Гильберт, Бернайс - Основания математики. Теория доказательств (947376), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Е соответствии с этим каждая рекурсивная (т. е. определимая прн помощи примитивных рекурсий) функция представима в виде некоторого выражения, в котором не фигурируют никакие другие символы, кроме символа О, штрих-символа, функциональных знаков тд(л) и тв(л) и символа универсальной функции ря(а, 6 (х), л). 4 31 ТЕОРИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 667 ПРИЛОЖЕНИЕ гги ций: Так, например, справедливы следующие представления функа+Ь=р,(а, (т,(х))', Ь), а Ь=р„(0, ря(т,(х), (т,(у))', а), Ь), аа=р,(0', р„(0, р,(т,(у), (тз(г))', та(х)), а), Ь), б(п) =р„(0, т,(х), и), а — 'Ь=р„(а, р„(0, тг(у), тз(х)), Ь), с=р„(с, т,(х), и), знп(п) =р (О', р„(0, т,(у), х), и), $(п) =р„(0, р„((т,(х))', (тз(у))', т,(х)), и).
Равенство 1х. А (х) =ел((А (х) й гуу(А (у)-ьх~у)) Ч (х=Ой уу-) А (у))) определяет 1х-символ, и из этого определения с помощью выводимой формулы, выражающей принцип наименьшего числа, могут быть выведены формулы (р„), (рх) и (ра) '). Таким об аз разом, в нашем распоряжении находится весь формализм арифметики. Заодно достигнут и заметный по сравнению с формализмом (Уи) прогресс в отношении систематики. $6. Т еория положительных деиствительных чисел Переходя теперь к анализу, мы поначалу ограничимся анализом положительных величин, так как в нем соде м содержатся уже все методы, характерные для теории пределов.
В еличнны, которые мы будем рассматривать, можно описывать при помощи последовательностей неотрицательных целых чисел. Эврнстически к этой мысли нас приводит изображение положительных действительных чисел при помощи бесконечных двоичных дробей. Это изображение равносильно изображению и и помощи последовательности дробей ае а, оя 2е 2' 2' а значит, и при помощи последовательности целых чи сел ое, пм а„... такой, что 0(ае и для любого и а. =2 а либ =2 а +1. Это а„ли о а„.,г = ,+ .
- о изображение станет взаимно однозначным, если дополнительно потребовать чтобы соответствуто у щая двоичная — 60 и 479 — 482 или же в настоящем томе Приложег См.т.!,с,348 — 3 иие ~, с. 489. дробь не состояла, начиная с некоторого места, из сплошных нулей, т. е. чтобы не оказывалось, что, начиная с некоторого места, а,+г — — 2 а,. Так мы приходим к тому, чтобы характеристическое свойство числовых последовательностей, используемых в качестве средства изображения положительных действительных чисел (Мабеа)г(еп), формально определить с помощью следующего специального предикатного символа 6 (д) '): В (д) гУх (д (х') = 2 д (х) )/ д (х) = 2 .
д (х) + 1) й гг'хщу (х < у й д (у') =* 2 ° д (у) + 1). Опираясь на эту формализацию понятия положительного действительного числа, можно дать следующие определения, устанавливающие отношения равенства и порядка для таких чисел: д — Ь чг'и (д (х) = Ь (х)), д.-'~Ь--1(д-Ь). д ~ Ь 7х(д (х) ~ Ь (х)), д<Ь д(ЬйдчьЬ. Из этих определений могут быть выведены следующие формулы: д — 'д, д='Ь-ь Ь='д, д-Ь- (д-с Ь=-с), д — Ь-ь(д(с — «Ь~с), д — 6-~(с~д-~с~Ь), а также аналогичные формулы с символом < вместо ~ ° Затем могут быть выведены формулы д — ' Ь -ь. (О (а) — ь сг (1г)), д ( Ь й Ь ( с — г- а ~ с, а . — Ь й Ь ~ д -+- д =' Ь, д<ЬйЬ<с- д<с, 6(д)йВ(Ь)-+.(д<Ь ~(Ь~а)), В(д)-ьщх(В(х)йд х)й1х(В(х)йй<д), 8(д)й В(Ь) йд<Ь-ьБх(6(х) йд<хйх<Ь).
') Изображение при помощи последовательности числителей следующих друг за другом конечных двоичных дробей по сравнению с изображением при цомощи яоследоаательиости цифр бесконечной двоичной дроби имеет то яре. имуцгество, что цри введении различных понятий оио избавляет иао от необходимости производить те или иные рекурсивные построения.
