Семиколенов А.В., Тараненко С.Н., Шахорин А.П. - Идеальная и вязкая жидкости (955071), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Неподвижныйобъем V жидкости сориентированной внешней поверхностью Sбезусловно, можно получить и как следствиезакона сохранения импульса. Возьмем неподвижныйобъемV(рис. 2.6). Изменение импульса внутри этогообъема связано с внесением импульса черезповерхность S и действием объемных сил:dρvi dV = − fi dV ,∫∫S Π ij n j dS + ∫∫∫dt ∫∫∫VVоткуда и следует искомое уравнение.312.3. Ньютоновская вязкая жидкостьДля того чтобы получить уравнение динамики жидкости в замкнутом виде, необходимо связать скорость деформации в жидкости снапряжениями, которые при этом возникают. При феноменологическом подходе эта связь является обобщением известных экспериментальных данных и постулируется как некоторая гипотеза, подкрепляемая представлением о молекулярном строении жидкости.Рассмотрим стационарное движение несжимаемой (ρ = const) жидкости между двумя параллельными неограниченными плоскостями,одна из которых неподвижна, а другая движется вдоль первой с постоянной скоростью (плоское течение Куэтта — рис.

2.7). Давлениесчитается одинаковым и постоянным во всех точках жидкости.yv0τxyτ(y)hОv(y)–τxyτxy–τyxτxРис. 2.7. Расчет плоского течения Куэтта. Представлены график напряжения τ и профиль скоростей v(y) в зависимости от расстояния(толщины) yБудем считать, что вектор скорости имеет координатыv = ( v( y ),0,0 ) . Тогда единственными ненулевыми составляющимитензора напряжений являютсяτ yx = τ xy = τ( y ) .Уравнение переноса импульса в этом случае принимает видvx32∂τ∂v x∂v x∂v∂τ∂τ+ vy+ v z x = xx + yx + zx ,∂x∂y∂z∂x∂y∂zгде вычеркнуты слагаемые, равные нулю.

В результате останетсятолько∂τ yx= 0.∂yСледовательно,τ yx = τ = const .В то же время очевидно, что скорость должна линейно зависеть от координаты y:vv= 0 y,hгде h — толщина слоя жидкости. Тогда единственными ненулевымикомпонентами тензора деформаций будут:1  ∂v ∂v y  1 ∂v x 1 ∂v v0γ yx = γ xy =  x +=== const.=2  ∂y∂x  2 ∂y 2 ∂y 2hТем самым устанавливается пропорциональность:τ∼∂v∂vили τ = η ,∂y∂yгде коэффициент η есть динамическая вязкость.

В этом простейшемслучае устанавливается пропорциональность тензора скоростей деформации и тензора напряжений. Этот факт носит название гипотезыНьютона, а соответствующие жидкости называются ньютоновскими.В качестве еще одного примера, подтверждающего разумность гипотезы Ньютона, рассмотрим модель плоского течения Пуазейля, вкоторой реализуется простое, хотя и неоднородное, напряженное состояние жидкости и результаты также представляются «очевидными».33ydp= constdxv(y)hτ(y)ОxРис. 2.8.

Плоское течение Пуазейля. Представлены графикнапряжения τ и профиль скоростей v(y) в зависимости отрасстояния (толщины) yПусть жидкость течет между двумя неподвижными твердымиплоскостями под действием постоянного градиента давления(рис. 2.8). Такое движение называют плоским течением Пуазейля. Поскольку dp / dx = const < 0 , то p ∼ x . Поэтому можно записатьp = p0 +dpx.dxПредположим, что v = ( v( y ),0, 0 ) . Тогда из уравнения движения(переноса импульса) получаемdp d τ yx== const .dxdyСледовательно,τ yx = τ( y ) =dpy + C , C = const.dxВ силу симметрии в центре течения τ y= h = 0 , следовательно,2dp h,dx 2dp  hτ( y) = − y .dx  2C=−34Для вычисления скорости жидкости воспользуемся гипотезой Ньюто∂vна: τ = η .

