Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Принятый способ описания алгоритмов (в том числе и вычнг штельных) состоит в том, что они представляются в виде программы, являющейся списком последовательно выполняемых команд. Выше говорилось о сложности таких об ьектов, как элементы бесконечномерных коьшактов. Однако можно говорить и о сложности программы. и при оценке оптимальности алгоритмов численного анализа нужно ее учитывать. Это тем более важно, что при большой сложности программы практически неизбежно появление непредвиденных ошибок, приводящих к тому, что такой детерминированный организм, как программа, ведет себя непредсказуемо.
В книге рассматривается (правда, очень кратко) одна из возможных стандартных реализации понятия алгоритма нормальный алгоритм Маркова. Тезис Черча в форме принципа нормализации позволяет перейти от четкого понятия нормального алгоритма к интуитивному понятию алгоритма в некотором алфавите н тем самым дает удобный аюсоб описания алгоритмов на содержательном языке математики. К сожалению, объем книги не позволил хоть в какой-либо мере затронуть вопросы программирования вычислительных алгоритмов. В остальной своей части предлагаемая книга содержит канонический набор сведений из численного анализа.
Прп отборе материала автор исходил из того принципа, что в книгу нужно помещать лшпь основные, первоначальные сведения и те концепции и методы решения, которые прошли проверку временель Автор должен с сожалением констат'ировать, что он не смог уделить должного внимания вопросам вычислительной технологии. Например, методы построения сеток и нумерации узлов затронуты недостаточно, хотя известно,что в ряде теорий именно они являются центральными, а вовсе не оценки погрешности, которым придается большое значение. Вопросам эффективности алгоритмов в книге уделено довольно большое внимание, и в связи с этим автор счел це.лесообразным рассмотреть подробно явление насыщения вы числительных алгоритмов и вопросы построения алгоритмов без насыщения.
Известно, что рост быстродей- Прсдислосис ствия и объема памяти ЭВМ отстает от запросов практики, и поэтому один из возможных выходов из создавшегося положения может состоять в том, что при конструировании алгоритмов нужно полнее использовать априорную информацик> о решении, с тем чтобы конструировать ненасыщаемые алгоритмы.
2. Другие книги но численному анализу. Оптимизация численных методов рассматривалась в огромном числе работ как советских, так и заруоежных математиков. Мы укажем, прежде всего, основополагающие работы С.Л. Соболева по теории кубатурных формул и по общим вопросам численных методов [24, 100]. Цикл известных работ выполнен Н. С. Бахваловым, который установил целый ряд важных результатов в вопросах численного интегрирования и численного решения краевых задач [25]. Читателю будет полезно сравнить подходы, развиваемые в указанных работах, с предлагаемой в книге трактовкой этих вопросов, содержащейся в основном в гл.
4, 5 (см, также [12]). По численному анализу имеется ряд известных монографий и учебников. Это, прежде всего, книга с Б В. Канторовича и В. И. Крылова [52), книги Н. С. Бахвалова [26], Г. И. Марчука [76], С. К. Годунова и В. С. Рябенького [40]. Предлагаемая книга будет полезным к ним дополнением. Специальным вопросам численных гяетодов посвящены книги Г. И.
Марчука и В. И. Лгошкова ]77[, Л. Л. Самарского [95], Д. К. Фаддеева и В. Н. Фаддеевой [114], В. В. Воеводина [37], Л. Л. Самарского и Е. С. Николаева [96]. При изложении численных методов решения краевых задач для уравнений в частных производных (по при ~ине, указанной выше) ие включен метод расп1епления, Вопросы численного ре|пепия экстремальных задач и задач оптимального управления из-за недостатка места полностью обойдены в этой книге. Но этот пробел восполняет книга Р. П. Федоренко [117].
Здесь же рассмотрены только детерминированные процессы численного решения и не рассматриваются методы Монте — Карло. 3. О вспомогательных сведениях. При изложении болыпинства вопросов численного анализа требуется много вспомогательных сведений из различных областей анализа. функционального анализа, теории дифференциальных уравнений и т, и. К сожалению, нет подходящих монографий или учебников, где были бы систематизированы и компактно представлены указанные вопросы с ориентацией их на применение к численным методам. Поэтому автор счел целесообразным привести необходимые вспомогательные сведения, сгруппированные в основном в гл. 2 и в отдельных параграфах гл. 8.
