Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

МАТ1У 1 (В,20,1ч,21,1,1КВЕХ,уч1ЕВК, ВЕТ) 1Г(ХЕКВ.МЕ.О)ВТОР ъ:-о. ВО Ш К=1,Х Ш Ъ=~+В(К,Ъ+1)*В1,1(Р1аКах) "гг=ЯЯВ2аУ КЕТПКХ ЕХВ 6. Дискретизации. Мы получили приближенное решение задачи (5) путем ее дискретизации. В отличие от делийской задачи в данном случае приходится иметь дело с объектамп другой природы - — элементами бесконечномерных компактов Р и У. Процесс дискретизации выполнялся в два этапа: вначале был сделан переход от у(и) и )'ул) к наборам вещественных чисел Ды ..., бн) н 171лг),..., Дтм)), которые можно трактовать как точки пространств К" и К~ соответственно. Другими словами, мы перешли от бесконечномерных компактов У и Г к конечно- мерным компактам . - подмножествам пространств К", и Км. Затем мы проделали второй этап дискретизации, перейдя к подмножествам множеств Ц" и Я . Обычно этот второй этап дискретизации остается в тени, и в курсах методов вычислений о нем говорят мало. Но если его не проделать, то нельзя стать на почву финитности, и нужно придать понятию вгачислительного алгоритма смысл, отличный от того„какой имеет это понятие в математике, Ниже, говоря о дискретизации задач математической физики, мы всегда будем различать два этапа дискретизации.

Однако процесс дискретизации, который был проделан вьппе, содержал в себе много случайного. Выбор подпространства 1.н никак не йо Глава Е Пввтанввка задач чиалеаквгв аа лиза мотивировался, а от этого выбора прежде всего зависит точность при- ближенного решения.

В самом леле., поскольку Е С С)О, 1', то ~д — д"' - > ш1 д — ~ ~дерь = 8„)д, Е"), вь",в,.:: где вв норма в С "О, Ц, и при неудачном выборе Еа мы можем получить большую величину 8„(д, Ь"), а тем самым и 'д — да! .. Далее, сам выбор метода Бубнова . Галеркина был тоже случайным, и мы остановились на нем исключительно из-за его популярности (в надежде, что читатель хорошо с ним знаком: см. гл. 9).

Выбрав метод Бубнова — Галеркина, мы предрешили не только способ дискретизации компакта У, .но и способ дискретизации оператора Р. В самом деле, в результате дискретизации мы получили конечномерный оператор Р„: Й." — э Йа, который можно назвать дискретным аналогом оператора Р.

Ясно, что способ дискретизации оператора Р существенным образом зависит от способа приближенного представления элементов компакта У, но однозначно им не определяется. Так, в рассматриваемом случае можно было бы вместо того, чтобы тробовать выполнения условий (ра, увз) = О (у = 1, 2, ..., и), нвложвть другие условия, что привело бы к иному виду конечномерного оператора.

Понятно, что свойства оператора Р„должны в некотором смысле имитировать свойства оператора Р, а способ дискретизации должен выбираться так., чтобы обеспечить надлежащие свойства оператора Ра. Конструируя численный алгоритм решения какой-либо задачи, добиваются его оптимальности по тем или иным параметрам, например по числу операций, требуемых для получения решения с заданной точностью, либо по объемам массивов, участвующих в работе, и т. п. Поэтому полезно сформулировать в общем виде проблемы, с которыми мы столкнулись, на примере краевой задачи (5).

Это прежде всего проблома дискретизации бесконечпомерных компактов, которую мы расчленили на два этапа. Первый этап аппроксимапия элементов бесконечномерных компактов. Это традиционная задача теории приближений. Вычислительная математика нуждается прежде всего в объективных критериях оценки различных методов приближений и установления оптимальных способов приближений. Второй этап кодирование элементов бесконечномерных компактов с использованием конечного объема информации.

Эго традиционная задача теории табулировання, н здесь, так же как и выше, мы нуждаемся в объективных критериях оценки качества таблиц. Изучая задачу (5), мы пришли к следующей постановке задачи: в метрических пространствах Е и С даны компакты Х с Е и У с С и дано сюръективное отображение А: Х У. Требуетгя построить численный алгоритм для отыскания элемента д =- А), где 1 С Х.

Нетрудно понять, что так можно схематизировать больпзипство краевых задач. Дискретизация отображения А это следующая проблема. выдвигаемая теорией численных алгоритмов, которая в свою очорелр приводит к по- Э 1, Поогаавоока дибич числоннооо аниаиоа становке целого ряда вопросов. В такой обшей постановке вряд ли можно сказать очень много, но для отдельных довольно широких классов отоб- ражений удается построить содержательную и плодотворную теорию.

7. Оценка погрешности. Рассматривая задачу (5), мы ничего не сказали о том, как полу.чнть оценку погрешности в данном конкретном случае. Этот вопрос еще будет обсуждаться ниже, а здесь мы сделаем только одно замечание. Обычно при оценке погрешности предполагает- ся, что найдено точное решение системы (7), и тогда за величину по- грешности можно принять у -.

~ с;,дь . Это неправильно, так как не а=1 учитывается, что при выполнении программы на компьютере решает- ся уже не (7), а система, полученная в результате округления коэффи- циентов и правых частей. Да и само решение находится приближенно. о Поэтому истинной погреапностью будет величина у(л) — ~ ~ь~ь(л) а=1 Х где (с м..., со) — решение, полученное на компьютере.

Отсюда следует, что одно из существеннейших требований к дискретизации отображения состоит в том, чтобы конечномерный оператор, являющийся дискрети- зацией исходного, был устойчив по отношению к вариации параметров, которыми он определяется. В отдельных частных случаях это требование известно как требование хорошей обусловленности.

