Двайт - Таблицы интегралов и другие математические формулы (947385), страница 12
Текст из файла (страница 12)
1 ( —,)=2~.+-,+-,+-,+...], =2 Аг((гх [х'<1]. [См. 703,] (Ы) =' ~-.' — '+.— '+6+" ] = 2 Агс!)г х [хх ) 1]. [См. 700.] "(' — ".') = [(2»+ «' ~ !]. а дк а' + ) + ~Ж+ а '+ 3 (2х+ а)' + 5 (2х+ а)4 [а' < (2х+ а)']. 1пх=(х — « — — + — — — +... (х — 1)' (х — 1)' (х — 1)4 2 3 4 [0<хм:,2]. 6016 10» — + 2' + Зх' +'' х — 1 (х — 1)' (х — ! )' 1пх=2!( — + —,+,+...] Гх — ! (к — ! )' (к — ! )' [х+! З(х+Ц' 5 (х+!)' х ! х' 1 3 х' ! 3 5 к' а 2 3 а' 2 4.5 а' 2.4 6 7 а' 2х ! а" 1 3 а' ! 3 5 а' а + 2.2х* 2 4.4х4 +2 4 б бх' !2х! ! а' !За' ! ° 35 а' [а ~ 2 2х' 2 4.4х4 2.4 б.бх'+ х а Ага)л — = Агсзс)л —, .
(~/":;-4-! — -.") = — . (-.х+ ~Г".—:+ ). Ряа нз 602.! умножить на — 1. 7 х 44 х' ) 2х ! ал 1 ° 3 а' ~а ' У а' / а 22к' 244х' — — — [ — ~!], [Слг. 260.01 и 707.] !.3 5 а' Гх 2466х' ''' (а 1п(-' — )77" — ', — 1) = 2х ! ал 1.3 а' 1.3.5 а' Гх = — !п — -1- — — -1- — — + — —,+... ~ — >1] д 2 2х' 2.4.4х' 2.4 6 бх' '' [а = — 1п ( — + ф' —, — 1) . [См, 602.3 и 707,] 1.(-;+ )/ — „':+ )= а ! д' 1 3 а' 1 3 5 а' х 2 344 2 4 ° 5х' 2.4 6 ° 744 [х*)а'] \ 2а 1 х" ! 3 х' 135 х' Га х 2.2а' 2.4 4а4 2.4.6 ба' '' [х = Агсзс(л — = Аг5)!в [См.
602.1 и 7!1.], д х 602.6. 10( 144 —, +1 — — ) = — 10 ( + ]/,.4+147 ° (6927 122 123 613.3! ЛОГЛРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 602.7. !и(" + ~/а* 1) 610. 610.01. 610.1 ° 610.2. 603.1. 610.3. хР+' хР+' хг ! п (ах) в(х = — 1и (ах) — —, Р+1 (Р + !)а (р+ — 1!. 610.9. 611.1.
603.4. 611.2. (р — !)хг ' (Л вЂ” 1)'хг 611.9. 603.5. 612. 603.6. 612.1. 612.2. 604. 612.9. 613.1. (!и х)в в(х (!и х)а 21п х 2 ха х х х 613.2. (!и х)' !и х (!и х)' ах хв — 2хг 2ха 613.3. ах' 2а 1 х' 13 х' 135 х' Га =1и — —— Г х 2.2а' 2.4.4а" 2 4 б ба' [х !п ( — ' )/'-; 1) = 2а 1 х' 13 х' 135 х' Га = — 1п — + — — + — -+ —.— +... ] - 1 х 2.2а' 2.4 4а' 2.4 6 ба' ''' ] х Га Га' = — 1П ! — + Р(à —, — 1) .
[См. 710.] х* х' 2вл-во ал !и[ а!и х] = !п [ х ] — — — — — —...— 6 !80 2835 ' ' ' и (2л)! [х' < ат']. (Интегрируя 415.04. См, 490.1 н 45.) соа 4х соа бх !п] И1п х ] = — 1п 2 — сов 2х — — — — —... 2 3 [О« 'Г]. ха хв ха 17ва 2вл- а(2вл 1) 8 ал !и совх =— 2 12 45 2529 ' ' ' л (2л)! [' „ач ха( — ~ .