Получим∂y1 dp  h 1 dp  hy − y 2  1 dp−tdt=y (h − y) .=η ∫0 dx  2 η dx  2  2η dxyv ( y) =В качестве граничного условия здесь использованы условия «прилипания» жидкости к твердой стенке: v = 0 при y = 0, y = h.В рассмотренных простейших случаях вполне применима гипотезаНьютона. Более того, для несжимаемой жидкости гипотеза Ньютонаобобщается на случай деформации жидкости, характеризующийсяпропорциональностью между тензорами напряжений и скоростей деформации:τ′ij = 2ηγ ij , ∂v ∂v j τ′ij = η  i + . ∂x j ∂xi Здесь давление исключено из рассмотрения в силу его природы, несвязанной с угловой деформацией.

Из (2.5) следуетτ′ij = τij + pδij .Распространяя гипотезу Ньютона на сжимаемую жидкость(ρ ≠ const и div(v) ≠ 0 ), следует иметь в виду, что существенную рольв модели могут сыграть линейные относительные деформации εx, εy, εz, приводящие к объемным деформациям. В этом случае должны возникать дополнительные нормальные напряжения.Подробный анализ картины напряжений и деформаций, выполненный как в гидродинамике, так и в кинетической теории газов, позволил установить связь между дополнительными нормальными напряжениями и относительной скоростью изменения объема:1 dV= div(v) .V dtСоответственно для напряжений можно записать:351 τ′ij = 2η  γ ij − δij div(v)  .3Кроме того, в отсутствие термодинамического равновесия в сжимаемойжидкости обычные термодинамические соотношения (например, уравнение состояния p = p(ε, ρ) ) следует дополнить зависимостями не толькоот термодинамических величин, но и от их производных.

Так, для давления Л.Д. Ландау ввел понятие второй вязкости:p′ = p − µdiv(v) ,где µ — коэффициент второй вязкости. В этом приближении считается, что давление зависит не только от состояния жидкой частицы, определяемого ее термодинамическими параметрами, но и от скоростиее объемной деформации. Соответственно общий вид зависимоститензора напряжений от скорости деформаций жидкой частицы записывают в виде1 τij = − pδij + 2η  γ ij − δij div(v)  + µδij div(v) .3Тогда уравнение переноса импульса будет выглядеть так: ∂v∂v ∂p∂   ∂vi ∂v j 2 ∂vk   ∂  ∂vk ρ i + v j i  = −++− δij +η µ. ∂t∂x j ∂xi ∂x j   ∂x j ∂xi 3 ∂xk   ∂xi  ∂xk Коэффициенты динамической вязкости η и второй вязкости µ являются функциями состояния жидкой частицы, поэтому меняются отточки к точке и не могут быть вынесены за знак производных.

Приэтом изменения η и µ часто бывают незначительными. В этом случаеуравнение переноса импульса можно переписать в векторном виде:η  ∂v ρ  + (v, ∇)v  = −grad( p ) + η∆v +  µ +  grad ( div(v) ) . (2.6)3 ∂tУравнение (2.6) носит название уравнения Навье — Стокса. Оноупрощается, если жидкость несжимаемая:36∂v 1+ (v, ∇)v = − grad( p) + υ∆v ,(2.7)∂tρгде υ = η / ρ — коэффициент кинематической вязкости (или простокинематическая вязкость — см.

таблицу).ТаблицаЗначения вязкости некоторых веществВеществопри температуре t = 20 °CДинамическаявязкость η, Па⋅сКинематическаявязкость υ, м2/с10–31,8⋅10–51,8⋅10–30,8510–61,5⋅10–52,2⋅10–66,8⋅10–41,2⋅10–7ВодаВоздухСпиртГлицеринРтуть1,56⋅10–32.4. Функция тока в несжимаемой вязкой жидкостиУравнение непрерывности имеет одинаковый вид для идеальной ивязкой жидкостей. Если жидкость несжимаемая, то в обоих случаяхdiv(v) = 0 , т. е.

