Билет №36, 37 (943759), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

критическому Hс, сверхпроводимость разрушится, поле проникнет в сверхпроводник, и В станет равным H_o. Магнитная индукция В и на­пряженность поля H_o связаны известным соотношением В = H_o + 4лМ, где М — магнитный момент единицы объема образца. Часто кривую намагничивания строят в виде зависимости — 4πM от H_o, как это сделано на рис. 2.1.

Перечислим основные магнитные свойства сверхпроводников первого рода.

1) Магнитные силовые линии вне поверхности сверхпроводника всегда касатсльны к его поверхности. Действительно, из электроди­намики известно, что магнитные силовые линии, т.е. линии вектора индукции В, непрерывны и замкнуты. Это соответствует уравнению divB = 0

Отсюда следует, что нормальные составляющие вектора В к поверх­ности любого материала внутри и снаружи должны быть равны. Но внутри сверхпроводника В⁽ⁱ⁾ = 0, а значит, и нормальная компонен­та Вo⁽ⁱ⁾ = 0. Следовательно, нормальная компонента Вo⁽ⁱ⁾ вне сверх­проводника на его поверхности тоже равна нулю. Но равенство Вo⁽ⁱ⁾ = 0 как раз и означает, что магнитные силовые линии касатсль­ны к поверхности сверхпроводника.

2) Следствием предыдущего свойства является то, что по поверх­ности сверхпроводника, находящегося во внешнем магнитном поле, всегда течет электрический ток. Из уравнения Максвелла непосред­ственно следует связь между поверхностным током и магнитным по­лем на границе jпов = c/4π [n,Ho], где n — единичный вектор внешней нормали к поверхности сверх­проводника.

Итак, поверхностный ток полностью задан магнитным полем на границе сверхпроводника. Иными словами, он автоматически стано­вится таким, чтобы его собственное магнитное поле внутри сверх­проводника полностью компенсировало внешнее поле, что обеспечи­вает отсутствие результирующего поля внутри сверхпроводника.

1. Е ще одним достаточно очевидным свойством обладают односвязные сверхпроводники (под односвязным понимают такое тело, в котором можно произвольный замкнутый контур стянуть в точку, нe пересекая при этом нигде границ тела): токи по его поверхности
   текут лишь в том случае, когда он находится во внешнем магнитномполе. Действительно, если поверх­ностные токи сохраняются и после отключения, внешнего поля, то они создают свое поле в сверхпроводни­ке, что невозможно.

§ 2.2. Уравнение Лондонов

Как уже упоминалось в первой главе, в 1935 г. братья Лондоны рас­смотрели электродинамические свойства сверхпроводников, не вни­кая в микроскопические причины явления. Полученное ими уравне­ние (уравнение Лондонов) дает, в частности, возможность ответить на вопрос о проникновении магнитного поля в сверхпроводник. Уравнения Максвелла для полей имеют вид

rot Е =─(1/c) ∂B/∂t, rot В = (4π/c) j + (1/c) ∂D/∂ t (2.4)

Как и в случае металлов, вторым членом во втором уравнении можно пренебречь, т. е. пренебречь токами смещения по сравнению с обычными. К этим уравнениям нужно добавить материальные Уравнения. В нормальных металлах связь между током и полем за­писывается в виде закона Ома j = σЕ, но в сверхпроводнике сопротивленис отсутствует. Если электрон не испытывает рассеяния, то под действием приложенного электрического поля он ускоряется и mdv/dt =еЕ

Определив плотность тока j = n_sev через заряд электрона с, плот­ность сверхпроводящих электронов n_s и их скорость v, получим сле­дующее выражение для напряженности электрического поля: E = ( m/n_se² ) ∂j/∂t , которое подставим в первое уравнение Максвелла.

Это приводит к следующей зави­симости тока в сверхпроводнике j=-(n_s e²/mc)rotA, где А — вектор-потенциал поля.

Таким образом, сверхпроводящий ток пропорционален не напря­женности поля, как это имеет место в нормальном металле, а век­торному потенциалу магнитного поля в той же точке. Именно такая связь постулировалась Лондонами. Из закона сохранения заряда divj = 0 следует, что векторный потенциал должен также удовлет­ворять соотношению divА = 0.