(Интегрируя 415.03. См. 430,1 и 45.) соа 4х соа ох !и ] сов х [ = — !и 2 + сов 2х — — + — —... 2 3 [0<ха <и' (,]. !и сои х ! Г . в а!ивх а!пвх а!иах 1 Г а ив в — — [31пв х+ — + — + — +...1 р* ( — ! . 2 [ 2 3 4 "' ] 'с 4) 3+90 +2835 +''' хв 7 в 62 + л(2л)! +''' [ ~ 4] ' [См, 415.06, 432.10 н 4Ц !п(х+(у)=!пг+1(0+2пй), где г )гх +у', сове=х(г, в!не=у)г, 74 — целое число или О, г — положительно, 1=]à — 1. 604.05.
х+!у=гаво+аль' [0 в радианах]. [См. 604.] 604.1. !п ( — ц = !п 1+(2(а -(- ц гс! =(274+ ц тс(, [См. 40903] 605. 1Ип х (и х =О. х-ав интеггллы Логарифмические функции — Интегралы Здесь всюду х н а положнтельнм (еслн нет особой оговорки). (и х ввх = х ! п х — х. )и (ах) авх = х (и (ах) — х, х' ха х!пх вух — !пх — —. 2 4 ' ха ха х' 1и х с(х — !и х — — . 3 9 ' х' х' х' 1и х в!х = — 1и х — — . 4 !б' 611.11. ] — с(х = — ! и (ах) )*. х 2 ! 1пх !пх ! Г !п х !и х 1 в(х = — — — . 611.3. ~] — втх = — — — — . х х ' ,] а' 2х' 4хв ~(!п х)в с(х=х (!и х)а — 2х !п х+2х, ха а хв х (! п х)' ввх = — (! п х)а — — ! и х + — .
2 2 4 ' хв 2хв 2 а ха (! п х)' ввх — (!и х)' — — !п х+ —: 3 9 27' хР+в 2хР+' 2хР+в ХР(!ПХ)а (Х= — (!ИХ)* — !ПХ+ — (р~ — Ц. а+1 (р< ц' Ов+!)' 125 [9! 3.9 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНК!!ИН 923.3! иитеГРАльа 2!па 2 (р — !)' хР-«(р-1)'хР-' ! Ч'=1! 619.3 614. 620. 615. 620.1. 616. 1, 621.1. 616.2. (Ь'ха ~ а'), (Ь'х' ) а'!. 621.2. 623. 623.1. 623.2. 623.3. 623.4. 619.1. !9+!) 619.2. (д=р1!. 613.9 Г ) ~ — ( хР (р — 1) хР-« ') (1их)'«(х=х(!их)' — Зх(!Их)'+6х)их $ (1п х)»«)х = х (! п х)» — д ~ ()и х)»-««(х Оп к)» ах (!пх)~+1 (Ч вЂ” 1!.
х ()и х) «(х '! ХР ()и х)» р» хР»«(!п х)» Р+1 р+1 !р. «)Ф вЂ” 1! ( (1и х)» ах — (!и х)» у р (!и х)»-«дх 6179. ~*! —,„"=!Л)1пх)-)-(р-(-1))их-)- ! (р+!)'(!их)', (р+1)а(1„)а 2 2! т 3 3« ) «"ахар —, Гпе У=(р(-1)!пх; см. 563.1].
618.1. ! — !и ! )п х). Р «)х ,! х)пх ,) х'!их ,) х'!п х 618.9. ! — =1п)!пх) — (р — 1)1пх-( (р ,) хР !их 2 2! + (р — 1)' ((и х)' 3 3! ах — ! к (!и х)» (47 ! ) (!п х)» « — р+! (' крах (!и х)» (» — 1) (!и х)» '+» — 1 Д (!и х)»-« ах р 1( «й р ! Х)» хр-«(4 — !) (!их)» «» 1,) кр ()их) В+1!» )и (а + Ьх) «(х = — ! и (а + Ьх) — х. а+ Ьх Ь Ь'х' — а' йХ Ха х)п(а+Ьх)а«я=, )п(а+Ьх)+ — — —. 2Ьа 1и (а+Ьх) дх Ьх Ь'х' Ь'х' Ь'х' + 2' а' 3« а 4'~' + ' ' = — )и х — ~ — + — ««1и (а + Ьх).
