Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(4) Н| из Следовательно, го| е> = — [бга>СН| е>]. Поскольку [бга>С Н>, е>] = — — с ез — — — | ез, то ! з ен > ел и| и, е, и, ез, 1 дН> аи, го| е> = — ез — — — еэ (8) Н> Нз ддз Н|Н| ддз 218 Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы Если в формуле (11) взять и = бгаб «, то получим следующее выражение для оператора Лапааса в криволинейных ортогональных координатах: Для вычисления вихря векторного поля и воспользуемся линейностью этой операции, форл>узами (5) — (7), примером 216 и формулой (1), п.7.2: гос и = гоС(и>е>) + гоС(иаег) + гоС(изез) = = иа гоС е> + иг гоС ег + из гоС ез + [бга>1 и>, е>] + [бга>1 иг, ег] + [бгаб из, ез] = и> ВН> и> дН> иг дНг иг дН> — ег — — — ез+ — — ез — — — е> + Н Нз ддз Н Нг ддг НгН> дд> Н Нз ддз из дЫз из дНз 1 ди, 1 ди> + — е> — — — ег + — — ег — — — ез + НзН, ад, Н,Н, дд, Нз адз Н, ддг 1 диг 1 диг 1 диз 1 диз + — — ез — — — е, + — — е> — — — ег = Н> дд> Нз ддз На ддг Й> дд> 1 / д а = — ~ — (Нзиз) — — (Нги,)) е> + — [ — (Н>и> ) — — (Нзиз) ег + НзН, с ддг ддз ) НзН> [с ддз дд> /д д + — [ — (Нгиг) — — (Ы>и>) ез.
(13) Н> Нг ад> ад Выражение (11) можно рассматривать как результат применения формулы Остроградско- го к параллелепипеду К, стороны которого равны смещениям вдоль координатных линий, со- ответствующих приращениям г>д, (а аэ 1, 2, 3), а выражение (13) — как результат применения теореиы Стокса к трем парам граней того же параллелепипеда: 1/ 1 1 б>«в(д) = 1цп — )) (и, в) >13, (гоС и, и) = йш — ~(т, в) Й, и-д иК)) Я-4 Ио У с где ИК = Н>НгНз Вд> Вдг Вдз — объем параллелепипеда, Я вЂ” его граница, в — вектор внеш- ней единичной нормали к поверхности Я, ра — площадь поверхности 5, й — объединение контуров, ограничивающих грани параллелепипеда, т — единичный касательный к й век- тор.
При этом следует принять во внимание, что векторы внешней единичной иормаюа и на гранях параллелепипеда К и векторы т, касательные к кривой Х, совпадают с векторами башка (еб а = 1, 2, 3) или противоположны им. Для вычисления расходимосги и вихря векторного поля в = (и>, иг, из) в сферической и цилиндрической системах координат воспользуемся формулами (4) — (9), п.7.1, и формулами (11), (13) этого пункта. Пмеем а, 1 а аи. б>«и(р, В, сз) = — — (р и>) + —, — (иг жп В)+ —, (14) рг др рз>п д> дВ рз>пв аср ' 1 д 1 двг диз б>«в(р, р> з) = — — (ри>) + — — + —, р ар р ар а ' С'д . диас гас и(р, В, г>) = —, — (измп В) — — ) ер+ ряпВ [ дВ а~ ) ( 1 аи, 1а лс /1а 1 ди>'С + †, — — — — (риэ)~ ез + ~ — †(риг) — — — ] е„, (16) 1рз>пб дС« рдр ) [ рдр р дВ) 1 диз диг ди> диз 1 д 1 аи~>С >оси(р, ср, з) = ~- — — — ) ер+ ~ — — — ) си+ ~- — (риг) — — — ) е,.
