линейнога пространства называется матрица Рп ° ° у1ь ° ° ° р1е Р = М(В -+ В ( = х-й столбец юторай образован юардинатамн нового базисного вектора еа = ри,е1 + ... + р ье в старом базисе В = (е1,. „, е„), й =1,...,а. Переход от (нового) базиса В' к (старому) базису В осущесгщиется с помощью матрицы М(В' -> В(, обратной матрице Р: М(В' - В) = ~ -'. Тюрема. Пусть Х = С(х, В( — столбец юординат вектора х в базисе В, Х' = С(х', В') — столбец юординат вектора х в базисе В'. Тогда С(х, В| = М(В -+ В')С(х, В'(; С(х, В') = М(В' -+ В|С(х, В], нли в кратной записи Х =- РХ'; Х'= Р-'Х.
Теорема (заюи преобразования матрицы линейного оператора). Пусть А = М(А, Ви, Виг1 — матрица линейного оператора А: У -+ Яг относительно (старых) базисов Ву и Ви линЫ-, ных пространств «г и Иг соответственно„а Р = М(Вр -~ В' 1, Я = М(Ви -+ ВЯ вЂ” матрицы переходов к (новым) базисам В' и В~, в тех же пространствах, тогда матрица оператора А относительна новых базисов имеет вид А'=М(А Ж Ю==М(В(г -+ Ви)М(А,Вт,Ви|М(В -~ В(), Ди важнейшего частного случая А: У -+ У А' = М(А, В(~, ВЯ = М(В( -~ Ву|М(А, Ву, Ву1М(Ву -+ ВД нлн юроче А' = Р-'АР.
Умножив абе части зтого равенства слева на Р и справа на Р ', найдем А = РА'Р-'. Определение. Следом квадратной матрицы А называется сум- ма элементов„сгожцих на ее славной диагонали. След матрицы обозначается гг А нли Яр А: А=(а;); сгА=~~ ам=ам+ ° ° +о Лемма. Для любых квадратных млгрнц А и В одинакового размера Сг (АВ) = Сг (ВА). Дохдздюевьсвсво. По правилу умножения матриц и определению следа матрицы ~.~вв) =~(Х;~вг»)-~(~ь;;~) =~.~вв>.
Теорема. Определитель и след матрицы линейного оператора А: Х -+ Х незавнсятстбазнсаВь. Доказательство, Зафиксируем два произвольных базиса Вь н В' в пространстве Х, Пусть Р = М(Вь -~ В') — матрица перехода от базиса Вь к базису Вь~, тогда определитель матрицы Х линейного оператора А в базисе В~ равен определителю матрицы А линейного оператора А в базисе Вь, поскольку с1есА'=аес(Р 'АР) =бесР 'йесАс1есР = с1езА. Используя лемму, убеждаемся в равенстве следов матриц А' н А: с А' =сг (Р 1АР) =сг(РР 1А) =з А.
Таким образом, имеют смысл понятна «определитель» н вслед линейного оператора» А: Х -+ Х. Эти величины не изменяются при переходе от одного базиса к другому, т, е. являются икедриавлвзми линейного оператора. Пример 22. В базисе (е1,ез) матрица линейного оператора А: всз -~ мз имеет вид Найти матрицу оператора А в базисе (еЩ), если е~г —— е1 — ез, е~з — — е1 + ез. Решение. Матрица перехода ог старого базиса (е1, ез) к новому базису (ем ез) и обратная к ней имеют соответственно вид 1 1 1 1 1 Тогда Замечание. Сравните определители и следы млгриц А и А'.
Пример 23. В базисе (ев1,~~) матрица линейного оператора А: Кз -~ Жз имеет внд Найти матрнлу А оператора А в базисе (е1, ез), если е~ — — ег -ез, ез = ег + ез. Решение. Матрица перехода Р от старого базиса (е1, ез1 к новому базису (е'„'ез) н обратная к ней Р 1 найдены в примере 22. Таким образом, А вв'в = ( ) ( ) (~,%) — (1 $) Замечание, Сравните определители и следы матриц А и А'. 4. ДЕЙСТЗИЯ С ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ Определение. Операторы А: Х -~ М, В: Х -+ М называются равными, если Чж б Ь, Аж = Ва. При атом пишут А = 6. Определение.
Суммой оперкгоров А: Х, -> М, В . Ь -+ М называется оператор (А+ В): Х -~ М, действующий по правилу (А+ В)х = Ах+ Вх, 'чЖ ~ Х. Определение. Произведением оператора А: Ь -+ М на число Л называется оператор (ЛА): Ь -+ М, действующий по правилу (ЛА)Ж = Л(А«), 'И Е Ь. Определение. Произведением (композицией) операторов А: Хс -+ М, В: Х -+ К называется оператор (АВ): Ь -~ М, действущий по правилу (АВ)Ж = А(В$), ЧБ б Х. Степень оператора А: Х -~ Х определяется индуктивно: где Е: Х -+ Х вЂ” единичный оператор. Замечание.
