Гильберт, Бернайс - Основания математики. Теория доказательств (947376), страница 121
Текст из файла (страница 121)
=)х~У [6т (х) й (6 (у) 17 у -в- 0) й Уи (А (Л,х (т (и, г))) й Л,х(т(и, г)) Ф уй/Л,х(т(и, г)) — у1(и)=0)], а эту формулу, как мы покажем ниже, можно еще усилить до формулы (10) ГФА (У) й Ех1; А (х) -ь. :-м:-$у[6,(х)й(6(у) 17 у — '0)й1Р'и(А(л,х(т(и, г)))й [Л,х(т(и,.г)) — у/(и)=0й[Л,х(т(и', г)) — у1([Л,х(т(и, г) — у)1)], которая выражает теорему о том, что из каждого ограниченного сверху множества положительных действительных чисел можно выбрать последовательность, которая сходится либо к положительному действительному числу, либо ск нумоь, причем приближения монотонно улучшаются.
Переход от (9) к (10) можно произвести с помощью формулы (11) 6т (й) й Уи (й (т (и, и)) = О) т- 3х [х С д й Уи (х(т(и, и)) = ОйЛ,.Е(т(и', г)) (Л,х(т(и, г)))], которая в свою очередь получается следующим образом. Сначала из определений символов 6 и 6т можно вывести формулу 6,(й)-~1о(п< ойд(т(п, о))чь0). Если теперь определить и,(й, и) равенством и, (й, п) = р, (и .-.
о й й (т (и, о)) Ф О), а затем определить и,(й, и) и иь(д) с помощью равенств х,(й, и) р„(0, х,(й, т,(х)), и) н ие(д) = Л„д (т (ха (д, хс (х)), т,(х))), 569 ТЕОРИЯ ДЕИСТВИТЕЛЪНЫХ ЧИСЕЛ ПРИЛОЖЕНИЕ пп то, пользуясь определениями символов р„А(х) и р„(а, Ь(х), и), а также формулой 8«(д)йд(т(п, п))=0-~(с~а- д(т(п, с)) =0), мы получим формулу 6, (д) й У и (д (т (и, и)) = 0) «- кв (д) С д й (ке (д)) (т (и, п)) = 0 й Э„(хе(д)) (т(п', г)) -~,,(ки(д)) (т(п, г)), из которой немедленно получается формула (11). Замечание. В ряде рассуждений, проводимых в теории точечных множеств, требуется более сильная форма принципа выбора, чем та, которую мы только что рассмотрели.
Чтобы включить в наш формализм этот более сильный вариант принципа выбора, достаточно добавить к исходным формулам системы Н формулу ч х (А (х) В (х)) -е- 'ч г ((Е„А (х)) (г) = (Е„В (х)) (г)). й 4. Теория действительных чисел. Замечания по поводу дальнейшей формализации анализа Теперь мы получили в свои руки существенный аппарат, позволяющий дедуктивно строить теорию положительных действительных чисел. А от этой теории можно различными способами перейти к общей теории действительн'ых чисел. Одна из возможностей заключается в том, чтобы действительные числа определить как пары положительных действительных. Такое изображение действительных чисел обладает тем преимуществом, что при введении действий над ними не требуется разбирать отдельные случаи. Но, с другой стороны, оно неудобно своей неоднозначностью, а к тому же в рамках нашего формализма его реализация оказывается несколько громоздкой.
Ввиду этого мы выбираем более употребительный способ перехода к действительным числам, заключающийся в добавлении к положительным действительным числам числа 0 и отрицательных чисел. Это добавление можно произвести следующим образом. Мы полагаем по определению') 6-(д) д(0) ~ Ой 6(Х„(д(х) — ' зяп (х))) и 6« (д) 6 (д) ~/ д †' О ~/ 6 (д). Символ О, который является функционалом, мы берем в качестве изображения действительного числа нуль, а символы 8-(д) и т) По поводу определений (а — Ь) и его(л) см. с. 556, 8*(д) в качестве изображений высказываний «д является отрицательным действительным числомъ и «д является действительным числом». Интерпретацию определения символа 8-(д) легко усмотреть, приняв во внимание выводимость формулы 6- (д) Бх 16 (Х) й д (0) = (х (0))' й Чг (г ~ 0-«-д (г) = х (г))], из которой в свою очередь выводится формула 6 (д) -е.
