Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508), страница 30
Текст из файла (страница 30)
в 232. Показать, что поле Л = у«(2х+у+«)л+х«(х+2у+«)г+ху(х+у+2«)й потенциальное и найти его потенциал. < попе потенциально, поскольку голл = О (убедиться в этом предоставляем читателю). В сичУ потенциальности полм Л, нмеелс Л = Огас) Р = в л+ в,г+ в й. вз. вг ве в* в» Пз равенств ф = у»(2« + у +»), — Л = х»(х + 2у + «), вк = ху(х + у+ 2») находим: »с(х.
у, ») = ху«(х+ у+») + т,"(у, «), — ~ = х«(«+2у+ «) = х»(»+ 2у+ «) + — с, откуда — з = О, б = Ф(»). Пз равенства — ~ = ху(х + у + 2») = ху(х + у+ 2«) + Ф («) получаем: Ф («) = О, Ф(») = С, где С = совал. Окончательно имеем: с»(х, у, «) = ху»(х+у+»)+С, где С вЂ” произвольная постоянная. ~ 233. Найти потенциал гравитационного поля Л = — — г, создаваемого массой пс, гз находящейся вначале координат. О Принимая во внимание равенство Я = угас) ™, находим потенциал Св поля Л: Сз = —.
1ь 'Улралснення для самостоятельной работы 1бб. Найти угол р между градиентами функции и = агсгб — * в точках Мс — — (1, 1) и М» = (-1, — 1). . н с* ~... „„„„,= ..= ссссо». е = (созе, сов сб. соя з). В каколг случае зта производная равна нулю? 1бб. Найти производную поля и в направлении градиента поля е. В каком случае зта производная будет равна нулю? Гл. 2.
Кратные н криволинейные интегралы 214 161. Найти э у й е е е 61» е* еэ е* ы« ыэ ы« 162. Вычислить ССС» (у(г)с), где с — постоянный вектор. 163. Найти гз» (у(г)т). В каком случае дивергенция этого вектора равна нулю? 164. Найти поток вектора и = хус+ угу+ хгй через часть сферы Я = ((х, у, г) б К~: х + у + х = 1), лежащую в первом октанте. 166. Найти поток вектора и = у«э+ хгу'+ хуй через боковую поверхность пирамиды с вершиной в точке Р ы (О, О, 2), основанием которой служит треугольник с вершинами о = (о, о, о), А = (г, о, о), в = (о, 1, о).
1ВВ. Доказать, что: а) гоС(и+ е) = гоС и+ гоС о; б) гоС (эи) = о гоги+ (Огай», и]. 167. Найти направление и величину гоС и в точке М = (1, 2, — 2), если и = 1«+ -*у+ «й. ы 168. Найти гоС(бгабСг). 166. Дви'кущаяся несжимаемая жидкость заполняет область й. Предполагая, что в области Й отсутствуют источники и стоки, вывести уравнение неразрывности м + Й» (р о) = О, где р = р(х, у, х) — плотность хеидкости, е — вектор скорости, С вЂ” время. 170. Вычислить работу силового поля Х = уг+ ху+(х+ у+ г)й вдоль отрезка АВ прямой, проходящей через точки Мг = (2, 3, 4) и Мг = (3, 4, 5). 171.
Доказать, что поле и = )(г)г, где У вЂ” непрерывная функция, является потенциальным. Найти потенциал этого поля. ~ 7. Запись основных дифференциальных операций векторного анализа в ортогональных криволинейных координатах 7.1. Криволинейные координаты в евклндовом пространстве мэ. Параметры Ламе. Если в евклидовом пространстве и введена система координат дг, дг, дэ посредством з формул х = х(О), у = у(О), г = г(О), О = (уг, дг, дз), (1) связывающих декартовы координаты х, у, г точки М б ы с координатами дг, дг, дз, то з ее называют криеолинебноб системой координаш.
При этом координаты Сп (1 = 1, 2, 3) называют криеолинебными. предположим, что отображение Ф = (х(6), у(д), г(о)), о б Й~, порождаемое системой равенств (1), является С -днффеоморфизмом м«на Ж~ (т,е. Ф непрерывно диффереицируемое вместе с отображением Ф с). Определение 1. Криеолинебная скошена коордииаш дг, дг, уз называется оргаоэональноб, если еекторы — (О) (г = 1, 2, 3) взаимно оршоэональньс еы ж — (о), — (6)~ =о, ~ — (о), — (о)~ =о, ~ — (О), — (6) =о. (г) дФ дФ с lдФ дФ 1 УОФ дФ ду, 'ду, )= ' ~д„'дуз ) ' (,д~ 'ду. Сферическая и цилиндрическая системы координат в евклидовом пространстве Ж~ являются оргеоэональными криеолинсбными системами.
