Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 3
Текст из файла (страница 3)
При дискретизации удается связать характеристики задач Й как и Й, и сделать соответствующие выводы о свойствах задачи Й. Для практической реализации исследования на ЭВМ задачи Й, необходимо, чтобы такие ее характеристики, как потребный объем памяти, время работы алгоритма, разрядность машинных ~исел и т. п, соответствовали возможностям современных ЭВМ. Поэтому дискретизация должна быть выполнена оптимально в том смысле, чтобы получить максимальную точность при заданных объемах памяти и разрядности машинных чисел. Для этого нам и требуется общая теория дискретизации функциональных компактов, концепция ненасьпцаемых алгоритмов, их теория п т.
п. Кстати, отметим, что в методе доказательных вычислений мы не пользуемся априорныьп« теоретическими оценками величины близости задач Й и Й,, а пользуемся лишь апостериорными оценками, Имеется ряд областей прикладной математики, где ЭВМ используется в роли «электронного мозгам Это прежде всего область, в которой ЭВМ используется для доказательства теорем в формализованных теориях, таких, например. как теория множеств, исчисление предикатов и т.
и, При таком подходе условия теоремы записываются в формализованном виде, а затем с помощью логических правил и математических аксиом сводятся к тривиально истинной форме. Более скромная роль отводится ЭВМ, когда они используются для выполнения аналитических выкладок в некоторых областях алгебры или анализа. Однако во всех указанных случаях мы сталкиваемся с непомерно большими объемами потребной памяти при решении сколько-нибудь содержательных задач. В методе доказательных вычислений обьем памяти определяется дискретной задачей, и во многих исследуемых случаях мы имеем дело с довольно умеренными требованиями по объему памяти, предъявляемыми решаемой задачей.
Подчеркнем, что в методе показательных вычислений мы имеем дело с «дуэтолы человек-ЭВМ и ведущая партия принадлежит человеку, поскольку вся интеллектуальная нагру.зка приходится на него и просто она нного рода,чем при чисто аналитическом способе решения задачи. О некоторых примерах такого рода доказательных вычислений говорится в предлагаемой книге. 'Брудпо предугадать все последствия от внедрения такого подхода, но автору представляется, что в будущем та- 12 Предисловие кой подход будет играть все большую роль, и на стиль работы математиков будущих поколений он может оказать сильное влияние. К тому же надо учесть, что мощность ЭВМ неуклонно с временем растет, а иена часа машинного времени падает. В принципе возможно появление специализированных ЭВМ, ориентированных на решение некоторой группы научных задач методом доказательных вычислений.
Во всяком случае состояние вопросов архитектуры ЭВМ и тенденция удешевления их элементов говорят в пользу реальности такого подхода. Все указанные обстоятельства побудили автора уделить столь большое внимание алгоритмам без насыщения и произвести четкие оценки существующих методов. Автор считает, что овладение численным анализом и выработка соответствующих технологических навыков должны быть обязательны для новых поколений математиков, специализирующихся в любой области нашей науки, и надеется, что из их числа прежде всего он найдет заинтересованных читателей.
5. Обозначения и нумерации. Штрих для матриц и векторов обозначает транспонирование, для скалярных величин -- производную, для сумм — - пропуск выделенного значения индекса суммирования. Задачи, отмеченные звездочкой, еще не решены и рекомендуются в качестве обьекта серьезной работы. Нумерация формул, теорем, предложений, задач, таблиц, замечаний и примеров своя в каждом параграфе, а рисунков в главе. В двойном номере формулы первый номер относится к параграфу той же главы; в тройном номере формулы первый номер относится к главе, второй к параграфу этой главы, а третий к номеру формулы в этом параграфе. Автор выражает глуоокую благодарность рецензентам за помощь и ценные замечания.
