Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Идеальная и вязкая жидкости (955071), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть имеется произвольная функция пространственных переменных f ( x, y, z, t ) (или векторное либо тензорное поле). Тогдаddt ∂f ∫∫∫ f ( x, y, z, t )dV = ∫∫∫  ∂t + div( fv)  dV ,VVгдеdiv ( fv ) = ∇ i ( fv i ) = ∇ x ( fv x ) + ∇ y ( fv y ) + ∇ z ( fv z ) ,10v = (v x , v y , v z ) — вектор скорости, с которой движутся точки объема.1.3.

Уравнение непрерывности сплошной средыВсе уравнения, которыми пользуются для описания физическихпроцессов, происходящих в сплошной среде (или, как говорят, дляописания переноса) могут быть интерпретированы как специфическая форма выражения законов сохранения. Действительно, несмотря на феноменологический подход, все используемые соотношения должны быть в определенной мере следствиями законовсохранения, среди которых выделяют законы сохранения:• вещества;• импульса;• момента импульса;• энергии.Следует отметить, что перечисленными законами список не исчерпывается.

Например, в определенных условиях можно применитьзакон сохранения энтропии или каких-либо других функций, зависящих от термодинамических потенциалов. Если анализируется совместное движение вещества и электромагнитного поля, то необходимоучесть специфические законы сохранения для электромагнитного поля.Математическое выражение закона сохранения вещества длясплошной среды называют уравнением непрерывности.Выделим в сплошной среде неподвижный объем V, ограниченныйзамкнутой поверхностью S. Если ρ — плотность среды, v — полескоростей среды на границе объема, то изменение массы вещества вобъеме может быть вызвано его притоком или (оттоком) через граничную поверхность S (рис. 1.5):vndSVSРис. 1.5.

Вывод уравнения непрерывности. Векторное поле скоростей условно показано одним вектором v11d ρdV=−ρv(∫∫S ) dS .dt ∫∫∫VВектор ρv = {ρvi } называют вектором плотности потока вещества.Из закона сохранения количества вещества следует, что если массав объеме увеличивается, то вещество втекает в объем, и поэтому егопоток через поверхность S отрицательный (так как поверхность ориентирована наружу*). Применив теорему Гаусса-Остроградского кправой части равенства, получим∂ρ∫∫∫ ∂t dV + ∫∫∫ div ( ρv ) dV = 0 ,VVили, в силу произвольности объема V, в дифференциальной форме:∂ρ+ div ( ρv ) = 0 .∂t(1.1)В другой записи∂ρ+ ∇ i ( ρvi ) = 0 ,∂tили∂ρ ∂∂∂+ ( ρv x ) + ( ρv y ) + ( ρv z ) = 0 .∂t ∂x∂y∂zЭто же соотношение можно получить исходяиз представлений Лагранжа.Выделим некоторую часть частиц вещества, находящуюся в движущемся замкнутомобъеме V (рис.

1.6). Тогда∫∫∫ ρdV = const, илиVd ∫∫∫ ρdV  = 0.dt  VV(t+∆t)V(t)Рис. 1.6. Изменениеформы некоторого замкнутого объема с течением времени*Это выражение означает, что вектор нормали к поверхности направленнаружу.12Используя формулу дифференцирования по времени интеграла поподвижному объему, получаем ∂ρ ∫∫∫  ∂t + div ( ρv ) dV = 0,Vоткуда, вследствие произвольности объема V, следует уравнение непрерывности в дифференциальной форме:∂ρ+ div ( ρv ) = 0.∂tДля несжимаемой однородной жидкости ρ = const, тогда∂v∂v∂vdiv ( v ) = 0 или x + y + z = 0,∂x∂y∂zт.

