aru (954465), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Безусловно, что хотя бы один кореньбудет меньше нуля, тогда характер переходного процесса колебательный,как правило, с затуханием. Возможен апериодический ПП. При наличиирегулятора с положительным значением фактора устойчивости расходящийся ПП не имеет места быть.В книге [1] приведена диаграмма переходных процессов Вышнеградского, используя которую, можно определить все показатели процессаСАРч с регулятором прямого действия.108Задание для самостоятельной работы1. Поясните понятие «операторная форма записи дифференциальногоуравнения движения для системы автоматического регулирования частотывращения.2.

Дайте определение передаточной функции для системы автоматического регулирования частоты вращения.3. Как записать выражение передаточной функции для системы автоматического регулирования частоты вращения?4. Как определяются передаточные функции для применяемых в практикесистем автоматического регулирования частоты?5. Как отображает переходный процесс передаточная функция для системы автоматического регулирования частоты вращения?6. Поясните подход к решению уравнения движения для системы автоматического регулирования частоты вращения с использованием операторнойформы записи уравнения движения регулятора.7. Для чего используют операторную форму записи дифференциальногоуравнения движения системы автоматического регулирования частоты вращения?8. Что собою представляет характеристическое уравнение для системыавтоматического регулирования частоты вращения?9.

Напишите собственный оператор для системы автоматического регулирования частоты вращения.10. Составьте систему уравнений, описывающих динамику движения длясистемы автоматического регулирования частоты вращения.109Глава 10. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГОРЕГУЛИРОВАНИЯ СКОРОСТИОценить устойчивость системы автоматического регулирования частоты вращения двигателя возможно, не прибегая к трудоемкому и сложному решению уравнения (9.1).

В практике проектирования двигателей иих систем регулирования рациональным подходом для оценки устойчивости является применение критериев устойчивости Рауза-Гурвица, Вышнеградского, Михайлова, Найквиста и др. Для этого надо иметь подробную информацию о двигателе, его регуляторе, приводе при установке регулятора на объект и т. п. Практически, это параметры, позволяющиеопределить коэффициенты характеристического уравнения и статическиехарактеристики элементов САРч.§ 10.1. Критерий устойчивости Рауза-ГурвицаДопустим, имеется характеристическое уравнение высокого порядкаAn p n  An 1 p n 1  ... p 3  A2 p 2  A1 p  A0  0 ,определяющее САРч.С и с т е м а у с т о й ч и в а, е с л и п р иAn  0о п р е д е л и-т е л ь Г у р в и ц а Dn  0 , а е г о д и а г о н а л ь н ы е м и н о р ы т а к ж е п о л о ж и т е л ь н ы.Анализ выполним на основе выраженияp 3  A2 p 2  A1 p  A0  0 .1.

Сначала заполняется главная диагональ матрицы, начиная со второгокоэффициента характеристического уравнения:Dn A2___A1___A0 0.2. От каждого записанного коэффициента в верхнюю строку вписываетсякоэффициент с номером в сторону его понижения, а в нижнюю строку110матрицы – коэффициент с номером в сторону его увеличения. При выходе индекса коэффициента за пределы, представленные в уравнении, коэффициент принимает нулевое значение:Dn A2A001A100A2A0 0.3. Диагональные миноры (в данном случае один минор) должны бытьбольше нуля:D1 A2A01A1 0.или D1  A2 A1  1  A0  0 , а матрица Dn  D1  A0  0 .Из вышеизложенного вытекает необходимое (но не достаточное)условие устойчивости: все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.Таким образом, используя критерий устойчивости Рауза-Гурвица,можно дать оценку устойчивости САРч (безнаддувный дизель с регулятором прямого действия). Правила для применения к системам высокогопорядка аналогичны рассмотренному случаю.П р и м е р п р и м е н е н и я к р и т е р и я Р а у з а – Г у р в и ц а.Характеристическое уравнение САРч имеет вид0,001 p 3  0,02 p 2  0,4 p  0,5  0.Задача: Оценить устойчивость системы.1.

