Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Идеальная и вязкая жидкости (955071), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Вкоординатной форме уравнение (1.7) имеет вид ∂   v2  ∂   v2  ∂   v2∂  ρv2+ρε+ρv+w+ρv+w x  y    +  ρvz  + w  = 0 .∂t  2 ∂x   2  ∂y   2  ∂z   2Перепишем (1.7) какρ  v2 ∂ρ  v2 v2∂  v2   + ε  +  + ε  +  + w  div ( ρv ) +  ρv, grad  + w   = 0 .∂t  2  2 ∂t  2 2(1.8)С учетом уравнения непрерывности∂ρ+ div ( ρv ) = 0∂tуравнение (1.8) примет видρ p v2∂  v2  +ε+divρv+ρv,grad+ w = 0 .()∂t  2 ρ 2(1.9)Для несжимаемой жидкостиdiv ( ρv ) = 0 ,поэтому уравнение (1.9) в этом случае переписываем:  v2∂  v2+ε+v,grad+ w   = 0 , ∂t  2  2или в координатной форме:22(1.10)∂  v2 ∂  v2p∂  v2p∂  v2p + ε  + vx  + ε +  + v y  + ε +  + vz  + ε +  = 0 .∂t  2∂x  2ρ∂y  2ρ∂z  2ρ232.

ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ2.1. Движение жидкой частицыВ отличие, например, от твердого тела, степень деформации жидкости может быть очень сильной (фактически бесконечной). Поэтомув случае твердого тела говорят о конечных деформациях, а в случаежидкости — о бесконечных.

Естественно возникает вопрос о способеописания деформации жидкой частицы. Рассмотрим движение малойчастицы жидкости, имеющей первоначальную форму параллелепипеда, с ребрами, параллельными осям декартовой системы координат(рис. 2.1).Пусть скорость жидкости в точке a: v a = (v x , v y , v z ) . Тогда координаты вектора скорости в точке b:∂v y∂v∂v vb =  v x + x dy, v y +dy, v z + z dy  ,∂y∂y∂yв точке d:∂v y∂v∂v v d =  v x + x dx, v y +dx, v z + z dx  ,∂x∂x∂x в точке e:∂v∂v ∂vve =  v x + x dz, v y + y dz , v z + z dz  .∂z∂z∂zРассмотрим малую деформацию грани abcd, параллельной плоскости xy, произошедшую за время dt (рис.

2.2):24lzec′bchbcd′yaaОb′ygddОxРис. 2.1. Малая частица жидкости, первоначально имеющаяформу параллелепипеда, с ребрами, параллельными осям декартовой системы координатbb′ =dd ′ =xРис. 2.2. Малая угловаядеформация грани abcd,параллельной плоскости xy∂v xdydt ,∂y∂v y∂xdxdt.Относительное смещение, или угловая деформация,bb′ ∂v x=dt ,ab∂ydd ′ ∂v y=dt.ad∂xПолное изменение угла в вершине a за малый промежуток времени dt: ∂v x ∂v y+∂x ∂y dt ,а скорость соответствующей угловой деформации грани, перпендикулярной оси z,∂v∂vγz = x + y .∂y∂xАналогично для остальных граней имеем25ycbc′′b′′a∂v z ∂v y+,∂y∂z∂v∂vγy = x + z .∂z∂xγx =d′′dТаким образом, величинамиγx, γy, γz определяются скоростиугловых деформаций жидкойчастицы.Вычислим скорости линейных деформаций (рис. 2.3).

Длястороны, параллельной оси x,ОxРис. 2.3. Малая линейная деформация грани abcd, параллельной плоскости xydd ′′ =∂v xdxdt.∂xОтносительное удлинениеdd ′′ ∂v x=dt.ad∂xСкорость относительного удлиненияεx =∂v x.∂xАналогичноεy =εz =∂v y∂y,∂v z.∂zТогда для скорости изменения объема (пренебрегая малыми величинами порядка выше первого) можно записать:dV= (ε x dx)dydz + dx(ε y dy )dz + dxdy (ε z dz ) = (ε x + ε y + ε z )dxdydz .dtОтносительное изменение объема26∂v ∂v∂v1 dV= ε x + ε y + ε z = x + y + z = div(v) .V dt∂x∂y∂zОбъединяя вычисленные скорости угловых и линейных деформаций,определим тензор скоростей деформации в виде1  ∂v ∂v jγ ij =  i +2  ∂x j ∂xi .Этот тензор второго ранга симметричен по перестановке индексов.Его первый инвариант1  ∂v ∂v  ∂vI1 = γ ii =  i + i  = i = div(v)2  ∂xi ∂xi  ∂xi(2.1)определяет скорость объемной деформации в жидкости.

При этом длянесжимаемой жидкостиI1 = 0 .Второй инвариант1  ∂v ∂v j ∂vi ∂v j I 2 = γ ij γ ij =  i+.2  ∂xi ∂x j ∂x j ∂xi По немужидкостинаходиминтенсивностьдеформаций(2.2)несжимаемойA = 2I 2 ≥ 0 .Третий инвариантI 3 = det( γ ij ) .(2.3)2.2. Силы, действующие в жидкостиСилы, действующие на выделенный объем жидкости, можно разделитьна объемные и поверхностные.

