Кинемат.сплошн.среды,с.5-12 (949045), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для выяснения кинематического смысла третьего слагаемого в (1.9) запишем таблицу симметричного тензора l_k­i второго ранга:

В
ходящая в выражение (1.12) совокупность величин Śij носит название тензора скоростной деформации. Компоненты Śxx, Śyy, Śzz, расположенные вдоль главной диагонали, называются диагональными, остальные являются недиагональными.

Диагональные компоненты представляют собой скорость относительного удлинения (сжатия) отрезков среды; недиагональные – скорость перекосов элементарного объема (они равны половине скорости скашивания первоначальных прямых углов, образованных отрезками среды).

Н
айдем скорость относительного объемного расширения элементарного жидкого объема в данной точке движущейся жидкости:

И
так, сумма диагональных компонент характеризует относительное изменение объема в единицу времени. Следовательно, из уравнения (1.9) вытекает следующая теорема Гельмгольца: любое движение элементарного объема жидкости можно в данное мгновение рассматривать как результат сложения двух движений – к в а з и т в е р д о г о (состоящего из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного вокруг него) и д е ф о р м а ц и о н н о г о. Уравнение (1.9) перепишем в таком виде:

Р
ассмотрим частный случай идеальной (невязкой) и несжимаемой (ΔV = 0) среды (вода). Для идеальной жидкости вязкость между слоями отсутствует,
а Śxy, Śxz и т. д. равны нулю, так как скоса углов нет (ΔV = 0), т. е.

и

(divw = 0 – условие несжимаемости деформируемой среды.)

Вихревая линия. Теоремы о вихрях

Если в пространстве, занятом жидкостью, существуют области, в которых ω  0, т. е. внутри их имеет место вращение частиц жидкости, то движение в таких областях называется вихревым (например, в области пограничного слоя, образующегося вокруг твердого тела, обтекаемого потоком вязкой жидкости). В пограничном слое по направлению нормали к поверхности тела скорость резко возрастает, и поэтому в нем ω  0 (∂w / ∂n  0).

Л
иния называется вихревой, когда в каждой ее точке касательная совпадает с направлением вектора угловой скорости ω. Дифференциальное уравнение вихревой линии получается из соотношения ωdl = 0 и имеет вид

Вихревая трубка образуется, если через все точки замкнутой кривой C
(не являющейся вихревой линией) провести вихревые линии. Из определения вихревой линии и вихревой поверхности следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая угловой скорости равна нулю.

П
отоком вектора угловой скорости J_ через поверхность  называют интеграл:

где ω_n – проекция угловой скорости вращения на нормаль к поверхности .

Другая теорема Гельмгольца – о вихрях: поток вектора угловой скорости через замкнутую поверхность всегда равен нулю. Докажем ее.

Действительно, путем непосредственных вычислений из формул
(1.11) получим, с одной стороны, что

а

с другой, – что если поверхность  замкнутая, то, согласно теореме Остроградского (о преобразовании объемного интеграла в поверхностный),

где V – объем, ограниченный поверхностью .

Но тогда, согласно (1.18), находим, что

Рис. 3. Вихревая трубка

Из формулы (1.19) вытекает важное свойство вихревых трубок. Выделим
в вихревой трубке некоторую замкнутую поверхность (рис. 3), образованную двумя любыми поперечными сечениями (₁ и ₂) и боковой поверхностью. Так как поток вектора угловой скорости по боковой поверхности равен нулю, то, согласно (1.19):

Отсюда, вследствие произвольного выбора сечений ₁ и ₂ , получаем, что поток вектора угловой скорости в данный момент времени по длине элементарной вихревой трубки не меняется. Следовательно, этот поток есть величина, характерная для всей вихревой трубки, и ее (величину) называют интенсивностью (или напряжением) вихревой трубки.

Если величина вектора угловой скорости постоянна по поперечному сечению вихревой трубки, то из (1.20) получим

ω_1n ₁ = ω_2n ₂ = ω_in _i = const.

На основе этого сделаем следующий вывод: сечение вихревой трубки не равняется нулю, так как в подобном случае ω  , что физически неверно. Таким образом, вихревая трубка не обрывается внутри среды. Но, однако, можно выделить только четыре типа вихревых трубок, т. е. когда «вихревой шнур» (вихревая трубка): 1) начинается и заканчивается на свободной поверхности жидкости; 2) начинается на свободной поверхности жидкости, а заканчивается на твердой стенке; 3) начинается и заканчивается на твердой стенке; 4) является замкнутым.

В идеальной жидкости вихри не могут изменять свою интенсивность, они как бы «обречены» существовать вечно, не имея возможности возникать и вырождаться. В реальной жидкости (из-за трения) вихри зарождаются, а затем диффундируют, т. е. вырождаются.

Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается непосредственному измерению. Сравнительно просто можно определять скорости частиц жидкости. Поэтому возникает вопрос об установлении связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей в жидкости. Для решения данного вопроса введем характерную для поля скоростей величину – циркуляцию скорости вдоль некоторой линии.

Ц
иркуляцией вектора по некоторому контуру называется вычисленный вдоль контура криволинейный интеграл от проекции вектора на касательную к контуру:

Т
огда связь между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей дается известной теоремой Стокса: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, один раз опоясывающему вихревую трубку:

Теорема Стокса сводит количественное определение интенсивности вихревой трубки к вычислению циркуляции скорости. Непосредственное измерение скорости специальными приборами не представляет трудности, а суммирование слагаемых, входящих в интеграл по замкнутому контуру, является операцией более точной, чем дифференцирование распределения скоростей (необходимое для вычисления rotw) и последующее суммирование.

Из этой теоремы вытекает важное следствие: если в какой-либо области течение безвихревое (w = 0, rotw = 0), т. е. потенциальное, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному в этой области, равно нулю (Г = 0). Из рассмотренной теоремы, кроме того, следует, что конечная циркуляция скорости определяет эффект действия вихрей на поле скоростей в потоке жидкости.

Циркуляция скорости – скляр

Из (1.19) и (1.22) следует, что циркуляция скорости по замкнутому контуру равна нулю, а это, в свою очередь, означает, что линии тока потенциального движения не могут быть замкнуты. Если бы они были замкнуты, то все элементы криволинейного интеграла вектора скорости w dr, взятого по
с

замкнутой линии тока, имели бы один знак и циркуляция вдоль такой линии не обратилась бы в нуль. Поэтому в объеме, ограниченном со всех сторон твердыми стенками, не может существовать безвихревое движение, так как на стенках нормальная составляющая скорости должна равняться нулю (стенки непроницаемы). Основное следствие: в замкнутом объеме либо среда находится в покое, либо имеет место вихревое движение.

12

Характеристики

Список файлов лекций