д ~ О й 1 6 (д). Преимущество такого введения понятия действительного числа заключается, во-первых, в том, что оказывается ненужным новое определение равенства, так как отношение равенства —. для функционалов непосредственно представляет собой и отношение равенства для действительных чисел, и, во-вторых, в том, что те действительные числа, которые являются положительными, совпадают с рассмотренными нами положительными действительными числами. Для определения арифметических действий целесообразно сначала ввести функции ~ д ~ (а б о о л ю т н а я в е л и ч и н а д), — д и зя(д) (знак д). Мы полагаем ~ д ~ - а„(() 6- (д) й У д) у (6- (д) й х = Х, (д (г) — зйп г))), -д=ей (Д8(д)йх ~д!) ~/(6(д)йх=Л,(д(г)+зйпг))), зд(д) ='е;(( 36(д) й 16-(д) йх-ъ-0) ~/ (6 (д) йй — л„б(2')) у' (6- (д) й Х = Х, (б (2') + зйп г))).
Из этих определений получаются, в частности, формулы 10( — 'О, — 0 — 'О, зй(0) — О, 6(а)-«.~д~ = д, 6-(д)-«-~ д~ — ' — д, — ( — д) -'д, Если мы, кроме того, положим 1 — л„б (2'), то получим 6(д) Ф" зк(д) 1 и 6 (д)-» зй(д) « 3 а м е ч а н и е. При умножении положительных действительных чисел функционал 1 играет роль единицы. В самом деле, может быть выведена формула д ~ 1 — ' д. 570 ПРИЛОЖЕНИЕ нч 571 ТЕОРИЯ ДЕИСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Теперь мы можем следующим образом определить сложение действительных чисел: й яБ — 'е„((с! — Ойх =' Б) 1/ (Б — 'Ьйу ='с1) с/ (6(с1) йЕ(Ъ)йй — ба Ь) ~ (Е (сг) й6 (Ь) йх-' — (|с!! ~ |Ь!)) 1/ (сг- — Бйй-Ь) !7 ( д(с!) — д(ь) й |х! ||д! — |Б||й(|ь'| '=|д|- яд(х)=ед(а))й (! сг! ( ! Ъ ! — ед(х) =зд (Ь)))).
Вычитание получается из сложения при помощи следующего определения: й О Ь вЂ” ' с! й7 ( — Ь). Отношение порядка для действительных чисел вводится определением: с)~Ъ 6(Ьяд). Из определения вычитания может быть выведена формула 6(цйе(Б) |пеБ! |й — Б!. Произведение двух действительных чисел с) и Ь может быть определено следующим образом: дзЪ вЂ” 'е; (((с) ° 0 1с Ь вЂ” 'Ь) йх — '0) )/ (зд(с1) — зд(Ь) й х-. |8|:-: |ь'!) Ч (зд(д) -ед(ь) йх- — (|й|: с |Б|)н. И, наконец, определением с):Ь вЂ” е„(6*(Х)йЬ32 с)) может быть введено деление.
Из сформулированных определений может быть получена формула 6*(п)йе*(Б) е (аЕЪ)йе (йеБ)йе*(п®Б)й (ь'~1 6*(п: Ъ)). Могут быть также получены и формулы, выражающие арифметические законы, которым подчиняются эти четыре операции. А теперь — совершенно аналогично тому, как это было сделано в случае положительных действительных чисел, — определив соответствующий предикат 6,*(с)), мы сможем формализовать понятие последовательности действительных чисел и предела такой последовательности, а также формально изобразить основные теоремы о пределах. Для построения теории бесконечных сумм и произведений нам нужно сначала с помощью рекурсивных определений ввести конечные суммы и конечные произведения действительных чисел, а эти рекурсивные определения могут быть сведены к соответ- ствующим явным определениям совершенно аналогично тому, как сводились примитивные рекурсии для арифметических функций.