10. Как правило, доказательства не приводятся, и исключение делается лишь для наиболее важных теорем, доказательство которых к тому же довольно просто. Известно, сколь широкое применение имеют итерационные процессы в численном анализе. Многие из них приводят к примерам динамических систем с дискретным временем, причем простейп|ие из иих являются нелинейными разностными уравнениями. Исследование поведения в целом решений таких уравнений — это трудная и интереснейшая зада- Предисловие ча. В ряде случаев теория таких динамических систел~ сильно развита.
Вычислителю необходимо знать некоторые общие факты о бифуркациях, аттракторах и т. п. и уметь ими пользоваться. Поэтому в книге приведены простейшие сведения из теории бифуркаций. 4. О вычислениях. Хорошо известно значение численного анализа в прикладных и инженерных науках, и хорошо известно также, что своему исключительно высокому положению, которое занимает математика в жизни общества, она обязана тем приложениям, которые находит в огромном числе других наук.
Наиболее часто эти приложения связаны с методами численного решения естественнонаучных задач. Поэтому понятно, сколь важно грамотное владение элементами численного аяализа представителями самых разных наук, и с этой точки зрения предлагаемая книга может быть полезна многим. Однако она обращена прежде всего к читателям-математикам, и не только потому, что в ее основу положен курс лекций для математиков, но и по следующим причинам. Из истории нау.ки хорошо известно, сколь велико значение математического эксперимента в вопросах правильной формулировки гипотез и разного рода догадок.
Некоторые великие математики прошлого были виртуозными вычислителями, и это своо умение опи широко использовали в научной работе, Однако ограниченные возможности ручного счета приводили иногда к неверш~и предположениям и гипотезам. Один из наиболее ярких примеров известная проблема Куммера из теории чисел: У.Куммер, опираясь на небольшой обьем вычислений, сформулировал свою знаменитую гипотезу о поведении сумм, носящих теперь его имя. Эта гипотеза просуществовала около ста лет. и даже в известной монографии Г. Хассе ~120~ она сформулирована в том же виде, как у Куммера. Однако вычисления на ЭВМ усилили уверенность в сомнительности гипотезы Куммера; в самое последнее время поведение куммеровских су мм было исследовано аналитически, и гипотеза Ку.ммсра была опровергнута. Вычисления на ЭВМ представляют огромные возможности для математиков, и, хотим ли мы этого или нет, математический эксперимент на ЭВМ властно вторгается в нашу жизнь.
Это, конечно, не означает, что математика станет экспериментальной наукой, но несомненно, что появление такого соседа, как ЭВМ, всколыхнет некоторые тихие заводи нашей науки. Однако математический эксперимент на ЭВМ может быть успешным лишь тогда, когда он квалифицированно организован. А для этого нужно владеть основами численного анализа. В настоящее время общение с ЭВМ стало широкодоступным, а есзи учесть продолжающийся процесс миниатюризации ЭВМ и их удешевление, появление персональных ЭВМ, то можно предположить., что недалеко то время, когда каждый квалифицированный математик будет иметь легкий широкий доступ к мощным ЭВМ хотя бы с помощью персонального компьютера, подключенного к сети ЭВМ. Недооценивать важность этого нельзя, поскольку вычислошзя на ЭВМ могут носить не только вспомогательный характер: во многих случаях их можно организовать в комбинации с аналитическими выкладками таким образом, чтооы полу- Предисловие чать безупречно строгие результаты.
К тому же эта возможность открывается в таких вопросах, где обычные аналитические подходы заводят в тупик. К задачам такого рода относятся задачи о вычислении нормы оператора, доказательство существования обратного оператора, задачи о расположении спектра оператора и некоторые другие. Многие из такого рода задач возникают при исследовании устойчивости течений вязкой жидкости и возцикновешш турбулентности. Метод, которым решаются упомянутые задачи, можно охарактеризовать следуюьцим образом. От данной непрерывной задачи Й мы переходим к дискретной задаче Й, (в параметр дискретизации), которую уже можно численно приближенно решать, либо исследовать на ЭВМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
