Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Идеальная и вязкая жидкости (955071), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

В достаточно общем случае положение свободной поверхностиможет быть задано уравнениемФ(x, y, z, t) = С = const.Предполагается, что все первые частные производные функции Ф(x, y,z, t) существуют.Так как жидкие частицы не могут покинуть свободную поверхность, можно считать, что им присуща некоторая величина Ф. Сохра39нение некоторой скалярной величины (например, массы) означает равенство нулю субстанциональной производной:∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ+ vx+ vy+ vz=0∂t∂x∂y∂z(2.15)при Ф = С, т. е. на свободной поверхности. Условие (2.15) являетсяискомым кинематическим условием на свободной поверхности.Пример. Пусть рассматривается случай плоского движения жидкости:y=ξ(x, t)yv = ( v x ( x, y , t ), v y ( x, y , t ),0 ) ,xОРис.

2.10. Иллюстрация уравнения свободной поверхности вида y = ξ( x, t )а уравнение свободной поверхностиy = ξ( x, t )задановвиде(рис. 2.10). На свободной поверхностиΦ = y − ξ( x, t ) = 0 ,поэтому выполняется условие∂ξ+ vx∂ty =ξ∂ξ− vy∂xy =ξ=0.(2.16)Если при этом свободная поверхность неподвижна, тоv x ∂ξ=,v y ∂xт.

е. вектор скорости жидкости направлен по касательной к поверхности.2.6. Классификация реологически сложных жидкостейВ предыдущих параграфах мы проследили развитие представлений гидродинамики от простых моделей Эйлера — Лагранжа к болеесложным моделям Навье — Стокса. Для идеальной жидкости реологическую1 модель среды можно записать в виде1Реология — наука о деформациях и текучести веществ (от греч. rheos — течение, поток и logos — наука).40τij = − pδij ,а для несжимаемой вязкой жидкости, в соответствии с гипотезойНьютона, формулируется другая модель:τij = − pδij + 2ηγ ij ,где динамическая вязкость жидкости считается зависимой только оттемпературы.Практика применения в технике различных реологически сложныхжидкостей, примерами которых могут служить мелкодисперсные суспензии различного состава (торф, водоугольные дисперсии, топливные смеси, разнообразные горючие материалы с полимерным связующим, пасты и суспензии ядерного горючего, мазуты и т.

п.),требует дальнейшего усложнения реологических моделей. Механическое поведение таких сред отличается исключительным своеобразием.Рассмотрим некоторые модели неньютоновской среды, помогающие классифицировать поведение реологических жидкостей.Проанализируем однородное нагруженное состояние, котороереализуется при плоском стационарном течении Куэтта (рис. 2.11)и при котором кинематические характеристики не зависят от реологических свойств жидкости.

Как показывают эксперименты,τ = τ(γ z ) ,yv0τhДинамометрv=v0yhОxРис. 2.11. Плоское стационарное течении Куэтта. Представлены графикнапряжения τ и профиль скоростей v(y) в зависимости от расстояния(толщины) y41гдеγ z = v0 / h— скорость угловой деформации. Зависимостьτ = τ(γ z ) называют кривой течения. Характерный вид возможныхкривых течения и их классификация представлены на рис. 2.12.ττ0546II213IγzОРис.

2.12. Характерный вид возможныхкривых течения:I — чисто вязкие жидкости (1 — ньютоновская; 2 — псевдопластичная; 3 — дилатантная); II — вязкопластичные жидкости (4 —линейно-вязкопластичные; 5, 6 — нелинейновязкопластичные)Обсудим возможные модели чисто вязких сред, оставаясь в рамкахтензорной линейной модели. Если считать среду изотропной, мы придем к ситуации, когда тензор напряжений непрерывно зависит от тензора скоростей деформаций:τij = f ( γ ij ) .Существует строгое доказательство того, что наиболее общим выражением реологической зависимости является нелинейная модельСтокса для вязкой неньютоновской среды:τij = − pδij + βγ ij + θγ ik γ kj ,(2.17)где β и θ — скалярные функции главных инвариантов тензора скоростей деформации (2.1) – (2.3).42В рамках тензорной линейной модели необходимо принять условие θ = 0, которое в дальнейшем будет везде считаться выполненным.Для несжимаемой среды инвариант (2.1)I1 = div(v) = 0 ,поэтому возможная зависимость параметров модели от I1 становитсянеактуальной.

Таким образом, мы приходим к варианту выражения(2.17) видаτij = − pδij + βγ ij ,(2.18)где β = β( I 2 ) , т. е. механические свойства среды считаем зависимымиот интенсивности тензора скоростей деформации.Для чисто вязких сред популярной моделью является зависимостьв виде степенного закона Оствальда — де Виля. Применительно к течению Куэтта для однородного напряженного состояния степеннойзакон можно записать в виде τ = k γ nz если принять, что γ z > 0 , или, сучетом возможного знака, какτ = k γzn>1τn=1n<1ОγzРис. 2.13.