3 7. Векторный анализ и ортогональных криволинейных координатах 215 Действительмо, если Ф(р, В, р) = (рыл В совр, рьгп Вяп Га, рсоьВ), р ) О, О < В < 0 < ьг < 2х, и гр(р, га, ь) = (репью, рь1п Гь, ь), р ) О, 0 < га < 2я, з б !к, то имеем дгй двз — ю (ага йсозга,ь1пВь1пю, созВ), — = (рсоьдсоьГа, рсоьВявю, -рз1пВ), др дй аф — = ( — рьгп Вял 1ь, ряпй сов ю, 0), др дзР— = (сов Зг,з1п 1а, 0), др ар — = ( — ряп и, р сов ю, 0) дсь Если систел~а криволинейных координат Вг, Вз, дз ортогональна, то векторы — (г ая, 1, 2, 3) образуют базис пространства !а~, и базис ) е, = — — (О); ! = 1, 2, 3).
где И, являетсв арнзанорь~ироеанным. Функции И, называются па- раметрами Лале. Базис (е,; г = 1, 2, 3) и паралгетры Ламе изв~еняются при переходе от точки к точке. Если в ортогональной криволинеймой системе координат дг, Вз, Вз одна координата фиксирована, то отображение гй определяет лгногообразие класса С' размерности р = 2 — гладкую поверхностти которую будем называть координатной лоеерхносигью. В пространстве И существует три семейства координатных поверхностей. Через кахкдую фиксированную точку евклидова пространства !й проходит по одной поверхности каждого из трех семейств.
з Рассмотрим элементарную ячейку, образованную тремя парами сложных координатных поверхностей, и обозначим а!ю Ы!з, а!з длины ребер ячейки. Имеем а!1 = Иг г!Вг и!2 Из г!Вз а!3 Из г!Вз (з) где И, (! = 1, 2, 3) — параметры Ламе. Действительно, а = аггг+~аагтЮ= дф = ы;,ц, ( = 1, г. з). Вычислим параметры Ламе для случаев перехода от декартовой прямоугольной системы коордимат к сферической и цилиндрической системам координат. При переходе к сферической системе координат имеелг — япз Всозз зь+згпзВяпз зь+ соззВ = 1, (4) рзсоззйсоьз ге+ рз соьз Вяп Ге+ рзявзй = р, (5) = р ь1п В, (б) 17) н а при переходе к цилиндрической системе координат получим "-,) = — = (о, о, 1), дгР дь —.") = Гп.
2. Кратные н криволинейные иитегрялы газ Зз + рз соэз 1з = р, (8) = /1=1, (9) Определение 2. Элементом обьел1а Ыг' в криволинейных координатах вг, йз, дз. соответствующим приращеииял~ Ид, координат д, (1 = 1, 2, 3) в томке д = (Вм вз, уз), вв называется объем параллелепипеда, посаьроеинозо иа векторах — (о) Ыд,. вг Согласно этому определению имеем (10) ВК(9) = где Г \ в (ч) ауз, в (ч)айз, в (Ч) бйз~ — определитель Грана от векторов — (а) бф (~ = / вв вв вв вв 1. 2, 3). вв Приннл~ая во внилтние ортогональиость векторов — (( = 1, 2, 3), получим во l дФ дйг 'г / дкз дкг з / дФ дич 31'(Ч) = ~ И) И)/1 ~ — (Ч) — (9)) ( — (Ч) — (Ч) 491 бйз "чз = дуг ' доз даат ' дуг дуз ' дуз = Н,н,н,бй, б„б„, (11) Пспользуя определение 2 и формулы (4) — (11), моькно получить известные вырагкения для элементов объема в сферической н цилиндрической системах координат: Иг(р, В, зз) = р юа Вбрбббю, г(1г(р.
зз, г) = рбрбюбз. Параметры Ламе называют масштабными лшомителялш. Координатные линии, вдоль каждой пз которых изменяется лишь один параметр, можно представить как кривые в пространстве И, на которые нанесены шкалы этих параметров. Параметры Ламе Н, на этих з кривых преобразуют параметры д, в длины дуг соответствующих кривых, 7.2. Градиент скалярного поля. Пусть в области Р' С м~ задано дифференцируемое скалярное поле о ~ и(9). Компонентами вектора бгад и(о) в базисе (е; = л в (о); 1 = 1, 2, 3 ( являются его проекции — (у) = вв в и, ви ви (бган и(о). е,) на направления, определяемые векторамп е,, Поскольку (бган и(о), е;) ц (бхай и(0), в (д)) = — в (о), то спРаведливо пРедставвение 1 ди 1 ди 1 ди бгао и(д) = — †(д)ег + — †(д)ез + — †(9)ез.