К полученной связи между сверхпроводящим током и вектор-по­тенциалом можно сделать еще одно замечание. Влияние магнитного поля вводится с помощью теоремы из классической механики, утверждающей, что действие силы Лоренца (qv/c) • В на движение заряженной частицы в магнитном поле В можно полностью учесть при замене импульса р (когда он появляется в выражении для ки­нетической энергии) на выражение р — (q/с)А, где вектор-потенци­ал А определяется из выражения В = rot A.

Предположим, что частица с зарядом q движется в свободной от поля области со скоростью v₁, и что магнитное поле прикладывается в момент времени t = 0. Поле может возрастать только с конечной скоростью, и при его изменении индуцируется электрическое поле, удовлетворяющее уравнению Максвелла rot Е = —(1/с) dB/dt. Если А — вектор-потенциал, то rot Е = —(1/с) rot dA/dt, а интегрирова­ние по пространственным координатам дает Е = —(1/с) dA/dt без учета постоянной интегрирования, которая нас не интересует.

Так как div В = 0, получим следующее уравнение: ∆В─(1/λ²)В = 0, где λ. = [mc² /(4πn_se² )]^1/2 — так называемая лондоновская длина.

Пусть сверхпроводник занимает полупространство z > 0, и поле приложено параллельно его поверхности. Из уравнения (2.18) сле­дует, что внутри сверхпроводника поле экспоненциально убывает:

B(z)=B_o exp(─z/λ) (2.19)

Магнитное поле имеется лишь в приповерхностном слое толщиной порядка лондоновской длины, а внутри сверхпроводящего материала магнитное поле равно нулю.

Чтобы представить себе, каков порядок величины лондоновской дли­ны, подсчитаем ее значение для свинца, у которого n_s= 3•10²² см^─3: λ = [(mc²)/(4πn_s e²)]^1/2≈(10^─27•9 •10²⁰) / (4 •3,14 •3 •10²²• 25•10^─20) ^1/2

≈ 3 •10^─6см,

что соответствует экспериментальным данным. Как правило, значе­ние лондоновской длины лежит в диапазоне (10^─5—10^─6 ) см (см. табл. 4.1).

Выражение для лондоновской длины очень похоже на формулу для длины волны продольных плазменных (ленгмюровских) колеба­ний электронов λр = √( πmc²/nе² ), где n — плотность электронов. Когда частота падающего излучения меньше плазменной, показа­тель преломления вещества оказывается чисто мнимым, и электро­магнитное поле существует лишь в тонком приповерхностном слое. Однако в отличие от сверхпроводника в этом случае эффективная глубина проникновения поля определяется дебаевским радиусом эк­ранирования D = √(kT/(4nπe²)). С другой стороны, хорошо известно, что электромагнитные волны частоты ш проникают в металл лишь на глубину скин-слоя, также определяемого похожей формулой ℓ = c/√(2πσω) = √(mc²/(2πe²ωτ)), но зависящей от частоты и прово­димости металла ст (времени релаксации τ). В приведенном выводе предполагалось, что все электроны уча­ствуют в сверхпроводящем токе. На самом деле глубина проник­новения зависит от температуры, обращаясь в бесконечность в точке фазового перехода. Это свидетельствует об изменении состо­яния электронов с температурой. Можно несколько «подправить» теорию, введя вместо полного числа электронов некоторое число «сверхпроводящих электронов» n_sТ), которое уменьшается с тем­пературой и обращается в нуль при Tс. Поэтому лондоновской длиной обычно называют длину проникновения магнитного

Р ис. 2.2. Зависимость глубины проникно­вения в олове от температуры

поля при абсолютном нуле и обозначают λ_L, а во всем температурном диапазоне говорят о длине проникно­вения. Довольно хорошим приближением для темпера­турной зависимости λ. явля­ется эмпирическая формула λ² (T) = λ_L ² / ( (1 ─ (T/Tc) ⁴ )

Из формулы (2.20) следует, что практически во всем температурном диапазоне глубина проникновения рав­на лондоновской и лишь вблизи температуры перехода Тс она резко увеличивается, стре­мясь к бесконечности, как это видно из рис. 2.2.