Иллюстрация степенного закона:значение k одинаково; n > 1 — дилатантнаяжидкость; n < 1 — псевдопластичная жидкостьn −1γz .Постоянную k > 0 называют показателем консистенции, параметр n > 0 —индексом течения (рис.2.13).Степенной закон Оствальда — де Виля обобщается на случай сложногодеформирования в видеβ( I 2 ) = 2kAn−1 ,где A = 2 γ ij γ ij — интен-сивность тензора скоростей деформации. Тогда выражение (2.18)примет видτij = − pδij + 2kAn−1γ ij .43Заметим, что при n = 1 осуществляется предельный переход к ньютоновской жидкости.Степенная модель Оствальда — де Виля имеет свои недостатки.Они легко могут быть обнаружены, если проанализировать зависимость «кажущейся» дифференциальной вязкости от скорости деформации по виду кривой течения в модели Куэтта:η* =dτ= knγ nz−1 .dγzЕсли положить n > 1 (дилатантная жидкость), то η* → 0 при γ z → 0 иη* → ∞ при γ z → ∞ . Если положить n < 1 (псевдопластичная жид-кость), то η* → ∞ при γ z → 0 и η* → 0 при γ z → ∞ .

На самом делевеличина η* должна быть ограниченной и сверху и снизу положительными (ненулевыми) значениями. Несмотря на это степенной закон оказывается справедливым в широком интервале скоростей деформации. В поддержку этого закона также можно отметить, что вобоих пределах γ z → 0 и γ z → ∞ процесс деформации имеет, какправило, несколько иную физическую природу, чем при умеренныхскоростях деформации.В заключение обсуждения степенного реологического закона рассмотрим плоское течение Пуазейля.yh2hОx–hРис. 2.14. Плоское течение Пуазейля.

Система координатВ силу симметрии систему координат выберем как на рис. 2.14.Вектор скорости имеет координаты v = ( v( x ),0,0 ) . Для давленияможно записать выражение44dpx,dxp = p0 −где значение dp / dx = const задано.Для рассматриваемой жидкостиdvτ yx = kdyn−1dv,dyсоответственно уравнение движения имеет видn−11 dp 1  dv dv −+ k = 0.ρ dx ρ  dy dy Учитывая, что при y ∈ [ 0, h ] должно выполняться неравенствоdv/dy < 0 , получаем дифференциальное уравнение в этой области:nd  dv 1 dp,−  =dy  dy k dxоткудаn dv 1 dpy+C ,−  =k dx dy C = const. Постоянную интегрирования С определяем из условия симметрии (считаем, что n > 0)dvdy=0y =0(скорость достигает своего максимального значения в центре канала),следовательно, C = 0.

Поэтому1n 1 dp dv= −y ,dy k dx 1n 1 dp v = − k dx nyn +1n +1n+ C1 .45Используя граничное условие v y = h = 0 , находим1n 1 dp C1 =  k dx n nn+1h .n +1Для области y > 0 получаем1n 1 dp v= k dx n +1n +1n  nnh−y.n + 1Распространяя решение на всю область y ∈ [ −h, h ] , окончательно получаем1n 1 dp v= k dx n  nn+1h − yn +1n +1n.Рассмотрим функцию, пропорциональную скоростиv1 = hn +1nn+1ny1 −.  h     Графики этой функции для разных характерных значений показателяn > 0 приведены на рис. 2.15.

В частности, если y = 0, то v1 = h1+1 / n иyn=1n<1n=∞h2hxОv1v1v1-hРис. 2.15. Графики функции v1 для разных характерных значений показателя n > 046при n → ∞ v1 → h , а при n = 1 v1 = h 2 .Простейшей моделью вязкопластичной жидкости является модельШведова — Бингама, линейно сочетающая предельное напряжениясдвига τ0 и вязкость. В случае плоского течения Куэтта (см. рис. 2.11)при γ z ≠ 0τ = τ0sgn( γ z ) + ηγ z ,(2.19)где sgn( γ z ) — знак скорости деформации.

Знаки слагаемых в правойчасти выражения (2.19) должны быть согласованы с требованием возрастания τ при увеличении параметра γ z .Предельное напряжение сдвига впервые было обнаружено русским ученым Ф.Н. Шведовым у растворов желатина, а затем американским ученым Ю. Бингамом у масляных красок, которые до этогосчитались ньютоновскими жидкостями.Реологический закон Шведова — Бингама для пластичных средможно обобщить на случай сложного деформирования с учетом того,что при τ0 = 0 соответствующее соотношение должно совпадать сньютоновскими законом:ττ′ij = 2  0 + η γ ij ,Aгде A = 2 γ ij γ ij > 0 — интенсивность тензора скоростей деформации,илиττij = − pδij + 2  0 + η γ ij .AВычислим интенсивность тензора напряжений:1τ′ij τ′ij = τ0 + ηA ,2откуда следует, что при A → 01τ′ij τ′ij → τ0 .2Однако при течении могут образовываться области, где471τ′ij τ′ij < τ0 .2В силу отсутствия деформаций при напряжениях меньших τ0 можно окончательно записать реологическое уравнение Шведова — Бингама для пластических сред при наличии и при отсутствии деформаций:1 τ0τ′ij τ′ij > τ0 , τ′ij = 2  + η γ ij , если2A1τ′ij τ′ij ≤ τ0 . γ ij = 0 или A = 0, если2(2.20)yv(y)2hО2ysτ(y)xРис.

2.16. Плоское течение Пуазейля. Представлены графикнапряжения τ и профиль скоростей v(y) в зависимости от расстояния (толщины) yВ качестве еще одного примера рассмотрим плоское течение Пуазейля (рис. 2.16), которое происходит под действием заданного постоянного градиента давления dp / dx = const .

Характеристики

Список файлов книги