!п(а+Ьх) дх Ь Р 1 Ь а х' а а) )и (а+ Ьх) ах !и (а+ Ьх) (' Ь дх хР (р — 1) кР ',) (р — !) (а+Ьк]ХР !р Ф 1!. !См. 101 — 105.! !их ах 0п х) !и!а+Ьх) )п (а+Ьх) «(к а+ьк ь ,) Ьх !п(х'+а')«(х=х!п(х'+а«) — 2х+2а а»С!3 к, ! * * * ° х! п (ха + а') «(х = — ! (ха -(- а')! п (ха+ аа) — ха] .
2 х' )и (х'+ а')«(х= 3 х' !п (х' -)- а') — — х'-1- 2ха' — 2а' е»с!3 — "1 . а] ' х'! п (х' + а') «(х = !!(х' — а') 1п (ха + а') — — + х'а'] . 4 х'!п(ха+а') «2х= — !х' !п(х'+ а') — х'+ + — х'аа — 2ха'+ 2а' ЕГС!5 — "1, 3 а ! х' ! и (х'+ а') с(х — ~(х'+а ) 1п(х +а ) — — + — — х а ]. ! Г в ° а а Хв Хааа а «1 6 ! 126 [623.6 ЛОГАРИЕМИЧЕСКИЯ ЕРНКЦИИ !27 526.6! 623.6. 623.7, 625.2. 624,2. 624.3. 625.4. 625.9. 624.4. Я1.(-"+ У',.+ ) . 626.1 ° 624.5.
624,6. 626.2. х'1п ! х' — а' [ Их =— 3 624.7. 626.9, Х'! И (Х'-1- а') 4/Х вЂ” ~Х>1П (Хз+ а') — — Х'+ 7 -1- — х а — — х а +2ха — 2а вгс!5 — 1. 2 в в 2 ° в х1 5 3 аЗ' х'1п(х'-1- а') в/х = — ~(х' — а') 1и(х'+ а')— х' х'аз х'а' — — + — — — +х'а'~. 4 3 2 )п[хз — а'! в/х х!п) х' — а'[ — 2х+а)п~ — ~.
624.1, ~х1п)х' — а*[мх= — [(х' — а')!п[х' — а'! — хв!. 2 х' 1» ) х' — а' [ 4)х = — )х'1п [ хв — а' ) — — х'— ! ~... 2 =3 ! — 2ха'+ а' !п ~ — ~ 1. ~ Х' 1П [ Хв — а' ! 4/Х вЂ” )(х — а ))и[х — а [ — — — х а 1. ! Г в в в в х зх1 2 х'1и) х' — а') 4(х= — )>х' !п[ х' — а') — х'— в в в ! [ в в з 2 в — — х а — 2ха -1-а 1п~ — ~).
в 3 в в !х+а 1 3 1» — а х'1п! х' — а'! 4!х — ! (х' — а') !п! хз-ав!— ~ ° 6 [ хв хва — — — — х'а'З! 3 2 х')и [ х' — ав) в/х — 1 х')и) хз — а'! — — х'— г — - х а — х а — 2ха + а )п ~ — ! 1. и !х+а!1 5 3 !» — а!3' (х' — а') 1п [ х' — а' [— [' ' кв ква> »гав — — — — — — х'а'1 4 3 2 Вти же выражения могут применяться я интегралам типа кР !и (аз хв) ак.
ИНТЕГРАЛЫ И и т е г р а л ы, с о д е р ж в нк и е г = (х'+ а ) 5 Здесь всюду г > О. ~ )п (х+ г) с(х = х 1» (х+ г) — г. [См. 730.! /х' а' х хг х !» (х -1- г) 4)х ~ — + — ) 1и (х+ г') — —, [См, 730.1.! (в2 4) 4' х' а'г х')п (х+ г) 4)х = — )п (х-1- г) — — + — . [См. 730.2.) 3 9 3 Х'1и(Х-1-г)4(Х ~ — — — ) 1»(Х+г) — — + — а хг. ') /х' Зав'> х'г 3 з ~4 32) !6 32 [См. 730.3.! к' '2 з, а'г х41п(х+ г) 4/х = — !п(х+г) — — + — а г' — —.