Хотя нет сомнения в правильности лондоновской формулы (2.19) для проникновения магнитного поля, приложенного парал­лельно поверхности образца, экспериментальное исследование та­кой зависимости дало бы неоценимую информацию о структуре сверхпроводящего состояния. Измерение величины магнитного по­ля, проникающего в сверхпроводник, кажется безнадежной зада­чей, так как для этого требуется датчик микроскопического раз­мера. Тем не менее совсем недавно, в 2000 г., это удалось осуще­ствить с помощью мюонов малой энергии [3]. Измерялось распределение поля по глубине пленки, изготовленной из высоко­температурного сверхпроводника YBCO (об этих соединениях речь пойдет дальше в главе 6).

П опадая в вещество, положительные мюоны очень быстро за­медляются (за время порядка наносекунды) и затем застревают в междоузлиях кристаллической решетки. Хотя живет мюон мало, всего около двух микросекунд, распадаясь на позитрон и два ней­трино, этого времени вполне достаточно, чтобы зарегистрировать по вылетающим позитронам частоту его прецессии. Дело в том, что в силу нeсохранения четности в слабых взаимодействиях, вы­летающий позитрон «отслеживает» направление мюонного спина. Частота прецессии мюонного спина однозначно связана с величи­ной локального магнитного поля, что и позволяет определять ве­личину этого поля с пространственным разрешением порядка де­сяти ангстрем!

На рис. 2.3 приведены полученные распределения магнитного поля по глубине при разных температурах. Сплошными линиями показан расчет по формуле, выведенной ниже для пластины ко­нечной толщины в задаче 2.2. Параметром подгонки являлась глу­бина проникновения, экспоненциальный характер спадания поля прекрасно выполняется.

СВЕРХПРОВОДНИКИ ВТОРОГО РОДА

Длина когерентности

Кроме лондоновской глубины проникновения λ_L, которая является мерой затухания магнитного поля внутри сверхпроводника, имеется еще один параметр длины, характеризующий сверхпроводник, — длина когерентности, введенная в 1953 г. А. Пиппардом. Степень упорядочения сверхпроводящей фазы идентична плотности сверх­проводящих электронов n_S. Рассматривая различные аспекты пове­дения сверхпроводников, Пиппард пришел к выводу, что n_S не мо­жет резко зависеть от координаты, а может изменяться заметным образом лишь на расстоянии, которое он и назвал длиной когерен­тности. Смысл длины когерентности ξ состоит в том, что любые возмущения, возникшие в какой-либо точке сверхпроводника, обя­зательно сказываются на свойствах сверхтекучих электронов, нахо­дящихся на расстоянии порядка или меньше ξ от этой точки.

Фактически длина когерентности определяет «характерный» раз­мер куперовской пары, ибо ее средняя протяженность есть мера рас­стояния, на котором эффективно притяжение между электронами с образованием куперовской пары — электронов с противоположны­ми импульсами и спинами. Возникновение связанного состояния двух электронов за счет обмена фононами (энергия связи порядка величины щели ∆) приводит к неопределенности в кинетической энергии пары

Но по соотношению неопределенностей δхδр ≈ ħ, (5.2)

т. е. квантовая неопределенность в расстоянии между электронами в паре равна ξ = δx ≈ ħ v_F / ∆ Обычно в качестве величины, характеризующей размер пары при нулевой температуре, выбирают немного отличающееся значение ξo = ħ v_F /π ∆

Оценку длины когерентности легко сделать на основе рассмот­ренного в § 4.3 механизма электрон-фононного взаимодействия. Электрон проводимости, пролетая вблизи неподвижного иона ре­шетки, сообщает ему импульс. Так как частота колебаний атома порядка ω_D, то его отклонение от положения равновесия будет сохра­няться время τ~2л/ ω_D ~10^─13с. За это время электрон удалится на расстояние порядка v_Fτ ≈ 10⁸•10^-13 ~ 1000 А. Это и есть характерная длина, на которой движение двух электронов оказывается скореллированным за счет поляризации кристаллической решетки. По­нятно также, почему кулоновское расталкивание скореллированных электронов несущественно — на столь больших расстояниях оно полностью экранируется другими электронами.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)