(17) 'с,р ар аэ) ' [,а. а,) и ~рар рар) *' Если (р, >), сз) >- и(р. В, гз) и (р, >р, з) > «(р, сз, з) — дважды диФференцируемые ска- з«риме полл. то. применив формулу (12) этого пункта н используя формулы (4) — (9). п.7,1. З 7. Векторный анализ в ортотональиых криволинейных координатах получим запись оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координатах: 219 а /,аи'1 1 а /. а»1 1 а' 11и = (ьз, тзи) = — — ~р — ) + — — (в!п  — г! + —. рг др ( др) ргв!пд дВ (, ддз! Ргяпд дззг' 1а/а»'1 1а'» а' сг» я — — р — + — — + —. р др ( др) рг дззг дзг' (16) (19) 234.
Вычислить 6гад и, где и(р, В, гз) = Зр вш В+ езсов!г — р. М Применим формулу (2), п.7.2. Получим /ди 1аи 1 ди! / . р езз!и р ! игаг! и(р, В, р) = —, — —, —, — я бреш д+ ерсов!з — 1, Зрсовд, — —, ~,ар: р дд' Ряпд ар) (, ряпВ / 235. Вычислить бган и, где и(р, сг.
з) = рг + 2р сов !з — е*зш !з. М Согласно формуле (3), п.7.2, имеем /аа 1 аи аи'! / / . в*с»вез 1 6гы!и(р, Зз, з) = —, — —, — = 2(р+совгг), — 2япге+, е'з!и!з (,ар' р ар: а ) ° )' 236. Вычислить д!» и, если и = (иг, иг, из) = ~р, — 2 сов ю.— г г зз рг а Применив формулу (14), получим 1 д г 1 д 1 диз гй» а(р, д, гз) = — — (р иг) + —, — (иг згп В) + —, рг ар ряпВ дВ рз!пв ар = — — (р ) — —, — (2сов рз!ад) + —. Р др ряпВ дВ рыл В двз 1 рг + 1 Г 2 = 4р — — сов сгс!6В+ Р Р(Р +1)япд 23 з . Вычислить г!Н а, где а я (иы иг, из) = (!загс!6 р. 2. — зге') .
а Согласно формуле (15), ныеем 1 д 1 диг диз 1 д 1 а а ай» и(р, !з, з) = — — (раг)+ — — + — = — — (рггагс!6 р) + — — (2) — — (з е) = р ар р а; а р ар вар а. я — аы!6р+ — +2зе + з е . !ь Зз Р г з ,г) з!гир г 239. Вычистив го! а. где а = (из, из: из) = (сов !Р, — — Р ) . Р 238. Найти го! и. если а = (иг, из, из) = (рг, 2соз В, -!е). М Применим форлгулу (16). Получим го! и(Р, д, 'Р) = /а аиг'1 1 аиз 1 а (из в!и д)— 1Р.!пВ [,ад а~) ' Рз!па ар Р аР 1 д 1 аиг'1 (риз), — (Риг) ) , ав) / !Р 2совд ! ,!6В,—,— ) > Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы 220 М Согласно формуле (17), имеем !»1д ди, ди, ди, 1 д 1 ди! 1 гог и(р, да») = (х — — — —, — — —, — — (риз) — — — ~ = '! р др д» ' д» др ' р др д,) У'1 д, д /м'пр'1 д д, 1д 1 д — — (р ) — — —, — (соз!Р) — — (р ), — — ( — соБ!Р) — — — (сиз Ьв) (,, а; д» (, р / ' д» др ' р др рдр О,— 2р,— Г»2 сов В »1п В 240.
Доказать, что векторное поле и = (и!, из. из) = (, —, 0 потенциальное. ,з ',з и Поскояьку класс потенциальных векторных полей совпадает с классом безвихревых полей, то достаточно показать. что гос и = О. Прплгенпв форлгулу (16), получим гог и(р, В, и) = =( —,.„,в(;в(0'гад) - з— ('— "з')) —,' вз' ( — '"!")-Тз (О Р) Те' Я- -'зв ( — '"!")) = 241. Найти поток векторного поля и = (иг, из. из) = (р В, резв, 0) через внешнюю сторону верхней полусферы 5 радиуса Я с центром в начале координат.
