Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Идеальная и вязкая жидкости (955071), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Тогда давление линейноуменьшается вдоль плоского канала:p = p0 −dpx.dxУравнение динамики для жидкости Шведова — Бингама приобретаетвид481 dp 1 ∂+( τ xy ) = 0 .ρ dx ρ ∂yИнтегрируя с учетом того, что τ xy = τ = 0 при y = 0 в силу симметриитечения Пуазейля, получаемτ=−dpy.dxВ области, где τ > τ0 , ∂v x / ∂y ≠ 0 , а там, где τ ≤ τ0 , ∂v x / ∂y = 0 . Таким образом, в центре канала образуется зона движения, в которойдеформации отсутствуют. Границу этой области находим из уравненияdpτ0 =yS ,dxоткудаdpy S = ± τ0.dxПри этом отношение τ0dpтакже определяет условие начала течеdxния в канале, так как при движении yS < h .

То есть стационарноедвижение возможно, еслиdp τ0> .dxhВ области течения yS < y < h с учетом реологического соотношения Шведова — Бингама приdp ∂ +dx ∂y ∂v x≠ 0 , τ > τ0 имеем∂yτ0( ∂v x∂y )2∂v+ η x  = 0 , ∂y или49dp∂2v= −η 2x ,dx∂yоткудаvx = −1 dp y 2+ C1 y + C2 .η dx 2Постоянные интегрирования С1 и С2 определяем из условийvxy =h=0 и∂v x∂y= 0.y = ySПоследнее условие следует из требования обращения в нуль интенсивности тензора деформаций A = 2 γ ij γ ij . После преобразованийокончательно получаемvx =1 dp( h − y )( h + y − 2 yS ) .2η dxВ частности, скорость ядра задается выражениемvxy = yS=1 dp( h − yS2η dx)2.Таким образом, при течении вязкопластичной жидкости необходимо дополнительно определить границу области деформаций, на которой должны выполняться условия непрерывности скорости (как наповерхности твердого тела) и равенства нулю тензора деформаций(или, что эквивалентно, его интенсивности).Часто вязкопластичные жидкости относят к структурно-вязким.При этом имеется в виду, что в отсутствие деформаций в жидкостиимеется некоторая структура, образованная молекулами одной изкомпонент жидкости, имеющей сложный состав.

Наличие предельного напряжения сдвига свидетельствует о необходимости разрушенияэтой структуры при больших скоростях деформации. При очень малых скоростях деформации эта структура не разрушается, и тогдакривая течения имеет вид как на рис. 2.17.50τРис.

2.17. Вид кривой теченияструктурно-вязкой жидкостипри наличии предельного напряжения сдвига и очень малых скоростях деформацииτ0ОγzНесмотря на это модель Шведова — Бингама вполне приемлема, таккак отношение кажущихся вязкостей может достигать значенийη0 ( γ z = 0)= 106 .η∞ ( γ z = ∞)Дальнейшее обобщение реологической модели вязкопластичнойжидкости возможно с учетом нелинейности кривой течения. Достаточно общим законом является следующий: τ1 n n −1τ′ij = 2  01 m + η1 m  A m γ ij , n > 0, m > 0.AЭтот закон, который является обобщением законов Оствальда— де Виля и Шведова — Бингама, был предложен советским ученым З.П. Шульманом.2.7.