е. векторное поле скоростей в несжимаемой жидкости является соленоидальным. В этом случае всегда можно найти векторное поле A ,такое, чтоv = rotA .1.4. Идеальная жидкость. Уравнение ЭйлераУравнением Эйлера называют уравнение переноса импульса в идеальной жидкости. Идеальная жидкость — это жидкость, рассматриваемая в условиях, когда несущественны процессы вязкой диссипациии теплопереноса.Запишем закон сохранения импульса для некоторого неподвижного объема V идеальной жидкости, ограниченного замкнутой поверхностью S. Рассматривая вещество как механическую систему, найдемимпульс выделенного объема:∫∫∫ ρvdV .VПоток импульса внутрь объема жидкости в единицу времени, обусловленный давлением:13−∫∫ pdS .SНадо также учесть поток импульса, вносимый втекающим веществом.Если ρ v, dS()— поток вещества через выделенную площадку dS, то ρvi v, dS = ρvi ( v j n j ) dS()— плотность потока i-й компоненты импульса через ту же площадку.Поток i-й компоненты через всю поверхность S по теореме ГауссаОстроградского вычисляют как∫∫ ρv v n dS = ∫∫∫ ∇ (ρv v ) dV ≡ijjjSj iV∂∂∂≡ ∫∫∫  ( ρvx vi ) + ( ρvy vi ) + ( ρvz vi )  dV.∂x∂y∂zV Из закона сохранения импульса следует:dρvi dV + ∫∫∫ ∇ j ( ρv j vi ) dV = − ∫∫∫ ∇ i pdV , i = 1, 2, 3,dt ∫∫∫VVVили в дифференциальной форме:∂( ρvi ) + ∇ j ( ρv j vi ) = −∇i p ,∂tилиvi∂v∂ρ+ ρ i + vi ∇ j ( ρv j ) + ρv j ∇ j ( vi ) = −∇ i p .∂t∂tС учетом уравнения непрерывности∂ρ+ ∇ i ( ρv i ) = 0∂tполучаем уравнение Эйлера14ρ∂vi+ ρv j ∇ j ( vi ) = −∇i p ,∂t(1.2)или в векторной форме:∂v1 + v, ∇ v = − gradp .∂tρ()В декартовых координатах уравнения Эйлера записывают так:∂v y∂v x∂v∂v1 ∂p+ vx x + vx+ vx z = −,∂x∂x∂xρ ∂x ∂t ∂v y∂v y∂v∂v1 ∂p+ vy x + vy+ vy z = −,∂y∂y∂yρ ∂y ∂t ∂v∂v y∂v∂v1 ∂p z + vz x + vz+ vz z = −.∂z∂z∂zρ ∂z ∂tВеличинуΠ ′ij = ρvi v jназывают тензором плотности потока импульса.

Этот тензор симметричен по перестановке индексов, так какΠ ′ij = ρvi v j = ρv j vi = Π′ji .Если ρv = ( ρv x , ρv y , ρv z ) — импульс единицы объема и каждая изyсоставляющих вектора плотности потока импульса ρv i может переноситься вдоль любого из направлений (рис.1.7), то ρv i v j — величина i-й проек-ρvyρvxОции плотности потока импульса, переносимой вдоль направления j в единиρvzцу времени.dSИзвестно, что след матрицы тензора (свертка тензора второго ранга)Рис. 1.7. Поток вещества через — инвариантная величина, не зависящая от системы координат.

В данвыделенную площадку dSzx15ном случае след тензора равен удвоенной кинетической энергииединичного объема жидкости: ρv 2 Π′ii = ρvi vi = ρv x v x + ρv y v y + ρv z v z = 2  = 2 Eкин . . 2 Если жидкость находится в поле внешних сил, то плотность внешней силы можно включить в уравнение Эйлера:∂v11 + v∇ v = − gradp + f ,∂tρρ( )где f — сила, действующая на единичный объем вещества. Например, для силы тяжестиf = ρg ,где g — вектор ускорения свободного падения.Дифференциальный оператор∂∂∂∂∂+ v∇ ≡ + v x+ vy+ vz∂t∂t∂x∂y∂z( )часто называют субстанциональной производной, так как эта производная (по времени) учитывает перемещение вещества.1.5. Плоские течения несжимаемой (капельной)идеальной жидкостиДля несжимаемой (часто называемой капельной) жидкостиρ = const, тогда из уравнения непрерывности следует:div(v) = 0 ,т.

е. поле скоростей является соленоидальным:v = rotA .Рассмотрим случай, когда движение является плоским, т. е. когдаскорость зависит от двух пространственных координат v( x, y, t ) . Вэтом случае вектор A имеет только одну нетривиальную координату16A = (0, 0, Ψ ) .При этом функцию Ψ(x, y, t) принято называть функцией тока. В терминах функции тока уравнение непрерывности выполняется «автоматически»: ijk  ∂Ψ ∂Ψ  ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ∂∂∂ div ( v ) = div =div− j−=0.i=∂x ∂y ∂z ∂x  ∂x∂y ∂y∂x ∂y0 Ψ  0Параллельно получаем выражения для компонент вектора скорости:∂Ψ,vx =∂y∂Ψvy = −.∂xСоответственно переписываем уравнение Эйлера для этих компонентскорости:∂ 2 Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ1 ∂p+−=−,∂t ∂y ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2ρ ∂x(1.3)∂ 2 Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ1 ∂p.+−=−2∂t ∂x ∂y ∂x∂x ∂x∂yρ ∂y(1.4)−Продифференцируем (1.3) по x, а (1.4) — по y, затем вычтем изпервого уравнения второе и получим∂∂Ψ ∂ ( ∆Ψ ) ∂Ψ ∂ ( ∆Ψ )−= 0.( ∆Ψ ) +∂t∂y ∂x∂x ∂y(1.4′)Таким образом, функция тока должна быть определена из нелинейного уравнения, что представляет значительные математическиетрудности.Физический смысл функции тока прояснится, если рассмотретьстационарное движение жидкости, при котором функция тока не зависит от времени: Ψ(x, y).