ПРИЛОЖЕНИЕ Замечание. Мы нев состоянии вывести лк>бую формулу вида ст = Ь ->- (Я (>4) -+ Я (Ь)). Так, например, формула сг — 'Ь-+(е,с1(х)=0)=0 -ч-а„(Ь(х) =0)=0 ) невы водима. Для выполнения подстановок вместо функциональных переменных без аргументов (подстановки эти могут быть только подстановками функционалов) важно иметь способ, позволяющий по любому терму 1(с) с одной свободной переменной с строить функционал 1, для которого выводимо равенство 1 (с) = 1(с). Этот способ может быть получен следующим образом: Обозначим через е функционал е;ч>у(х(у) = Ь(у)). Из третьей еформулы, подставляя вместо именной формы А(с) ее формульной переменной формулу 11>г(с(г) =Ь(г)) и переименовывая внутри выражения е„1>г(х(г) = Ь(г)) переменную г в у, мы получим формулу с>г (с)(г) = Ь (г)) -ч- гс>г (е (г) = Ь (г)), Если вместо именной формы с)(с) в эту формулу подставить терм Ь(с) и воспользоваться выводимой из аксиомы (),) формулой 1Уг (Ь' (г) = Ь (г)), то получится формула »>г (е (г) = Ь (г)), а значит, и е (с) = Ь (с), т.
е. формула )е4ну(х(у) = Ь(у))) (с) = Ь (с). Пусть теперь 1(с) — произвольный, содержащий свободную переменную с терм, в который не входят связанные переменные 5 и». Тогда подстановкой функции вместо переменной Ь (быть может, с переименованиями) мы получим равенство )е 1у»М(»)=1(»)))(с)=С(с). Кроме того, для упрощения записи можно с помощью явного определения (>.„>1 (х)) (с) = (е„'Ру (х (у) = се (у))) (с) сеЛ 559 4 з1 теоп о ия положительных дгяствительных чи ввести символ >,,х.
') г. и( ). Это определение с использованием выведенной нами формулы )е„>Уу (х (у) = Ь (у))) (с) = Ь (с) ()"л( ))()=й() (4) С помощью этого равенства можно, например, из формулы П вЂ” Ь-'с>х(б(х) = Ь(х)) вывести фоРмУлУ т , (Х) . 3т1 (5) ~5 (5 (5) = 1 (5)) где б(с> и с— 1() — произвольные термы, не содерж щ Р е жа ие пе емен- н и . Для этого сначала надо от формуль' П . Ь Ух(П(х) = Ь(х)) при помощи подсев становки (и может быть, переименований) перейти 3,5 (5) - Лт((5) - ВР (().,б (5)) (») = (3т 1(5)) (»)), а затем добавить к ней два равенства (>ссб (е))(с) = 6(с) и (>е1 (е)) (с) =1(с), из авенства (4) в результате соответствующих бн ти, пе еименованнй) Получен- одстановок (и в случае надооности пареные ные три п>ормулы с п о ф с помощью аксиомы равенства (Д,) и даю т ебующуюся нам формулу. о, чтобы Р У'о (4) может быть использовано еще и для того, ч Равенство 1 > может нем нашей схемы определе- в свести схему, являющуюся обобщением наше" ннй на случай функционалов.
Именно, в ы схеме явного определе- ния для введения функционала ( (с) = й (с) в том что й должно быть фигурирует условие, заключающееся ь может быть заменено олее функ ионалом. Условие это теперь мож слабым — что 9(с) является термом. Действ ц ительно, если это услоо связанная пе еменная, не вие выполняется, а 5 †как-либо связ входящая в 9(с), то Х й(5) представляет собой функционал.
ле- довательно при помощи равенства ( (с) = (>с 9 (5)) (с) Че ч . См. введение оператора а '> ь, «р~ в его работе; Сипгсв сжАегчы(ааааа а дпп. Ма1п., 1932, 33, № 2, р, 35! — 356. $31 ТЕОРИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЪ|Х ЧИСЕЛ 661 ПРИЛОЖЕНИЕ ссч можно ввести символ ( для функционала. Но нз этого равенства с помощью формулы (4) в результате применения подстановки функции.
вместо переменной й выводится формула ( (с) = й (с). В качестве еще одной выводимой схемы для определения функционалов упомянем схему где ( — вновь вводимый символ для функционала, а 6 †функционал. В самом деле, всякая формула этого вида, если свободная индивидная переменная с в нее не входит, дедуктивно равна формуле 1 (с) = й (с).
В дальнейшем, вводя явные определения для тех или иных интересующих нас функционалов, мы будем пользоваться обеими этими выводимыми схемами определений. После этого замечания мы перейдем к фундаментальной теореме, утверждающей суиСеоавование точной верхней гранисСы у любого непустого ограниченного сверху (т. е. имеющего какую-либо верхнюю границу) множества положительных действительных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