Мы приведем здесь определение для суммы первых и+1 членов последовательности действительных чисел: о(сг, и) ='- е1Еу1'ти(у(т(0, и)) =с)(т(0, и))) й '7е(е(и-~.)с„у(т(е', и)) -ь)с„й(т(е, и)) ®)с,с!(т(е', и))) й т'и(Х(и) = у(т(л, и)))1. (Фигурирующий здесь параметр й представляет собой ту последовательность действительных чисел, члены которой после- довательно суммируются.) Индукцией по и получается формула Е; (сг) -ь- Е * (а (д, л)), а нз нее, далее, — формула Ес (с)) -+ Е,* (Х, [(о (с), т, (х))) (т, (х)))).
Что касается теории функций, то понятие непрерывной функции, определенной на отрезке 10, Ц, можно изобразить в рамках нашего формализма Н, воспользовавшись тем обстоятельством, что всякая такая функция однозначно задается последовательно- стью ее значений для значений аргумента ! 1 3 1 3 5 7 1 3 0 1,— 3' 4' 4' 8' 8' 8' 8' 16' 16' т. е. для несократимых дробей вида лс/2", не превосходящих единицы. Дроби эти мы упорядочиваем по величине знаменателя, а при равных знаменателях — по величине числителя.
Каждой такой непрерывной на отрезке 10, 11 функции, согласно сказанному, соответствует вполне определенная последовательность действительных чисел, и поэтому общее понятие такой функции изображается в Н некоторой формулой е;(д)йЕ(д), где Е(й) формализует условие, говорящее о том, что в представленной функционалом й последовательности действительных чисел, образующей последовательность значений этой функцйи для аргументов вида лс/2" (в указанном порядке), каждой сходящейся последовательности дробей вида и/2" соответствует сходящаяся же последовательность значений функции. Можно построить функционал 1(й, Ь), для которого будет выводима формула е; (д) й е (с!) й (е (Б) )/ ь -ь Ь) й ь ~ 1-ч- е' (1 (с), ь)) ПРИЛОЖЕНИЕ пу н который будет представлять «значение определенной на отрезке 10, Ц непрерывной функции, изображенной функционалом д, прн значении аргумента, изображенном функционалом Ьм С помощью этого функционала 1(й, Ь) можно также формализовать понятия дифференцируемости и производной.
Интегрирование может быть определено без использования функционала 1(д, Ь). Так, в частности, интеграл от непрерывной на отрезке 10, Ц функции, взятый по этому отрезку, изображается в зависимости от функционала, представляющего эту функцию„пределом последовательности действительных чисел, и-й член которой изображается функционалом (п(п, 2"') 9 п(д, 2")): (2" о1). Подобно теории функций, непрерывных на (О, Ц, могут быть формализованы и теории функций других типов, например теория непрерывных функций двух переменных, определенных в каком- либо прямоугольнике или круге, или теория определенных на каком-либо отрезке функций ограниченной вариации. Для изображения общего понятия множества действительных чисел, а также множества действительнозначных функций, зависящих от одного или нескольких действительных переменных (кратко — ф у н к ц и й де й с т в и т е л ь н о г о п е р е м е н н о г о), мы можем использовать формульные переменные.
При этом множества действительных чисел можно изображать совершенно аналогично тому, как ранее изображались множества положительных действительных чисел. Формализация понятия функции одного действительного переменного может быть произведена с использованием формульных переменных с помощью явного определения Ч'„„;(А(х, у), В(й)) )Ухну (А (Х, у) — ~-6 а (й) й 6 ' (у) й В (Х)) й Уу Ех(„А (Х, у) й Чй(6«(й) йВ(х)-Р=1у(6«(у)й чг(й ='у А(й, а))1). Здесь переменная А(д, Ь) представляет отношение между значением аргумента и значением функции, а переменная В(с) представляет условие, описывающее область определения этой функции.
В частности, высказывание «предикат А(й, Ь) выражает отношение, имеющее место между аргументом и значением некоторой определенной на отрезке 10„Ц функции одного действительного переменного» (или же «предикат А(д, Ь) для некоторой определенной на отрезке 10, Ц функции действительного переменного равнозначен высказыванию о том, что Ь является значением этой функции при значении аргумента, равном да1 изобразится после 673 ««1 ТЕОРИЯ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ этого формулой Ч'„„;(А(х, у), 0(г й й (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