Автор глубоко признателен О.В.Локуциевскому за обсуждение первоначального варианта содержания курса лекций, на основе которых написана эта книга. К. И. Бабенко Москва, апрель 1883 г. Гллвл 1 Постановка задач численного анализа. Элементы теории вычислительных алгоритмов я 1. Постановка задач численного анализа Ь О математике. Курс «Основы методов вычислений», читавшийся автором и положенный в основу данной книги, имеет своей целью изложение и обоснование математических методов вычислений. Эти вопросы составляют обширную область современной математики, самым тесным образом связанную с такими ее классическими и хорошо разработанными разделами, как анализ, алгебра, геометрия, топология, дифференциальные уравнения, функциональный анализ.
Когда мы говорим о вычислителыюй или прикладной математике, то этим пе делим матоматику на «чистую» и «прикладную», поскольку такого разделения попросту нет, а этим эпитетом подчеркиваем, что речь идет о математике «в действии», о некоторых сторонах единой науки «математики», которые проявляются прн ее применении либо к задачам естествознания, либо к некоторым задачам, возникающим из собственных нужд развития математики. Чтобы составить хотя бы какое-то впечатление о предмете и особенностях вычислительной математики, рассмотрим некоторые простейшие задачи. 2.
Задача удвоения куба. Начнем с известной классической делийской задачи об удвоении куба. Требуется решить уравнение т~ -2=0 Сразу возникает ряд вопросов, и прежде всего вопрос: что значит «решить уравнение»'.~ С одной стороны, мы знаем, что вещественный корень данного уравнения число иррациональное, и если его изображать не с помощью символа ~«Г2, а, скажем, с помощью десятичной дроби, то для этого потребуется бесконечное |испо знаков. С другой стороны, всегда, когда разговор пойдет о численном решении, мы будем иметь в виду решение, получаемое с помощью компьютера. Но в любом компьютере используется лишь конечное множество рациональных чисел, и, как правило, любая арифметическая операция, выполняемая над числами этого множества, выводит за его пределы и, значит, может быть выполнена лишь приближенно.
Таким образом, речь всегда будет идти о приближенном решении; точность полученного решения будет лимитироваться принятой в данной машине разрядной сеткой. 14 Ггава 1. Поегваиовка задач численного ожа иза В то же время возникает вопрос: каким же способом можно в принципе получить приближенно корень уравнения (1)? Ведь машина выполняет четыре арифметические операпии, простейшие логические операции и некоторое количество служебных программ (эксгракодов); стаю быть, процелуру вычисления необходимо свести к указанным операцияль Несложно показать, например, что вычисления по схеме хг =- 1, х„эг —.
(2/3) (х„+ 1гх~), и =- 1, 2,..., (2) дадут приближенное значение 4'22. В самом дело, приняв обозначения У(х) — хз — 2, ~ =- чу, полу шм 0 = Д~) = )(ха т ( — х„) = ~(х„) + (( — ха)~'(х ) + (~ — х„)~~о(хи) гг2, где х„е ~~х„, Я. Отсюда ~ — х„—..- — (х~~ — 2)~(3х~) — (х„,'х~)(с — х„)г. Вычитая обе части последнего равенства из (2), получим х„гг — ~ —— =(х гх')Ы вЂ” .)' Из геометрических сообразкений ясно, что 0 < хи/ха < 1, и поэтому ~хапуг — ~~ ( т„— ~~в (...
< хг — б'Я = '1 — Сз . УчитываЯ, что( < ое,г3, находим 'хапуг — Ц~ < (2гг3)г . (3) Поскольку требуется пеыучигь приближенное решение, то нужно либо указать тот номер и = пв, до которого нужно производить итерации, либо остановить вычисление по некоторому другому признаку, например по достижении неравенства Оценка (3) гарантирует, что Че ) 0 требуется лишь конечное число итераций для достижения неравенства (4).
Таким образом, способ действий при вычишгенпи приближенного значения ~чу можно представить следующим образом: С=2.,!3. Х=1. 100 ХО=Х Х=С*(ХΠ— 1.,гХОвв2) 1Г(АВЯ(Х вЂ” ХО).СТ.ЕРЯ)СОТ0100 РВ1~ Т1,Х 1 ГОВМАТ(Е17.10) Итак, способ действий описан в виде программы на фортране.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
