Гильберт, Бернайс - Основания математики. Теория доказательств (947376), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Аналогичным образом может быть формализовано и понятие функции нескольких действительных переменных. Понятия лебеговской меры и интеграла Лебега тоже могут быть изображены в Н с помощью соответствующих явных определений. При формулировке этих определений некоторое упрощение получается за счет того, что при введении внешней меры Лебега для линейных точечных множеств можно принимать во внимание только такие интервалы покрытия, концы которых являются рациональными.
Равным образом для плоских точечных множеств в качестве покрывающих многоугольников достаточно брать только такие квадраты, вершины которых имеют рациональные координаты и стороны которых параллельны осям координат, Отправляясь От намеченных здесь основ„ мы теперь можем развивать в рамках формализма Н следующие разделы анализа: теорию аналитических функций, дифференциальную геометрию, теорию дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, теорию рядов Фурье, теорию интегральных уравнений и бесконечно многих переменных, а также и ряд больших разделов топологии ').
й 5. Теория вполне упорядоченных множеств целых чисел Если воспользоваться изображением чисел канторовского второго чисаоаого класса с помощью полных упорядочений натурального ряда, то теорию чисел этого класса тоже можно будет изложить в рамках Н. Фактическая реализация такого формального изложения этой теории может быть выполнена самыми различными способами. Ниже мы рассмотрим один из них. Мы будем исходить из следующего вспомогательного рассуждения. Данное множество чисел, рассматриваемое вместе с отношением порядка (или, как мы вместо этого кратко говорим: упорядоченное множество чисел), определяет собой совокупность таких пар (а, Ь), у которых а и Ь суть элементы рассматриваемого множества, причем а идет в данном порядке не позже Ь.
И обратно: данная совокупность таких пар однозначно определяет и само это множество, и его порядок. В частности, если речь идет об упорядоченном множестве неотрицательных целых чисел, то соответствующая совокупность пар может быть представлена арифметической функцией ((и) такой, что 1(т(а, Ь)) =1 или ((т(а, Ь)) =0 в зависимости от того, входит или не входит а) Впрочем, см, аамечанне в конце $3, с, 668.
575 !»Р 574 ТЕОРИЯ ВПОЛНЕ УПОРЯЙОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ ПРИЛОЖЕНИЕ пара (а, Ь) в рассматриваемую совокупность„т. е. функцией, при- нимающей для числа и значение 1 или О в зависимости от того, входит или не входит в эту совокупность пара (т»(п), т,(п)). Если мы, наоборот, будем исходить из какой-либо арифмети- ческой функции, то для того, чтобы эта функция представляла в только что указанном смысле упорядоченное множество неотри- цательных пелых чисел, должны выполняться определенные условия. Формальное изображение этих условий и сведение их в единый предикатный символ может быть осуществлено при помощи сле- дующего определения: Од(д) - 17х(д(х) =01/а(х) = 1) й 'гхчу(а(т(х,у))=1у«7(т(ух)) =1-а(т(хх))=!йа(т(у,у)) — 1)й »!хту(хчьУ-РЙ(т(х, д)) =О'!/а(т(у, х)) =О) й »ух!!7У!!7г (а (т (х, у)) = 1 й д (т (у, г)) = ! -~ а (т (х г)) — 1) К этому определению примыкают дальнейшие определения: еа-О!1(а) йа(т(с, с))= 1, «=(а, Ь; с) Од(с)йс(т(а, Ь))=1, ((а, Ь; с) а Ф Ь й ~ (а, Ь; с); из которых сразу получаются формулы аесйЬес ((а, Ь; сК((6, а; с), 1 ( (а, а; с), ( (а, Ь; д) й ( (Ь, с; «О -Р (а, с; «[).
Из относя«цихся к упорядоченным множествам понятий мы используем, в частности, понятия начала множества, отрезка множества и подобия двух множеств. Для упорядоченных множеств неотрицательных целых чисел понятия эти могут быть формализованы с помощью следующих опреде- лений: 1п (а, Ь) Од(а) й Ос1(Ь) й»4!х(хеа-«.хеЬ) й Чх!«У(уедй((х, д; Ь)-Р((х, у; д)), Зс(й, Ь, с) 1п(а, Б)йсеЬй'ех(хеа ((х, с; Ь)), а Ь О!! (а) й Ос1 (Ь) й (Зг (гесЦ геЬ) — !.
Зх [»!7У [дед -Р Зг (т, (х (г)) = у)) й ЧУТЬ вЂ” Зг (т, (Я (г)) = у) 1й »!г (т! (5 (г)) ей й т, (х (г)) ЕБ) й !РиМи[((т,(х (и)), тт(й(о)); д) ( (т« (х (и)), т,(х (о)); Ь)])). [Формуле 1п(а, Ь) соответствует высказывание «д является началом упорядоченного множества Ь неотрицательных целых чисел», а формуле Яс (а, Ь, с) — высказывание «а является отрезком, образованным в упорядоченном множестве Ь неотрицательных чисел элементом с»; определение подобия, выражаемое формулой а Ь, говорит о том, что а и Ь являются упорядоченными множествами неотрицательных целых чисел и что в том случае, когда хотя бы одно из них непусто, существует последовательность числовых пар, изображающая взаимно однозначное отображение а на Ь, сохраняющее порядок.! Из определения символа ~ (символ подобия) могут быть выведены формулы Од (!!) -+. а й и а~6-+.(д с-РЬ=-с).