Если же налицо большое отличие решения ~м ..., ~а от сы ..., с„. то нужно производить вычисления с числами большей разрядности, имея некоторое количество запасных знаков. Однако размерность простран- ства Х" и число разрядов чисел в компьютере должны быть согласова- ны. В практической деятельности это требование нарушается, что часто приводит к обесцениванию выполненной работы, поскольку не достигает- ся та точность, которую следовало бы получить при взятых параметрах программы.

8. Заключение. В обеих разобранных задачах мы привели про- грамму решения, т.е. дали формальное описание численного алгоритма решения. Адаптация понятия алгоритма к потребностям вычислитель- ной математики крайне важна, и в этой связи большое значение имеет четкое понимание вычислителями основ теории алгоритмов, основ тео- рии рекурсивных функций и т. п, 3 а д а ч н. На основе метода Ьубнова — 1алеркина постройте алгоритм решения краевой задачи, немного более трудной, чем (5). Найдите решение краевой задачи — од Уфл Уиу7йт.=. 1(т), л Е (О, 1), о > О, у(0) =.

у(1) =. О, (11) предполагая, что 7(л) е С'(О, Ц ~ г > 0), 1. Получите ансщог системы (7) — систему квадратных уравнении, возни- кающих при дискретизации задачи (11). 2. Используя теорему Брауэра о неподвижной точке, покажите, что по- лученная система квадратных уравнений имеет решение, есзи правая часть достаточно мала. 3. Докажите сходимость метода.

Глава й Постановка задач численного анализа я 2. Представление чисел в ЭВМ и анализ погрешностей округления 1. Числа в компьютере. В ЭВМ используются различные формы записи чисел; мы остановимся лишь на одной из них на так называемой нормализованной вычислительной системе с плавающей запятой. Некоторое целое число Ь выбирается в качестве основания, и 1 разрядов а, по основанию Ь образуют дробную часть, или мантиссу, числа. Кроме того, задается целое число е порядок числа; само число х представляется в Виде х = хО, а1...

а~ х Ь' или:с .—.. ~Х х 6'-, Х .—.. О, аг, .. о,, причем считаем, что Ь 1<Х<1. (2) Это условие является признаком нормалиюваннозо числа в системе с плавакзщей запягой. Допустим, что показатель е удовлетворяет неравенству — т<е<ЛХ. Таким образом, числа вида 11) образуют конечное множество рациональных чисел, которое мы обозначим через ьд. Чаще всего рассматриваются системы с 6 = '2, 8, 10, 1б. Соответствующие значения 1, тз ЛХ могут сильно меняться.

Как правило, в ЭВМ арифметические действия над числами из 1д реализованы аппаратно или в крайнем случае имеются соответствующие подпрограммы. Нозтому мы не будем заниматься вопросом об алгоритмах выполнеяия арифметических операпий. Ясно, что выполнение арифметических операций над числами х, у Е Е сд сюжения, вычитания, умножения н деления, как правило, не может быть произведено точно, и результат не приналлежит ьд, а, стало быть, подлежит округлению. Эги операции мы обозначим соответственно через В основе дальнейшего изложения лежит простое Предложение 1. Полоцким А =- шах х', В =- ппп х!.

Пусть яеО яеО у — вещественное число 1В < у~ < Л). Тогда существует такое у Е 1д, что у у(1, д) ~д (6 — ь/2 где д — огпносиапельная погрешность округления. Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что В < у < Я. Заметим, что множество )6' 1, Ь') С О ( — т < 1 ( ЛХ) состоит из равномерно распределенных чисел с расстоянием Ь~ ~; если у Е,,:6' 1, Ь'), то найдется такое у, что д — у~/ у~ < ф ь,%' ~)/2 = 6' '/2, откуда вытекает формула 15). П Ь 2. Предстаалеиие чисел о ЭВЛХ и аио ио погрешностей оьууглсиил 23 Условимся в дальнейшем для произвольного вещественного числа т через т обозначать его округленное значение. Уже самые простые примеры показывают, что для операций (4) нарун(аются основные законы арифметики.

Так, вообще говоря, (л (1( у) З г ф т (й (у (р е), (л З у) З г у= л З (у З г). (6) Таким образом, при выполнении многократного суммирования должен быть указан порядок расстановки скобок. Не выполняется и дистрибутивный закон.

2. Погрешности округления. Рассмотрим вопрос о величинах погрешностей, с которыми выполняются операции (4). Ясно, что операции умножения чисел или деления не слишком увеличивают относительную погрешностги хотя могут привести к такому явлению, как переполнение, т. е. нарушению правого неравенства (3), либо к исчезновению показателя, т.

е. к нарушению левого неравенства (3). Но вьг(итание почти равных чисел приводит к значительному увеличению относительной погрешности округления и является источником накопления вычислительной погрешности в процессе решения задачи. В дальнейшем допустим, что операции (4) выполняются с округлением. Это означает, что где е обозначает любую из операций 4, —, х, (. Существуют вычислительные системы, в которых операции выполняются с блокировкой округления, но мы их касаться не будем. В силу предложения 1 соотношение (7) можно записать в эквивалентном виде: (8) х ну = я*у(1 —. Ь), где (д~ < Ь~ е/2. Отсюда сразу получаем (т Й у) ш е — (т 1 у)(1 ! Йг) п(г — (1(т 1 у)(1+ Ьг) ~ ~(1 Ьг)— =((' — 'у)(1еид Н1 —,б )+ -(1+3 ), где (Ь( ~ < Ь( е((2, Положим в дальнейшем е = Ь("'((2.

Характеристики

Список файлов книги