Вообще говоря, АВ ф ВА Пример 24. Показать, что если А н  — линейнью операторы, то операторы ЛА, А+ В, АВ также линейные (при условии, что А+ В и АВ существуют). Действительно, Ча„б е Ж (ЛА) (аи + Я) = Л(А(ах + Ву)) = Л(аАж + ВАу) = а(ЛАх) + +В(ЛАу) = а(ЛА)х+ ф(ЛА)у; (А+ В)(аз + Ву) = А(ах + Ву) + В(ай+ Я) = аАж +,ВАу+ +аВЖ+,ВВу = а(Ах + Вх) +,В(АУ + ВД) = а(А+В)«+ +В(А+ В)р; (АВ)( *+ )ху) = А(В(аЖ+ Ру)) = А(аВ*+ РВу) = А(В ) + +~ВА(Вуу) = а(АВ)х+ КАБ)У. Утверждение. Умножению линейных операторов на числа, сложению и умножению линейных операторов соответствуют такие же действия с их матрицами. Замечание. Из примера 24 следует, что множество всех линей.- ных операторов, действующих из линейного пространства Х в жлейное пространство М, представляет собой линейное пространство относительно сложения операторов н умножения нх на числа. Пример 25, Пусть Р(х) = ас + охи +... + о„х" — много- член, с; с Ж, По аналогии можно определить операхор (операторный многочлен) Р(.4) = ос + ах А+...
+ а„А", где А: Х -+ Х вЂ” линейный оперкгор. Из предмдущего примера следует, что оператор Р(А.): Х -~ Х линейный. Боли Р(А) = 6 — нулевоМ оператор, то оператор А называется нулем операторного многочлена Р, Пример 2б. Пусть действие оператора А: Жз -~ Жз на про- .
извольный вектор, имеющий координаты х, у, «, определено равен- ствомА(л,у,«) =(О,х,у).Найти(„4 ~ б)(х У «)нАз(и «) Реииние: (А+ВПх у «) = А(х,у, )+8(в,у,«)=(О,х,у)+(х,у, )= = (в~в+у>у+«)) А'( У )=А(А( (х,у )))=А(А(б,*,у))=А(О,О, )=(О,О,О). Таким образом, Аз =- 9 — нулевой оператор. Пример 27. Пусть действие операторов А: Жз -+ Жз, В: Жз -~ Жз на произвольный вектор г с координатами и, у, « определено в некоторых фиксированных базисах пространств Жз, Жз равенствами А(и,у,«) = (2х1у+«), В(х,у>«) = (Й-«~у).
Найти результаты действия операгоров А+ В, ЗА, 2А — ЗВ на вектор т = (х, у, «). Реииние: (А+ В) (х, у, «) = А(х, у, «) + В(и, у, «) = = (2х,у+ «) + (ж — «,у) = (Зх — «,2у+ «); (ЗА)(а, у, «) = ЗА(х, у, «) = З(2и, у + «) = (бх, Зу + 3«) ", , 15 (2 1 — 5В)(х У,х) = 2А(х,д, ) — 5В(х,у, ) =2(2~,„+ ) 5(х — х, У)=(4х,2У+ 2з) — (5х — бх,бу) — ( х+ ба Зу+ 2 ) Пример 26. Пустьдействиеоператоров ~,1зз +ззз В Вз на произвольный вектор с координатами х, у, х определено в некоторых фиксированных базисах пространств йз, Кз равенствами А(х, у, з) = (2х, у+ х); Б(х, у) = (у, х), Определить действие операторов ВА и Вз, Решение: ВА(х) у, х) = В(А(х> у, з) ) = В(2х) у + х) = (у + з, 2х); В'(х,у) =В(В(х,у)) =В(у, ) =(х,у), т.е.
Вз = Е, где Š— единичный оператор. Пример 29, Пусть действие оператора А: Кз -+ мз на произвольный вектор с координатами х, у определено в некотором базисе пространства Жз равенством А(х, у) = (х + 2У„Зх + 4У), Найти Р(А) = Аз — 5А — 2Е, где Š— единичный оператор. Решение: Первый способ: Аз(х,у) = А(А(х,у)) = А(х+ 2У,Зх+ 4У) = = ((х+2У)+2(Зх+4У), 3(х+2У)+4(Зх+4У))=(7х+10У, 15х+22У); (5АПх, у)=5А(х, у)=5(х+2у, Зх+4у)=(бх+10у, 15х+2М Р(А) (х, у) =(А'-5А-ЗЕ)(, у)=А~(х, у)-(5А)( ', у)-2Е(х, у) = = (7х+ 10У,15х+ 22У) — (5х+ 10У,15х+ 20У) — (2х,2у) = (0,0) Второй способ, Линейность оператора А установлена в примере 4.
Подействуем на базисные векторы еь ез оператором А; т. е. Аег =А(1,0) = (1,3), :Аез =А(0,1) = (2,4), найдем его матрицу (1 и) Поскольку действиям над линейными операторами отвечают такие жо действия нзд вх матрицами, матрица Р линейного оператора Р('А) есть Р =. Аз-5А-2В= -5 4 -2 0 1 = О О Таким' образом, Р(А) = б, где 9 — нулевой оператор, а А есть нуль операторного многочлена Р. Пример 30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