Так как скалярное произведение17( v, gradΨ ) =∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ−= 0,∂y ∂x∂x ∂yвектор скорости совпадает по направлению с касательной к «линиитока», т. е. к линии, на которой Ψ ( x, y ) = const . Получается, что насамом деле частицы вещества движутся вдоль линии тока.Ψ = constyРис. 1.8. Определение объемногорасхода вещества через кривую L(1 — начальная точка, 2 — конечная точка; k — орт, перпендикулярный к плоскости рисунка;линии тока определяются соотношением Ψ = const)2LdlОk1xТеперь рассмотрим объемный расход вещества через некоторую«кривую L » (через криволинейную площадку единичной ширины, образованную касательным вектором к кривой 1–2 dl = (dx, dy, 0) и ортомk, перпендикулярным к плоскости (рис. 1.8)):∫∫ ( v, dS ) = ∫∫ ( v, dl × k  ) = ∫∫ ( k , v × dl  ) =SS=kS ∂Ψ∂Ψ∫ ( v dy − v dx ) = ∫  ∂y dy + ∂x dx  = ΨxLy2− Ψ1 .LТо есть разность значений функций токаравна расходу жидкости через соответствующую поверхность.В качестве примера применения функциитока рассмотрим стационарное обтеканиепрямого угла, образованного твердыми поверхностями (рис.

1.9). Уравнение (1.4′),приобретающее в этом случае вид∂Ψ ∂ ( ∆Ψ ) ∂Ψ ∂ ( ∆Ψ )−= 0 , (1.4′′)∂y ∂x∂x ∂yyvxОРис. 1.9. Стационарное обтекание прямого угла, ограниченного твердыми подолжно быть решено с граничными усло- верхностямивиями18∂Ψ x = 0, v x = ∂y = 0, y = 0, v = − ∂Ψ = 0.y∂xВ силу симметрии движения по осям x и y функция тока зависиттолько от переменной η: Ψ = Ψ (η) , где η = xy . Подставив это выражение в уравнение (1.4′′), получим∂2Ψ= 0,∂η2откудаΨ = Aη + B ≡ Axy + B ,∂Ψ= Ax ,∂y∂Ψvy = −= − Ay ,∂xvx =v = ( Ax) 2 + ( Ay ) 2 .1.6. Уравнение БернуллиОграничимся рассмотрением стационарного течения идеальнойнесжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести.

УравнениеЭйлера для этого случая выглядит так:1 (v, ∇)v = − ∇p + g .ρВ индексной форме записи:vj∂1 ∂p+ gi .vi = −∂x jρ ∂xiУмножим это уравнение на vi :vj2∂  vi 1 ∂p+ vi gi .  = − vi∂x j  2 ρ ∂xi19Просуммируем по i и заменим «немой» индекс j на i:vi∂  v2∂xi  2∂ p+ vi g i . = − vi∂xi ρЕсли ввести потенциал в однородном поле силы тяжести в видеgi = −∂G, G = − gi xi ,∂xiто последнее уравнение можно переписать какvi∂  v2 p + + gh  = 0 ,∂xi  2 ρгде h — высота над горизонтальной поверхностью, принятой за начало отсчета потенциала G; g — ускорение свободного падения. Определим линию тока как геометрическое место точек, касательная к которому имеет направление вектора скорости.

Соответствующеедифференциальное уравнение линии тока:dx dy dz== .vx v y vzПолученное уравнение означает, что вектор v2 pgrad + + gh  2 ρнаправлен перпендикулярно к линии тока, поэтому вдоль линии токавыполняется соотношение v2 p + + gh  = const , 2 ρ(1.5)носящее название уравнения Бернулли. В некоторых частных случаяхэто уравнение может быть обобщено на случай вязкой и сжимаемойжидкости, а также нестационарного движения. Уравнение Бернуллииграет основополагающую роль в технической гидравлике.201.7. Уравнение переноса энергии в идеальной жидкостиРассмотрим неподвижный объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S.

Энергия единицы объема вещества ρv 2+ ρε  , 2где ρv 2 / 2 — кинетическая энергия единицы объема; ρε — внутренняя энергия единицы объема. Например, для идеального газаε = cvT ,где cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме.Скорость изменения энергии в неподвижном объеме ρv 2d+ ρε  dV .∫∫∫dt V  2По закону сохранения энергии, если внутри объема источникиэнергии отсутствуют, то скорость изменения энергии равна суммеэнергии, вносимой в объем веществом извне, и мощности внешнихсил.Поток энергии в объем  ρv 2 −∫∫S   2 + ρε  v, dS  ,мощность сил давления −pv,∫∫ dS .()SТогда  ρv 2 ρv 2 d+ρεdV++ρε+pv, dS  = 0 , (1.6)∫∫S   2dt ∫∫∫2V или в дифференциальной форме:21  v2∂  ρv 2+ ρε  + div  ρv  + w   = 0 ,∂t  2  2(1.7)где w = ε + p / ρ — тепловая функция единицы массы вещества.

Характеристики

Список файлов книги