и Пусть и — часть координатной поверхности д! = С, где С се сопзг! ограниченная координатнылви линиями д! = о! дз = оз (о! < оз)~ дз = р! дз = (3» (д! < дз). Тогда поток вектора и(дг, дз! дз) = (и!(Вы дз, дз). из(ды дз, дз)! из(дг, дз, дз)) через поверхность и а направлении вектора е! вычисляется по формуле 3 Рз и(а", и) = / / иг(С, дз, дз) Нз(С, дг.
дз) Нз(С, дз, дз) г1дз Йдз (20) ! р! л дг=Р=Я,д»=В,О<В< †, дз=1»,.0<гв<2!г. 2' Принимая во внимание, что в сферических координатах Н! = Нр — — 1. Нз = Нв = р, Ыз = Н„= ргйп Ьз, по формуле (20) получаем з (Я,)1!!1»!'Вз=!»1!'!!В!Л в в 242. Вычислить поток векторного поля и = (из, из, из) = (р, », О) через замкнутую поверхность 5! образованную плоскостямп, уравнения которых» = О, » = 1, и цилиндром! уравнение которого р = 1. ч Воспользуемся формулой Остроградского (д; и) = Я!11 в ! Полусфера 5 является частью координатной поверхности р = сопз1, т.е.
р = Л. На поверхности Я имеем , ' 17. Векторный аиаллю в ортогоналъных криволинейных координатах Согласно формуле (15), имеем 1а, 1а В1г а и — — (р ) + - — = 2. , ар , ау Таким образом, лз(5; и) = 2 Е о'«' = 2)Ц = 2я, 221 поскольку объем цилиндра равен т. > 2гпралкнения для самостоятельной работы 172. Найти градиенты скалярных полей: а) и = рсоа у + «з1п у — Зг; б) и = р соз В; в) и = С'— ", С = сопя«. Р 173. Вычислить расходимости векторных полей а: а) и = (р, «з1п у.
е~ соз «): б) и = ~ — ", . — *'",, 0), рл,« 174. Вычислить роторы векторных полей; а) а = (2р+ осовев, — пмаВ, рсоа В). а = совал; б) а = (з!и у. — '~, -р«). 17б. Вычислить поток векторного поля а через заданную поверхность 5, если а = (р. — сову, «), Я вЂ” замкнутая поверхность, образованная цилиндром, уравнение которого р = 2, и плоскостял~и, уравнения которых ««е О, «м 2. Ответы Глава 1 2. Непрерывна.
3. Непрерывна. 4. Непрерывна при у ф О. 5. 1. 6. О. 7. -, Я вЂ” 1). 8. О. 14. Непрерывна днфференцируема. 15. Непрерывно дифференцнруема при у ~ О. 18. Равномерно. 19. Равномерно. 20. Равномерно. 21. Равномерно. 22. Неравномерно. +«а 23. Неравномерно. 24. Неравномерно. 25.
Неравномерно. 26. 1, 27. †. 28. О. 31. 1 †" * Их. о 32. -"(а1~. ЗЗ. «а — «' при 0 < а < 2; «при а > 2. 34. «. 35. — епг. 36. х(о М~ — 1). ' 2 ' ' 2 О 2 < «ь— 2 2 37. -1п(1+а ). 38. г/гх — г ). 39. — (Г(а+1)). 40. — ) е К|ИЬ ) е< !Ыьг. Ы 2 о о ь ь=о +«а 62. <Л/'(Л); -Л~/(Л). 63. — ' / г (2)2' — 2 ЗЛ. аг Глава 2 о г+е/г-уг 1. 9,88. Точное значение 2<г(7 — е/244). 2.
8 < 0,00022. 5. Отрицательный. 6. ) Ыу ) /(х, у) <Ь. -1 г-цг-уг а о Е/г=-аз 1 1«а г/аг-уг / 2 у2 7. ) <Ь 1',г"(х, у) Иу+) бх ) /(х, у) бу. 8. 1' ау ) /(х, у)<Ь+ ) бу ) /(х, у) <гх. -г о о —. /а -у ./2 2 а 2« 2« 2« Пх, )бх+,(бу )' ~(х, у)бх+,) бу) Дх, у)бх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