Диссипация энергии в несжимаемой жидкостиНаличие вязкости приводит к диссипации энергии, т. е. кинетическая энергия частиц жидкости переходит во внутреннюю энергиювследствие вязкого трения. Скорость диссипации особенно просто вычислить для несжимаемой жидкости.Кинетическая энергия единицы объемаρv2v= ρvi i .22После дифференцирования по времени:∂vi∂  v2 . ρ  = ρvi∂t  2 ∂t51Производную по времени возьмем из уравнения для несжимаемойжидкости (2.7):∂vi 1∂τ′∂  v2 ∂p 1− ρvi+ ρvi ik = ρ  = −ρvi vk∂t  2 ∂xk ρ∂xi ρ∂xk= −ρvk∂τ′∂v2∂p− vk+ vi ik . (2.21)∂xk∂xk2∂xkДля последнего слагаемого в (2.21) можно записать:vi∂τ′ik ∂ (vi τ′ik ) ∂vi=−τ′ik ,∂xk∂xk∂xkтак как∂ (vi τ′ik ) ∂vi∂τ′=τ′ik + vi ik .∂xk∂xk∂xkДалее учтем, что в силу симметричности тензора1  ∂v ∂v γ ik =  i + k 2  ∂xk ∂xi выполняется равенствоτ′ik∂vi= τ′ik γ ik .∂xkТогда выражение (2.21) примет вид∂v∂  v2   v 2 p  ∂ (vi τ′ik )ρ=−ρ(v,∇)  +  +− τ′ik i ,∂t  2 ∂xk∂xk 2 ρ(2.22)где, в частности:  v 2 p  ∂ (vi τ′ik )−ρ(v, ∇)  +  +— энергия, вносимая извне;∂xk 2 ρ∂vτ′ik i — вязкая диссипация энергии внутри объема жидкой час∂xkтицы.Поскольку жидкость несжимаемая и div(v) = 0 , то52   v2 p    v2 p −ρ(v, ∇)  +  = −∇  ρv  +   . 2 ρ  2 ρ С учетом этого выражение (2.22) примет вид∂  v2 ∂ρ  = −∂t  2 ∂xk  v2 p   +  ρv k − vi τ′ik  − τ′ik γ ik . 2 ρ (2.23)Если теперь рассмотреть в жидкости неподвижную поверхность S,которая ограничивает объем V, то можно записать интегральное соотношение, выражающее закон сохранения энергии в соответствии суравнением (2.23):  v2 p  v2 ∂ρ=−  +  ρv k − vi τ′ik nk dS − ∫∫∫ τ′ik γ ik dV .∫∫∫∫∫∂t V  2 2 ρS VТеперь предположим, что на жидкость не оказывается внешнеевоздействие, т.

е. существует такая поверхность S, для которой  v2 p ∫∫S   2 + ρ  ρvk − vi τ′ik dSk = 0 .Например, жидкость окружена неподвижными твердыми поверхно стями так, что на поверхности S скорость v = 0 . Тогда изменение кинетической энергии среды происходит только вследствие вязкой диссипации:2dη  ∂v ∂v ( Eкин ) = − ∫∫∫ 2ηγ ik γ ik dV = − ∫∫∫  i + k  dV .dt∂xi VV 2  ∂xkВ последнем уравнении учтено, что τ′ik γ ik = 2ηγ ik γ ik .2.8.

Теплопроводная жидкостьВ идеальной жидкости закон сохранения энергии выражаетсяуравнением (1.6) или (1.7).При наличии вязкости53  v2∂  ρv 2+ρε=−div ρv  + w  − v j τ′ji  ,∂t  2  2(2.24)  v2где ρv  + w  — плотность потока энергии вследствие переноса 2массы;pw = ε + — тепловая функция (см. подразд. 1.7);ρ′v j τij — плотность потока энергии вследствие вязкости.По сравнению с (2.23) в уравнении (2.24) отсутствует вязкая диссипация и присутствует внутренняя энергия среды.Если температура среды меняется от точки к точке, то плотностьпотока энергии необходимо дополнить плотностью потока теплотывследствие теплопроводности.

Если перепады температуры не слишком велики, то в соответствии с законом Фурье вектор плотности потока теплоты определяется выражениемq = − æ∇ T ,где æ — коэффициент теплопроводности (или просто теплопроводность), Вт/(м⋅К).Знак минус в записи закона Фурье означает, что поток теплотывсегда направлен в сторону максимального убывания температуры.Тогда закон сохранения энергии примет вид  v2 ∂  ρv 2+ρε=−div ρv  + w  − Ξ − æ∇T  ,∂t  2  2(2.25)где вектор Ξ j = vi τ′ ji определяет плотность потока энергии вследствиекасательных напряжений.В итоге полная система уравнений движения запишется в виде54 ∂ρ ∂t + div ( ρv ) = 0,  ∂v∂v ∂p ∂   ∂vi ∂v j 2 ∂vk  ∂  ∂vk ++− δij +ρ  i + v j i  = −η µ,txxxxx3xxx∂∂∂∂∂∂∂∂∂jijjikik22 ∂  ρv + ρε  = −div  ρv  v + w  − Ξ − æ∇T  , ∂t  22i = 1, 2,3(2.26)(всего пять скалярных уравнений).Для случая описания вязкой несжимаемой жидкости система (2.26)может быть существенно упрощена.