Приведем уравнение к виду p 3  A2 p 2  A1 p  A0  0 , получимp 3  20 p 2  400 p  500  0 .2. Заполним матрицу согласно вышеприведенным правилам:111Dn 20500014000020500 0.3. Решение матрицы Dn  (20  400  1  500)  500  7500  500  0 .4. Делается вывод об устойчивости САРч: система устойчива.§ 10.2. Диаграмма устойчивости ВышнеградскогоВышнеградским был разработан метод оценки устойчивости САРчдля паровой машины с регулятором Уатта. Для этого он записал известное характеристическое уравнение в следующем виде:a0 p 3  a1 p 2  a2 p  a3  0 .Это же уравнение для того, чтобы уменьшить количество коэффициентов, можно записать и в ином виде, напримеркакa0 3 a1 2 a2p p p  1  0 .

Затем Вышнеградский вводит вместо p новуюa3a3a3переменную p  U 3a3a0и уравнение принимает новый вид:U 3  U 2  U  1  0 ,2гдеa  a   1  3 3  ;a3  a 0 a2a33(10.1)a3.a0Таким образом, теперь только два коэффициента определяют устойчивость системы. Воспользовавшись критерием Гурвица (минором D1 ),Вышнеградский получает уравнение, характеризующее границу устойчивости   1 . Теперь в системе координат    становится возможенанализ устойчивости всего лишь по двум коэффициентам, что легкоотображается Декартовой системой координат (рис.

10.1).Вышнеградский выводит уравнение (линия DEL), определяющее отсутствие колебательного переходного процесса САРч с РП, это областьапериодических процессов 2 3  9  27  0 . Далее он получает уравне-112ние границы DEF, области, внутри которой ПП имеет затухающий периодически характер:  2 2  18  4(  2   2 )  27  0 . Наконец, область диаграммы, находящаяся между кривыми LEF и границей устойчивости,определяет область автоколебательных процессов. При внесении возмущения в САРч после колебательного переходного процесса сохраняютсяколебания постоянной амплитуды и частоты.Для каждого режима работы САРч возможно определить его параметры  и  , затем нанести точку режима на диаграмму и оценитьустойчивость режима и его характер.

Кроме этого Вышнеградский нанесна диаграмму вспомогательные линии, с помощью которых можно определить параметры ПП и даже построить его, так как при этом известныдлительность переходного процесса, декремент затухания и другие параметры, необходимые для прорисовки графика переходного процессаСАРч.113Рис. 10.1. Диаграмма Вышнеградского§ 10.3. Критерий устойчивости МихайловаИмеется характеристическое уравнение видаa0 p n  a1 p n1  ...  an1 p  an  0 .(10.2)Это уравнение имеет n корней и может быть представлено как произведениеa0 ( p  p1 )( p  p2 )...( p  pn )  0 ,гдеp1, p 2 , ..., p n– вещественные или комплексные числа.

В комплекснойплоскости каждый из корней pi – это вектор, выходящий из начала координат, в соответствующую точку Ai , Bi , Cm (рис. 10.2).Если подставить в уравнение из n корней значение p  i , то каждаяиз скобок станет разностью векторов___p  p i  (i  p i )  i eii ,где  i – модуль вектора;  i – его фазовый угол (аргумент).114_Рис.