поле скоростей ее точек является соленоидальным,поэтому можно записать:v = rotA .Для плоского течения жидкости вектор скорости имеет видv = ( v x ( x, y , t ), v y ( x, y , t ),0 ) ,и введение функции тока Ψ(x, y, t), такой, что∂Ψ,∂y∂Ψ,vy = −∂xvx =позволяет получить одно скалярное уравнение. Уравнение Навье —Стокса (2.7) в проекциях на оси координат в терминах функции токаприобретает вид37 ∂3Ψ ∂3Ψ ∂ ∂Ψ ∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂Ψ ∂ ∂Ψ1 ∂p+−=−+ υ  2 + 3  , (2.8)∂t ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂yρ ∂x ∂x ∂y ∂y − ∂3Ψ ∂3Ψ ∂ ∂Ψ ∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂Ψ ∂ ∂Ψ1 ∂p−+=−+ υ  − 2 − 3  . (2.9)∂t ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x ∂y ∂xρ ∂y ∂y ∂x ∂x Продифференцируем (2.8) по y, а (2.9) по x частным образом, затемвычтем из первого уравнения второе и получим искомое уравнениеотносительно функции тока:∂∂Ψ ∂∆Ψ ∂Ψ ∂∆Ψ∆Ψ −+− υ∆∆Ψ = 0 ,∂t∂x ∂y∂y ∂x(2.10)которое является уравнением четвертого порядка по x и y.2.5.

Граничные условияДля вязкой жидкости, если область ее движения ограничиваетсятвердыми поверхностями, выполняется условие равенства скоростейжидкости и твердой поверхности. Если это «очевидно» для нормальной составляющей скорости, то в отношении касательной составляющей к твердой поверхности является выражением гипотезы о «прилипании» жидкости к твердой поверхности. В настоящее времясчитается, что «прилипание» присутствует практически всегда, еслижидкость обладает вязкостью. Это вызвано схожей физической природой вязкости в жидкости и «прилипания».Если Г — твердая поверхность, скорость u которой известна, тоvΓ =u .(2.11)Сила, действующая на единицу поверхности, может быть найдена поформулеTi = − n j τ ji(см.

подразд. 2.2), где n j — нормаль к твердой поверхности. Или, выделяя давление, можно записать:Ti = pni − n j τ′ji ,38(2.12)где pni — компоненты силы, связанные с давлением; n j τ′ji — компоненты силы, связанные с касательными напряжениями.На границе раздела двух вязких несмешивающихся жидкостей вГсилу отсутствия протекания жидкости черезграницу раздела необходимо выполнение услоIIIвия равенства скоростей. Пусть Г — границараздела (рис. 2.9), тогдаIv( ) II= v( ).(2.13)Рис.

2.9. граница разΓΓдела (Г) двух вязкихКроме того, должны быть равны силы, с котонесмешивающихсярыми эти жидкости действуют друг на другажидкостей (I, II)n(j ) τ(ji) + n(j ) τ(ji ) = 0 .IIIIII(2.14)Но, поскольку n(j ) = −n(j ) , тоIIIn j τ(jiI ) = n j τ(jiII ) .На свободной поверхности жидкости соответственно должно выполняться условие отсутствия напряжений:n j τ ji = n j τ′ji − ni p = 0 .Следует отметить, что при наличии поверхностного натяжениялибо поверхностно-активных веществ динамические условия на границе раздела жидкостей и на свободной поверхности должны бытьзаписаны с учетом соответствующих эффектов.На свободной поверхности должно также выполняться некотороекинематическое условие, смысл которого состоит в том, что никакаячастица жидкости не может пересечь свободную поверхность жидкости.

Характеристики

Список файлов книги