Объемные силы действуют на все материальные частицы, составляющие объем жидкости. К ним относятся силытяжести, инерции, магнитные и электрические. Поверхностные силы действуют на поверхность, ограничивающую выделенный объем (например,27силы вязкого трения). Они возникают в результате воздействия окружающей среды на выделенный объем.Поверхностные силы в зависимости от того, как они направленыпо отношению к элементу поверхности, к которому они приложены,подразделяют на нормальные и на тангенциальные.Для описания взаимодействия в данной точке объема или поверхности вводят понятие напряжения. Для объемных сил F определяютобъемную плотность dFf =,dVгде dV — элемент объема.

Для поверхностных сил R определяют поверхностное напряжение dRτ=,dSτ xz +z−τ xxОyTndz−τ xyy∂τ xzdx∂x∂τ xyτ xy +dx∂xdxdyτ xx +∂τ xxdx∂x−τ xzОzxxРис. 2.4. Разложение по осям координатвектора напряжения силы, действующейна элемент объема в жидкости (показанотолько для двух противоположных граней)Рис. 2.5. Напряжениена произвольной выбранной площадке внутрижидкостигде dS — элемент поверхности.Выделим элемент объема в жидкости, как указано на рис. 2.4, ввиде параллелепипеда. На каждую из его граней действует поверхностная сила. Вектор напряжения этой силы можно записать в виде тензора τij , где i — номер оси, перпендикулярной грани, к которой приложена сила; j — номер оси, на которую берется проекция вектора.Например, τ11 = τ xx — нормальное напряжение, приложенное к грани,28перпендикулярной оси x, в направлении оси x; τ12 = τxy — касательноенапряжение к грани, перпендикулярной оси x, в направлении оси y.Заметим без доказательства, что из условия равновесия рассматриваемого объема следует равенствоτij = τji,т.

е. матрица тензора напряжений является симметричной.С помощью тензора напряжений можно найти составляющие напряжения на произвольной выбранной площадке внутри жидкости(рис. 2.5):Ti = n j τij ,(2.4)где n = {ni } — вектор единичной нормали к выбранной площадке. Например,Tx = nx τ xx + ny τ yx + nz τ zx .Таким образом, тензор напряжений полностью характеризует напряженное состояние жидкости в произвольной точке.Первый инвариант тензора напряжений связывают с давлением1p = − τii ,3и обычно рассматривают разложение тензора напряжений в видеτij = − pδij + τ′ij ,(2.5)где0, i ≠ j ,δij = 1, i = j— символ Кронекера. То есть разбивают тензор напряжений на девиатор τ′ij , для которого τ′ii = 0 , и шаровой тензор − pδij .Составим уравнение динамики для указанного параллелепипеда(см.

рис. 2.4). Для этого найдем равнодействующую всех сил, приложенных к параллелепипеду в направлении оси x.Нормальные напряжения∂τ xx∂τdx − τ xx  dydz = xx dxdydz . τ xx +∂x∂x29Составляющие силы от тангенциальных напряжений, действующих набоковые грани:∂τ yxdy − τ yx  dxdz = τ yx +∂y∂τ zxdz − τ zx  dxdy = τ zx +∂z∂τ yx∂ydxdydz,∂τ zxdxdydz.∂zМасса выделенного объемаM = ρdxdydz.Записывая второй закон Ньютона в проекции на ось x, получаемρ∂τ ∂τDv x∂τ = X +  xx + yx + zx  .dt∂y∂z  ∂xАналогично по другим осям: ∂τ xy ∂τ yy ∂τ zy =Y +++,dt∂y∂z  ∂x∂τ yz ∂τ zz  ∂τDvρ z = Z +  xz ++.dt∂y∂z  ∂xЗдесь X, Y, Z — соответствующие составляющие напряжений объемной силы.Символом D / dt обозначена субстанциональная производная:ρDv yD ∂∂∂ = + (v, ∇ ) ≡ + vi.dt ∂t∂t∂xiВозвращаясь к давлению, с учетом (2.5) в индексной форме можнозаписать∂τ′ji ∂vρ  i + (v j ∇ j )vi  = −∇ i p ++ fi ,∂x j ∂tили ∂v∂v ∂p ∂τ′ijρ i + vj i  = −++ fi .∂x j ∂xi ∂x j ∂t30Последнее уравнение может быть переписано в виде (см.

вывод уравнения Эйлера в гл. 1)∂ (ρvi )∂∂p ∂τ′ij+(ρvi v j ) = −++ fi∂t∂x j∂xi ∂x jили∂ (ρ v i ) ∂ρv i v j + pδ ji − τ′ji  = f i .+∂t∂x j Тензор плотности потока импульса Π ′ji = ρv j vi в случае неидеальной жидкости может быть записан в более общем виде:Π ji = Π ′ji + pδ ji − τ′ji ,так как перенос импульса происходит не только при переносе вещества, но и вследствие напряжений, возникающих при деформации в неидеальной жидкости.С учетом тензора Π ji уравнение переноса импульса переписывается в виде∂ (ρvi ) ∂+Π ij = fi .∂t∂x jnИспользуя понятие тензора плотностипотока импульса Π ij , последнее уравнение,dSVSРис. 2.6.

Характеристики

Список файлов книги