Нг доз Нз даат Нз джаз В частности, в сферической и цилиндрической системах координат вектор — градиент скалярного поля и имеет следующие представления: ди 1 ди 1 ди йгад и(р, В, р) = — (р, В, Эз)ер+ — — (/б В, д)ее + —. — (р, В, р)ек, др ' ' р дб ' ' рмиВдр ди 1 ди ди Всади(Р, Р, г) = (Р, Р, з)е„+ — — (Р, Р, з)ее+ — (Р, Р, з)е„ др ' ' ' р др ' ' ' дз (г) (3) где (е„, ев, ее), (ер, ет, е ) — ортонормированные базисы, пороясдаемые отобраясениямн Ф'(р. В, Зэ) и 1Р'(р, Гв, з) (см.
п.7.1). Рассуждая аналогично. получил| 1 дНз 1 днз го| ез = — — ез — — — е>, Нз Н> дд> Нз Нз ддз 1 дНз 1 дНз го| ез = — — е| — — — ез. Нэ Нг ддз Нз Н! д>> (7) Вычислим теперь расходимостн векторов е|. ез, еэ посредством формулы Йт (и>, из] = (Сз, [и>, из]) эз (из, гоС и!) — (и>, го| из), полученной при ре>ленни примера 219. Приняв во внимание, что е> = (ез, ез], ез = [ез, е>], ез = (е,, ез], илзеем: 1 дН> 1 дНз >С>гг е! = (еэ,. гоз ез) — (ез, го| ез) = — — + — —: (8) Нз Н> дд> Нз Н! дд 1 дНз 1 дН> Й| ез = (е>, го| ез) — (еэ, го| е|) = — — + НзН> ддз Н>Н> ддз ди> 1 днз д|т ез = (ез, гоС ез) — (е>, гоС ез) = — — + — —. (19) Н,Н> ддз Н|Нэ ддз Если и = (и>, из, из). то, л силу линейности операции вычисления расходимости, получим д>г и = Йг (и>е>) + ОЬ (изет) + >С|! (изез) = (с>, из е!) + (сз, изез) + (з>, изез) = = и> Й| е> + из ОСт ез + из Йт ез + (е>, бгаб и>) + (ез, бга>С иг) + (ез, бга>С из) = + из диз и> дНз из дНз и> дН> + + + НзН дд> Н|Н! дд! Н|Н> ддз Н|Н> ддз иэ дН из днз 1 диз 1 диз 1 диэ + — — + — — + — — + — — + — — = и,Н.
д„и,и. ад. Н, ад, Н, ад, И. а„ сд а а '[ — (и> Нзиз) + — (и>Н>Н>) + — (изН! Н>) . (11) Н>Н>Н| [ дд> ддэ ддз (9) 3 7. Векторный анализ в ортогональных криволинейных координатах 7.3. Расходнмость н вихрь векторного полл. Для записи операций расходимости и вихря векторного поля д | и(д), д б Р'. в криво- линейных координатах нам понадобятся некоторые вслолюгательные вычисления. Полагая в формуле (1), п.7.2, и = дз, получил! 1 бга>1 д> = — е>. Н> Взяв операцию вихря от обеих частей равенства (1) и принимая во внимание, что гоС хга>1 д| — — О, имеем 1 1 е>1 1 1 1 1 1 го| — е> = ~~, — ) = — [Ст, е>] — >е>, 1> — ~ = — го| е| + >ага>С вЂ”, е>~ = О.
(2) н, [ н>] н, ! Н>] = н, и,' Согласно формуле (1), п.7.2, находим 1 1 д (11 1 д /11 1 д >1~ егаб — = — — ! — ) е> + — — ( — ( ез + — — С вЂ” ) ез = И, И а„СН) Н д„(Н/ Н адэ 'й) 1 > 1 дн> 1 дН> 1 дН> ~ 1 е! + — ез + — ез / = †в бгаб Н>. (3) Нзз ),Из дд> Нз ддз Нз ддз ] Нз Такиз! образом. равенство (2) принимает вид 1 1 — го| е> — — [бга>С Н|, е>] = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