Для такой жидкости из уравненийдинамики было получено уравнение (2.23).Вычтем уравнение (2.23) из уравнения энергии (2.25) и получим∂(ρε) + div(ρεv) = div(æ∇T ) + τ′ik γ ik .∂tС учетом того, что div(v) = 0 ,æ υ  ∂v ∂v ∂ε + (v, ∇ )ε = div  ∇T  +  i + k ∂tρ 2  ∂xk ∂xi 2(2.27)где υ — коэффициент кинематической вязкости. Будем считать, чтоε = cT , где c — удельная теплоемкость (для несжимаемой жидкостинет разницы, при каких условиях — постоянства давления или объема— определяется теплоемкость: c = cp = cv.). Тогда из (2.27) следуетуравнение2∂Tυ  ∂v ∂v + (v, ∇ )T = div(λ∇T ) +  i + k  ,∂t2c  ∂xk ∂xi где λ = æ/cρ — коэффициент температуропроводности, м2/с (т. е. λимеет ту же размерность, что и кинематическая вязкость).Полная система уравнений в этом случае имеет вид55div ( v ) = 0,  ∂v 1∂   ∂vi ∂v k  + υ, + ( v, ∇ ) v = − ∇p +ρ∂x j   ∂xk ∂xi   ∂t2υ  ∂vi ∂v k  ∂T ∂t + ( v, ∇ ) T = div ( λ∇T ) + 2c  ∂x + ∂x  .i  k(2.28)Ясно, что даже и в этом случае уравнения динамики и переносаэнергии нельзя рассматривать по отдельности, так как вязкость зависит от температуры (плотность тоже может оказаться зависимой оттемпературы), а движение жидкости привоIIдит к переносу внутренней энергии.

При неГIобходимости в уравнениях можно учесть каквнешние силы, так и внешние источники теплоты.nУравнение переноса теплоты необходимодополнить условиями на границах различныхРис. 2.18. Граница (Г)контактирующих сред. Чаще всего на границеразличныхконтактираздела сред Г (рис. 2.18) ставятся граничныерующих сред I, II ( n —условияидеального контактавектор нормали к поT( ) =T(Iверхности раздела Г)ΓII )Γи равенства потоков теплотыæ( I )∂T ( I )∂T ( II)= æ( II ),∂n∂nгде∂T= (gradT , n )∂n( n — вектор нормали к поверхности раздела Г).Заметим, что возможны и другие граничные условия.

Однако онидолжны быть хорошо согласованы между собой с учетом физическихсоотношений.562.9. Роль внешних источников теплоты. Тепловой взрывРоль внешних источников теплоты часто оказывается нетривиальной. В технике таких примеров достаточно, так как одной из задачразнообразных технических устройств является преобразование тепловой энергии в механическую.

Несмотря на это важнее убедиться втом, что и сам процесс разогрева среды (пусть неподвижной) можетоказаться нетривиальным.В физических задачах о распределении температуры параметрывнешних источников теплоты, как правило, зависят от температуры. Вто же время отвод теплоты из области нагрева может не успеть за выделением теплоты. Тем самым создаются условия для неограниченного разогрева.Рассмотрим в качестве примера задачу о стационарном распределении температуры в неподвижном веществе, заключенном междудвумя параллельными плоскостями, температура которых поддерживается постоянной.

Мощность источников теплоты зададим в виде,соответствующем экзотермической реакции горения:q = q0eα (T − T0 ).Скорость реакции горения может зависеть от температуры, в частности от множителяexp(− U T ) ,где U — энергия активации. Для наших целей достаточно исследоватьпроблему при незначительном разогреве и считать, что1 1 T − T0= −T T0T02(ряд Тейлора по степеням (T − T0 ) ). В этом случаеexp(− U T ) ∼ e α(T −T0 ) , α > 0.О2lxРис. 2.19. Пространство между двумяплоскостями x = 0 и x = 2l, заполненноенеподвижным веществом с постояннойтеплопроводностью æ57Рассмотрим пространство между двумя плоскостями x = 0 и x = 2l(рис.

2.19), заполненное неподвижным веществом с постоянной теплопроводностью æ. Задача о нахождении стационарного распределения температуры, если в веществе действуют указанные источникитеплоты, а температура на граничных плоскостях одинакова и постоянна, формулируется в видеæ∂ 2Tα T −T= −q0e ( 0 ) ,∂x 2α > 0, x ∈ [0, 2l],T = T0 при x = 0 и x = 2l.Если ввести безразмерные переменные τ = α(T − T0 ) , ξ = x l , то получим дифференциальное уравнениеτ′′ + λe τ = 0 ,(2.29)где λ = q0αl 2 / æ , с граничными условиями τ = 0 при ξ = 0 и ξ = 2.Уравнение (2.29) допускает понижение порядка:dτ= τ′ = p ,dξd τ′ d τ′ d τdp==p,dξ d τ dξdτ1 dp 2+ λe τ = 0 ,2 dτp 2 = −2λe τ + С .Из условия симметрии имеем d τ / d ξ = p = 0 при ξ = 1, откудаС = 2λ e τ 0 ,где τ0 = τ ξ=1 — максимальное значение безразмерной температурыпри ξ = 1.

Характеристики

Список файлов книги