Переход от упорядоченных множеств неотрицательнйх целых чисел к вполне упорядоченным мы произведем при помощи определения М (а) Од (а) й 1 Зх!Ру((й (у'), х (у); а). Из этого определения можно получить формулы 1п(а, Ь) й М(6)-~-М(д) и М (а) й й = Ь вЂ” !- М (6). Затем, используя выводимую формулу '!7х(В(х)-~-Зу(В(д) йС(х, у)))-Р(В(а)-~-ЗхУЕС(х(г), 5(г'))), получим формулу ((!)) М (с) й аес й А (а) -+ Зх(хесй А(х)й!«У(уесйА(у)-~-((х, у; с))).
А с помощью этой формулы могут быть выведены формулы 1п(а, Ь) й М(Ь) йа~Ь-э-ЗхЯС(а, Ь, х) и М(а)йМ(Ь)-~Зх(х ай1п(.5, Ь))~/Зх(х Ьй1п(х, а)). Если теперь положить по определению ~(а, Ь)-Зх(а=ай!и(6, 6)) ~(а, Ь) ЗхЗУ(х дйЗС(х, Ь, у)), 575 (су ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИЯ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ то можно будет получить формулы й(д)йй(Ь) (<(д, Ь)-д=Ы~~(д, Ь)), й(д)йй(Ь) <(д, Ь))УС(Ь, д), ((2)) й(д)-е.
) -к (д, д), <(д, Ь)й-<(Ь, с),.~(д, .'), й(с) йЗС(д, с, «) йЗС(Ь, с, а) й:(«, з; с) ° (д СодеРжательный смысл пеРвых четыРех фоРмУл ((2)) ясен. Смысл пятой сводится к тому, что упорядочение вполне упорядо ченных множеств неотрицательных целых чисел при помощи отношения -С при условии, что подобные множества (т. е. мно- жества, находящиеся в отношении ) не различаются, или, дру- гими словами, упорядочение порядковых типов рассматри- ваемых вполне упорядоченных множеств по их величине для всех типов, меньших некоторого заданного порядкового числа с, дает порядок, изоморфный тому порядку, который имеется в любом множестве, вполне упорядоченном по типу с. Тот факт, что упорядочение по отношению -С является пол- ным, находит формальное выражение в следующей, выводимой с помощью формул ((1)) и ((2)) формуле: ((3)) М (д) й А (д) -е.
Зх [М (х) й А (х) й 'йу (М (у) й А (у) -е. ь (х, у)) [. Эта формула представляет собой аналог формулы для принципа наименьшего числа. Из нее может быть получена формула ((4)) )сх(й(х) й ай(у (-С (у, х)-ь А (у))-ь А(х))-ь(й (д)-РА (д)), изображающая принцип трансфинитной индукции. К описанной формальной характеризации отношения ~ мы теперь еще добавим формализацию порождающих операций, в результате чего у нас получится аналогичное построению ариф- метики построение теории первого и второго канторовских число- вых классов (типы вполне упорядоченных конечных множеств представляют собой элементы первого, а типы вполне упорядо- ченных счетных множеств — элементы второго числового класса).
Сначала можно вывести формулы й (О) и М (д) -ь- ;, (О, д). Затем можно определить символ д+ так, чтобы были выводимы формулы й (д) -ь й (да), М(д) — ь-С (а, д+), С(д Ь)- 4(д'» Ь). Этого можно достичь, например, при помощи следующего определения '): д+ = Л (зяп (тс (х) т, (х)) . а (т (б (т, (х)), б (т, (х)))) + здп (та (х)) зяп (та (х)) д (т (б (та (х)), б (тс (х)))) + зйп (хЦ. Это определение выбрано с таким расчетом, чтобы в том случае, когда функционал й изображает какое-либо упорядоченное множество М неотрицательных целых чисел, функционал а+ изображал упорядоченное множество, которое получается из М путем прибавления к каждому числу из М единицы (при сохранении порядка) и присоединения числа О в качестве последнего элемента.
В силу выводимых для О и д' формул, роль этих функционалов оказывается аналогичной роли, которую в арифметическом формализме играют термы О и а'. Функционал О, изображающий пустое множество, представляет наименьший порядковый тип вполне упорядоченного множества, а символ д' — переход от заданного порядкового типа к ближайшему большему.
В качестве еще одной порождающей операции здесь добавляется операция предельного перехода, которая по любой возрастающей счетной последовательности порядковых типов вполне упорядоченных множеств строит ближайший больший. Понятие возрастающей последовательности вполне упорядоченных множеств неотрицательных целых чисел формализуется определением й,(д) )«х[й(Л,д(т(х, г)))й~(Л,д(т(х, г)), Л,д(т(х', г)))1, и при помощи соответствующего явного определения может быть введен символ 1!гп(д), для которого будет выводима формула Ма (д) -ь М (1 ип (д)) й ассх 4 (Л,д (т (х, г)), 1ип (д)) й [М (Ь) й аУх -< (Л,д (т (х, г)), Ь) -~- ~~ (1(ш (д), Ь)1. Затем в качестве аналога арифметической формулы а = О)/ Эх (х' = а) может быть выведена формула ((б)) й (д) -ь д О )«пх (М (х) й х+ д) ~(:-)х (йс (х) й1(т (х) д).
И наконец, в рамках нашего формализма к явным определениям может бытьсведен и метод тр ансфи нитной рекурсии, который в теории первого и второго числового класса соответст- ') Испольауеман адесь функция аяп (л) прн помопсн функции а (оа Ь) (определенне ее см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