5 25 15, 5 [См. 730 4. «г+' ! Г хг+'ах хг)п(х+ г) в/х = — !»(х+ г') — — )— =и+! +!1 [р~ — 1). (См. 201.01 — 207.01 и 730.9.) х ! х' 1 3 к' 1 3.5 «в а 23 ° За' 2455аз 24677а' 1 / 2»1> 1 а' 1 3 а' ! 3 5 а' — ~1» — ) — — — + — — — — -+ ... [х/а» !!. 2 ~ а ) 2> хз 2 4' х' 2 4 6' хв [х)а ( — 1), [См. 731.1,! >ух = — — — — 1» ~ — ! > Тде г = (к«+ а') г>, !и(к+г) 1и(к+г) 1 1а+г! хз х а ~ х [См.
731.2.! )и (х+ г) !и (х+г) кз х(х 2»з 2авк ° — — [См. 731.3.! !и (х-1-г) !и (»+ г) 1 Г ах — х)х = — + — а! — „ ХР = (р=!)кг-> л-13 кг- г [)г Ф1). [См. 221,01 — 226.01 и 731.9.! 128 [627 ЛЯМНДЛ »ЗУНКЦНЯ Я ГУДЕРМЛННЛН Здесь всюду з> 0 627. 627.1. [См.
732.1.[ [См. 732.2.) 627.2. 627.3. к'з 3 — — —" а'хе 16 32 [См. 732.3.) 627.4. 627.9. [См. 568.1.[ 628.1. 628.2. 628.3. 642.3. !)! х = з!п б. 628.9. 642.5. — = зес[чх. акд к 4» 630.1 ° логзенемнческнд Функцнн Интегралы, содержащие з=(х' — а')5 ~)п(х+е)е(»=»[и(х+е) — з. [См, 732.) х)п(х+ з) !Вх= ! — — ! !П(х-[-зу — — "'. 1 2 к' х*)и (х+ з) и!х= — [и(х-[- е) — к — ' — '' =3 9 3 ' а !'к' За! ! х 1п (х+ з) 4(х лл ~ — — — у1! п (х+ з)— *к 4 32 У х 1П (х+ 6) !Вх= 5 1п (Я+ е) — — -б и е 25 !б 5 [См, 732.4.1 кг ю Ха[и(Х-[-Е) !ВХ»л — !П(Х+ Е) — — [ — [рФ вЂ” !), р+! р4-!3 [См.
261.01 — 267.01 н 732.9.) [ 1 ! ( — + 3/к — 1) !В ! (!п 2 — ) + ! — + ! 3 — + 135 а' + 4 + [Х!а ~ !) [См 7ЗЗ ! ) !П(к+з) !п(к-1-з) 1 ! к з(х . + — агсзес[ — ~ к к а [ а [О -агсзес[х/а[(ВВ/2[. [См, 733.2.[ !п(к+з) !и (к+3) 3 к! 2»! + 2азк ' [См. 733.3.) !п(к-1-з) „!п(к-1-з) ! Г дк [См. 281.01 — 284.01 н 733.9.) [и з(п х е(х = х !и х — х — — — —— к! 18 900 »! 2чл ! 8 ел+! !9843 —" — .(2.+!)! — ' [0( ( 4.
[См. 46.[ [Интегрнруя 603.1.~ = — х1п2 — — — —" — '— "" — ... 2 2 2' 2.3' (0(х л н[. [Интегрируя 603.2.[ к» к! к! 17к 630.2. ) (п соз х !Вх =л — — — — — — — — —...— 6 60 315 22680 2Й» ! (2чл 1) Я [См. 45.[ [Интегрируя 603.3.[ з!п 2к з!и 4» в!и бк — х!и 2+ — — — + —, 2 2*2' 2 3' [х'(и*[41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