10.2. Представление вектора p в комплексной плоскости(здесь Re – вещественная часть, Im – мнимая часть числа)После подстановок в исходное уравнение (10.2) векторных величинполучимa0 ( 1  2 ... n )ei1ei 2...ei nn Re xp (i   i ),(10.3)1nгде R  a0   i – модуль Михайлова.i 1Если изменять частоту колебаний  от минус бесконечностидоплюс бесконечности, то угол  i каждого из векторов изменится от 22до  . С учетом вышеизложенного критерий Михайлова читается следующим образом: для обеспечения устойчивости системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора вкомплексной плоскости, полученного в результате подстановки выражения p  i в характеристическое уравнение, при изменении  в пределах 0     н и г д е н е о б р а щ а я с ь в н у л ь, развернулся п о nс л е д о в а т е л ь н о против часовой стрелки на угол(где n –2степень характеристического уравнения).П р и м е р п р и м е н е н и я к р и т е р и я М и х а й л о в а.У с л о в и е з а д а ч и: проверить устойчивость САРч, описываемой характеристическим уравнением0,001 p 3  0,02 p 2  0,4 p  0,5  0.Р е ш е н и е:1.

Делаем подстановку p  i в уравнение 0,001i 3  0,02 2  0,4i  0,5  0.2. Выделяем вещественную и мнимую части:вещественная часть Re( M )  0,5  0,02 2 ;мнимая часть числа Im(M )  0,4  0,001 3 .1153. Для отыскания точек годографа вектора составим табл. 10.1.Таблица 10.1015102050Re0,50,480-1,5-7,5-49Im00,41,930-1054. Строим годограф вектора, который представлен на рис. 10.3.Рис. 10.3. Годограф Михайлова5. Проверяем условие, что угол, на который отклонится годограф, не3превысит величину, т. е. не выйдет за пределы 3-го октанта.2Длянеобходимоопределитьпределызначения23Re( M )  0,5  0,02 и Im(M )  0,4  0,001 при условии, что    .116этого6.

Так как Re   и Im   (третий октант), то выполняется усло3вие  , следовательно, САРч устойчива.2§ 10.4. Возможности исследования САРч при использованиипередаточных функций элементовРеально имеют место самые различные структуры автоматическогорегулирования, отличающиеся от вышерассмотренных значительнойсложностью. С целью эквивалентной замены схем выбирают вариантыэквивалентной замены звеньев и структур, что позволяет существенноупростить рассматриваемые схемы.

В статике были представлены наиболее часто встречающиеся звенья САР (см. рис. 2.6). В первую очередьэто: – последовательное соединение элементов; – параллельное соединение элементов; – замкнутый контур САР с отрицательной обратнойсвязью; – звено, охваченное отрицательной обратной связью; – замкнутый контур САР с положительной обратной связью и звено, охваченноеположительной обратной связью. В результате сложные структурныесхемы можно упростить, например, последовательное соединение заменяется своим эквивалентом – прямоугольником с входной и выходнойiкоординатой и K з   K i .В динамике выполняются аналогичные эквивалентные замены, тольковместо коэффициентов статической передачи записываются соответствующиепередаточные функции каналов элементов Wi ( p) , где i – элемент САР.Таким образом, определение заменяющей структуру передаточнойфункции выполняется по тем же правилам и формальным признакам, чтопредставлено на рис.

2.6 для анализа и синтеза статики. Переход от самого общего случая (от динамики) к частному случаю (статика) производится при выполнении условия K  lim W ( p) при p  0 .Напомним о некоторых дополнительных свойствах передаточнойфункции:- знаменатель передаточной функции замкнутой системы, приравненныйк нулю, определяет характеристическое уравнение этой системы;y- в замкнутой системе (САР) Wз ( p)  ;117- предел отклонения регулируемого параметра приp0есть егостатическое отклонение по окончании переходного процесса;- K  lim W ( p) при p  0 .Рассмотрим решение на простейшем примере(рис. 10.4) с использованием вышеизложенного материала.

Структурнаясхема получена в результате предварительного упрощения сложной САР.При этом для объекта Wo ( p)  Wox ( p)  Wo ( p) 1.6p 1З а д а ч а 1: 1) определить передаточную функцию замкнутой системы;2) определить корни характеристического уравнения; 3) представить простейший аналог, заменяющий данную структурную схему; 4) определитьстатическое отклонение САР при воздействии нагрузки   0,15 ..Рис.

Характеристики

Список файлов лекций